Voir la source de Produit cartésien

: ''Cet article fait référence au concept mathématique sur les ensembles. Pour les graphes, voir [[Produit cartésien (graphe)|produit cartésien de graphes]].''
En [[mathématiques]], le '''produit cartésien''' de deux [[ensemble]]s ''X'' et ''Y'', appelé '''ensemble-produit''', est l'ensemble de tous les [[couple (mathématiques)|couples]] dont la première composante appartient à ''X'' et la seconde à ''Y''. On généralise facilement cette notion, valable pour deux ensembles, à celle de '''produit cartésien fini''', qui est un ensemble de ''[[n-uplet]]s'' dont les composantes appartiennent à ''n'' ensembles. La généralisation à un '''produit cartésien infini''' nécessite, quant à elle, la notion de [[Fonction (mathématiques)|fonction]].

Les produits cartésiens doivent leur nom à [[René Descartes]], qui, en créant la [[géométrie analytique]], a le premier utilisé ce que nous appelons maintenant ℝ{{2}} = ℝ × ℝ pour représenter le [[plan euclidien]], et ℝ{{3}} = ℝ × ℝ × ℝ pour représenter l'[[espace euclidien]] tri-dimensionnel (ℝ désigne la [[nombre réel|droite réelle]]).

== Produit cartésien de deux ensembles ==

=== Définitions ===
* Pour tout ensemble ''A'' et tout ensemble ''B'', il existe un ensemble ''P'' dont les éléments sont tous les [[couple (mathématiques)#Les couples en théorie des ensembles|couples]] dont la première composante appartient à ''A'' et la seconde à ''B'' :<center><math>\forall A\;\forall B\;\exists P\quad\forall z\;\bigl( z \in P \Leftrightarrow\exists x\;\exists y\;\left(x\in A\;\land\;y\in B\;\land\;z=(x,y)\right))</math>.</center>Cet ensemble est noté ''A × B'' (lire « ''A'' croix ''B'' ») et est appelé '''produit cartésien''' de ''A'' par ''B''.
* Cas particulier : ''A × A'' est noté ''A''{{2}} et appelé '''carré cartésien''' de ''A'' :<center><math>A^2=\{(x,y)\mid x\in A\;\land\;y\in A\}</math>.</center>

=== Exemple ===

Soit ''A'' l'ensemble { A, R, D, V, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 }. Soit B l'ensemble { pique, cœur, carreau, trèfle }. Alors le produit cartésien ''A × B'' de ces deux ensembles est un jeu classique de 52 cartes, c'est-à-dire l'ensemble :
:{ (A, pique) ... (2, pique) , (A, cœur) ... (2, cœur) , (A, carreau) ... (2, carreau) , (A, trèfle) ... (2, trèfle) }.

=== Propriétés ===

* Un produit cartésien ''A × B'' est [[ensemble vide|vide]] si et seulement si ''A'' ou ''B'' est vide. En particulier : pour tout ensemble <math>A</math>, <center><math>\varnothing\times A=A\times\varnothing=\varnothing</math>.</center>
* Les deux facteurs d'un produit sont entièrement déterminés par ce produit, s'il est non vide. Plus précisément : si <math>A\ne\varnothing</math> alors <math>y\in B\Leftrightarrow\exists x\quad(x,y)\in A\times B</math> et de même, si <math>B\ne\varnothing</math> alors <math>x\in A\Leftrightarrow\exists y\quad(x,y)\in A\times B</math>.
* Si ''A'' et ''B'' sont [[Ensemble fini|finis]], alors le [[Cardinal d'un ensemble fini|cardinal]] de ''A × B'' est égal au produit des cardinaux de ''A'' et de ''B''.
* Le produit cartésien de deux ensembles est unique d'après l'[[axiome d'extensionnalité]]. Si on considère couples et produits cartésiens comme des notions primitives, on aura comme axiome cette propriété d'existence et d'unicité. Elle se démontre, en [[théorie des ensembles]] [[ZFC]], pour la représentation des couples choisie.

=== Représentation en théorie des ensembles ===

En [[théorie des ensembles]], si on choisit, comme usuellement, la représentation des [[couple (mathématiques)#Les couples de Kuratowski|couples de Kuratowski]],
les couples dont la première composante est dans ''A'' et la seconde dans ''B'' sont des éléments de ''P''[''P''(''A''∪''B'')] (où ''P''(''E'') désigne l'[[Ensemble des parties d'un ensemble|ensemble des parties]] de ''E''). L'existence de cet ensemble résulte de l'[[axiome de la réunion]] et de l'[[axiome de l'ensemble des parties]].

On peut par conséquent définir le produit cartésien par compréhension. On aura alors besoin des [[couple (mathématiques)|couples]] et donc, en plus des axiomes précédents, dans Z de l'[[axiome de la paire]] et du [[schéma d'axiomes de compréhension]] ou dans ZF de l'ensemble des parties à nouveau et du [[schéma d'axiomes de remplacement]] (dont conjointement se déduit l'existence de paires):
<center> <math> A \times B=\left \{(a,b)|(a\in A)\wedge(b\in B)\right\}=\left \{z\in P(P(A\cup B))|\exists a\in A\;\exists b\in B\ z=(a,b)\right\}</math> </center>

On peut même se passer de l'ensemble des parties en utilisant deux fois le [[schéma d'axiomes de remplacement]]<ref>[http://cs.nyu.edu/pipermail/fom/2003-November/007676.html Harvey Friedman].</ref> : une fois pour ''A'' × {''b''} et une autre fois pour :

<center><math>A \times B =\bigcup_{b \in B}  A\times \{b\}.</math> </center>

=== Représentation en [[théorie des catégories]] ===
Se donner une application d'un ensemble ''X'' dans le produit cartésien ''A''×''B'' de deux ensembles ''A'' et ''B'' revient à se donner deux applications : l'une de ''X'' dans ''A'' et l'autre de ''X'' dans ''B''. Plus formellement : l'ensemble ''A''×''B'', muni des deux projections <math>p_1:A\times B\to A, (a,b)\mapsto a</math> et <math>p_2:A\times B\to B, (a,b)\mapsto b</math>, est caractérisé [[À quelque chose près|à un isomorphisme canonique près]]<ref>{{Lien web|lang=en|url=http://math.ucr.edu/home/baez/quantum/node4.html|auteur=[[John Baez|John C. Baez]]|titre=Quantum Quandaries:
A Category-Theoretic Perspective — §4: The Monoidal Category of Hilbert Spaces|year=2004}} ({{arxiv2|quant-ph/0404040}}).</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|lang=en|auteur={{Lien|Colin McLarty}}|titre=Elementary Categories, Elementary Toposes|éditeur=Clarendon Press|lieu=Oxford|year=1995}}.</ref> par la [[Problème universel|propriété universelle]] suivante : pour tout ensemble ''X'' et toutes applications <math>f_1 : X\to A</math> et <math>f_2 : X\to B</math>, il existe une unique application <math>f:X\to A\times B</math> telle que <math>f_1 = p_1 \circ f</math> et <math>f_2=p_2\circ f</math>. On résume [[Propriété universelle#Propriété universelle du produit|cette propriété universelle]] en disant que <math>(A\times B,p_1,p_2)</math> est le [[Produit (catégorie)|produit]] de ''A'' et ''B'' dans la [[catégorie des ensembles]].

== Généralisation à plus de deux ensembles ==
=== Triplets ===

Comme pour les couples, l'important, c'est leur ''propriété fondamentale'' : deux triplets sont égaux si et seulement si leurs premières composantes sont égales entre elles, puis leurs deuxièmes composantes, et enfin leurs troisièmes :

: <center> <math> \forall a , \forall b , \forall c , \forall d , \forall e , \forall f , [\, ( a , b , c ) = ( d , e , f ) \,] \Leftrightarrow [\, ( a = d ) \wedge ( b = e ) \wedge ( c = f ) \,] </math> </center>

Là encore, cette propriété ne suffit pas à définir la notion de triplet, et là encore, plusieurs définitions incompatibles entre elles sont possibles ''a priori''. On pose habituellement :
: <center> <math> \forall a , \forall b ,  \forall c , ( a , b , c ) = ( ( a , b ) , c ) </math> </center>

=== Produit cartésien de trois ensembles ===

Il est défini par :
: <center> <math> A \times B \times C = \left \{ ( a, b, c ) | ( a \in A ) \wedge ( b \in B ) \wedge ( c \in C ) \right \} </math> </center>
D'après ce qui précède, ''A × B × C ''= (''A × B'') × ''C''.
Là encore l'ordre des termes est important.
Le produit ''A × A × A'' est appelé '''cube cartésien''' de ''A'' et il est noté ''A''{{3}} (lire « A au cube ») :
<center><math>A^3=\{(x,y,z)|(x\in A)\wedge(y\in A)\wedge(z\in A)\}.</math></center>

=== ''n''-uplets ===
{{Ancre|Multiplets}}
Les définitions précédentes se généralisent par récurrence :
* Propriété fondamentale d'un [[Uplet|'''''n''-uplet''']] :
:<math> \forall \left( a_{1} , a_{2} , \cdots , a_{n}\right) , \forall \left(b_{1} , b_{2} , \cdots , b_{n}\right) , \quad [\, ( a_{1} , a_{2} , \cdots, a_{n} ) = ( b_{1} , b_{2} , \cdots, b_{n} ) \,] \Leftrightarrow [\, ( a_{1} = b_{1} ) \wedge ( a_{2} = b_{2} ) \wedge \cdots \wedge ( a_{n} = b_{n} ) \,] </math> 
* Définition d'un '''''n''-uplet''' :
: <center> <math> \forall \left( a_{1} , a_{2} , \cdots a_{n}\right) , \quad ( a_{1} , a_{2} , \cdots, a_{n-1} , a_{n} ) = ( ( a_{1} , a_{2} , \cdots, a_{n-1} ) , a_{n} ) </math> </center>
* '''Produit cartésien''' de ''n'' ensembles :
: <center> <math> A_{1} \times A_{2} \times \cdots \times A_{n-1} \times A_{n} = ( A_{1} \times A_{2} \times \cdots \times A_{n-1} ) \times A_{n} </math> </center>
* '''Puissance cartésienne''' ''n''-ième d'un ensemble :
: <center> <math> A^{n} = A^{n-1} \times A = \prod_{i=1}^n A = \{ ( x_1 , x_2 , \cdots x_n ) | \,\forall i , x_i \in A \,\} </math> </center>

== Produits infinis ==

On peut généraliser la notion de produit cartésien à celle de '''produit d'une famille d'ensembles indexée par un ensemble''' quelconque, fini ou infini.

Bien que plus générale, cette notion peut difficilement être introduite en théorie des ensembles avant celle de ''produit cartésien binaire'', du moins naturellement, car elle fait appel à la notion de fonction, qui utilise à son tour justement celle de ''couple'', et donc de ''produit cartésien binaire''<ref>Une '''fonction''' de ''A'' dans ''B'' est souvent introduite comme un triplet (''A'', ''B'', ''C''), où ''C'' est un sous-ensemble du produit cartésien ''A'' × ''B'', appelé graphe de la fonction et tel que tout élément de ''A'' figure (en première composante) dans exactement un couple de ''C''. En pratique toutefois, s'il n'y a pas de risque d'ambiguïté, on peut par abus de langage assimiler la fonction à son graphe ''C''. D'ailleurs, en théorie des ensembles, on définit souvent une fonction directement comme un ensemble de couples. Cette pratique est cohérente — être une fonction de ''A'' dans ''B'' devient alors une propriété de la fonction — mais elle est déconseillée dans les cours d'introduction aux mathématiques.</ref>.

=== Famille d'ensembles ===
{{Voir|famille (mathématiques)}}
Une '''famille ''A'' d'ensembles indexée par un ensemble ''I''''' est une fonction définie sur ''I''. L'image de ''i'' par ''A'' est notée ''A{{ind|i}}''. Il s'agit juste d'une notation (adaptée à un certain usage) pour une construction connue. La famille ''A'' indexée par ''I'' sera plutôt notée (''A{{ind|i}}''){{ind|''i''∈''I''}}.

=== Produit cartésien d'une famille d'ensembles ===

On peut maintenant définir le '''produit cartésien d'une famille d'ensembles''' (''A{{ind|i}}''){{ind|''i''∈''I''}}, que l'on note habituellement <math> \prod_{i \in I}A_i</math>, ou parfois <math>\times_{i \in I}A_i</math>.

Il s'agit de l'ensemble des fonctions ''f'' de ''I'' dans la [[Union (mathématiques)#Union d'une famille d'ensembles|réunion de la famille]], telles que pour tout ''i'' dans ''I'', ''f''(''i'') appartienne à ''A{{ind|i}}'' :
:<center><math> \prod_{i \in I} A_i =\left\{\left. f : I \to \bigcup_{i \in I} A_i\ \right|\ \forall\ i , \, f(i) \in A_i\right\}</math>.</center>

* Pour utiliser cette définition, il faut pouvoir extraire d'un élément du produit sa composante d'indice ''j'', élément de ''I''. Pour cela, on définit pour tout ''j'' dans ''I'', la fonction appelée '''''j''-ème projection''',<center><math>\pi_j:\prod_{i\in I}A_i\to A_j,\quad f\mapsto f(j).</math></center>
* On peut définir plus généralement, pour toute partie ''J'' de ''I'', la « projection d'indice ''J'' », à valeurs dans le « produit partiel » indexé par ''J''<ref name=B33>{{Bourbaki-Ensembles}}, [https://books.google.fr/books?id=VDGifaOQogcC&pg=SL252-PA33 p. II.33].</ref> :<center><math>\pi_J:\prod_{i\in I}A_i\to\prod_{i\in J}A_i,\quad f\mapsto(f(i))_{i\in J}.</math></center>(Si ''J'' est un [[Singleton (mathématiques)|singleton]] { ''j'' }, le produit partiel indexé par ''J'' est en [[bijection]] [[Canonique (mathématiques)|canonique]] avec ''A{{ind|j}}''<ref name=B33/>.)
* On peut énoncer l'[[axiome du choix]] ainsi : ''le produit d'une famille d'ensembles non vides est non vide''.
* Le produit d'une famille d'ensembles indexée par l'[[ensemble vide]] est, d'après la définition ci-dessus, le [[Singleton (mathématiques)|singleton]] dont l'unique élément est la [[Ensemble vide#Propriétés|fonction vide]] de ∅ dans ∅.

=== Lien avec le produit de deux ensembles ===
Soient ''A'' et ''B'' deux ensembles. Pour toute [[paire]] ''I'' = {α, β} (par exemple α = [[Ensemble vide|∅]] et β = {∅}), on a une bijection canonique entre le produit ''A''×''B'' des deux ensembles et le produit de la famille (''A{{ind|i}}''){{ind|''i''∈''I''}} définie par ''A''{{ind|α}} = ''A'' et ''A''{{ind|β}} = ''B'', en associant à tout couple (''x'', ''y'') de ''A''×''B'' l'élément ''f'' défini par ''f''(α) = ''x'' et ''f''(β) = ''y''<ref name=B33/>.

=== Associativité ===
Soient (''A{{ind|i}}''){{ind|''i''∈''I''}} une famille d'ensembles et (''J{{ind|k}}''){{ind|''k''∈''K''}} une [[Partition (mathématiques)|partition]] de ''I''<ref>Ou même seulement un [[Recouvrement (mathématiques)|recouvrement]] de ''I'' par des sous-[[ensembles disjoints]] deux à deux, mais pouvant être vides.</ref>. L'application canonique

<center><math>\prod_{i\in I}A_i\to\prod_{k\in K}\Bigg(\prod_{i\in J_k}A_i\Bigg),\quad f\mapsto(\pi_{J_k}(f))_{k\in K}</math></center>

est bijective<ref>{{Harvsp|Bourbaki|p=II.35}}.</ref>.

[[Raisonnement par récurrence|Par récurrence]], le [[#Multiplets|produit de ''n'' ensembles]] s'identifie ainsi au produit d'une famille indexée par {1, 2, … , ''n''}.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Articles connexes ==
* [[Produit vide]]
* [[Relation binaire]]
* [[Réunion disjointe]] ou « somme cartésienne »
*[[Catégorie monoïdale]]

{{Palette|Opérations binaires}}

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Théorie des ensembles]]
[[Catégorie:Opération]]