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{{ébauche|mathématiques}}
La '''proportion d'argent''' est la [[constante mathématique]] 1 + {{sqrt|2}}. Comme la [[racine carrée de deux]], c'est un [[nombre irrationnel]]. Son nom fait référence à la [[nombre d'or|proportion dorée]].

[[Image:Delta.jpg|vignette|upright=0.5|Symbole de la proportion d'argent]]
== Définition ==
La proportion d'argent, notée <math>\delta_{Ag}</math>, vaut <math>1+\sqrt2\simeq2{,}414~213~562</math> ({{OEIS|id=A014176}}).

Elle peut aussi être écrite comme la [[Fraction continue d'un irrationnel quadratique#Développement purement périodique|fraction continue purement périodique]] [{{surligner|2}}] :
:<math>\delta_{Ag} = 2 + \cfrac1{2 + \cfrac1{2 + \cfrac1{2 + \ddots}}}</math>

== Propriétés ==
Puisque la proportion d'argent est un [[nombre de Pisot-Vijayaraghavan]], elle possède une propriété rare d'[[approximation diophantienne]] : la suite des [[partie fractionnaire|parties fractionnaires]] de ses puissances tend vers 0.

Puisque <math> \delta_{Ag}^2 = 2\delta_{Ag} + 1,</math> les puissances successives sont de la forme
:<math>\delta_{Ag}^n =P_n\delta_{Ag} +P_{n-1}</math>

où {{math|(''P{{ind|n}}'')}} est la suite (complétée en ''n'' = –1) des [[Nombre de Pell|nombres de Pell]] :

:<math>P_{-1}=1,\quad P_0=0,\quad\forall n\ge1\quad P_n=2P_{(n-1)}+P_{(n-2)}.</math>

Par exemple :
:<math> \delta_{Ag}^0=0\delta_{Ag}+1,\quad\delta_{Ag}^1=1\delta_{Ag}+0,\quad\delta_{Ag}^2=2\delta_{Ag}+1,\quad\delta_{Ag}^3=5\delta_{Ag}+2,\quad\delta_{Ag}^4=12\delta_{Ag}+5.</math>

== Les moyennes d'argent ==

Les fractions continuées plus générales <math>Ag_m=[\overline m]</math> pour tout entier ''m'' > 0 sont appelées les '''moyennes d'argent'''<ref>Traduction libre de ''{{Lang|en|silver mean}}''.</ref>. La proportion d'or est <math>Ag_1</math> et celle d'argent est <math>Ag_2</math><ref>Une table contenant les valeurs des cinq premières moyennes d'argent peut être trouvée dans {{MathWorld|nom_url=SilverRatio|titre=Silver Ratio}}.</ref>.

La fraction continue <math>Ag_m</math> vérifie
:<math>Ag_m=m+\frac1{Ag_m}.</math>
Elle a donc même partie fractionnaire que son inverse, et elle est solution de l'équation
:<math>x^2=mx+1,</math>
si bien qu'elle vaut
:<math>Ag_m=\frac{m+\sqrt{m^2+4}}2</math>
et que sa partie entière est égale à ''m''.

On peut {{refnec|date=novembre 2014|définir <math>Ag_m</math> pour ''m'' négatif}} par la même formule et remarquer alors que
:<math>Ag_{(-m)}=\frac1{Ag_m}.</math>

De l'équation <math>x^2=mx+1</math> on déduit aussi que
:<math>{Ag_m}^n =F_n(m)Ag_m+F_{n-1}(m)</math>
où {{math|(''F{{ind|n}}'')}} est la suite (complétée en ''n'' = –1) des [[polynôme de Fibonacci|polynômes de Fibonacci]] :
:<math>F_{-1}=1,\quad F_0=0,\quad\forall n\ge1\quad F_n(X)=XF_{n-1}(X)+F_{n-2}(X).</math>
La suite {{math|(''F{{ind|n}}''(''m''))}} est donc une [[suite de Lucas]] :
:<math>F_n(m)=U_n(m,-1)=\frac{Ag_m^n-{(m-Ag_m)}^n}{\sqrt{m^2 + 4}}.</math>

== Les rectangles d'argent ==
Un [[rectangle]] de proportion (rapport de la longueur par la largeur) égale à la proportion d'argent est parfois appelé « rectangle d'argent », par analogie avec les [[rectangle d'or|rectangles d'or]].

Mais cette expression est ambiguë : « rectangle d'argent » peut aussi désigner un rectangle de proportion {{sqrt|2}}, aussi connu sous le nom de rectangle A4 en référence au [[Format de papier#Norme internationale : Formats A, B et C|format de papier A4]].

Ces ''deux'' types de rectangles d'argent ont la propriété qu'en leur enlevant deux carrés, on peut obtenir un rectangle [[Similitude (géométrie)|semblable]]<ref>{{Article|lang=en|nom=Kapusta|first=Janos|titre=The square, the circle, and the golden proportion: a new class of geometrical constructions|revue=Forma|vol=19|year=2004|p.=293-313|url=http://www.scipress.org/journals/forma/pdf/1904/19040293.pdf}}.</ref>. En effet, en retirant le plus grand carré possible d'un rectangle d'argent, on obtient un rectangle d'argent de l'autre forme, si bien qu'en recommençant, on retrouve un rectangle d'argent de la même forme que l'original, mais réduit par le facteur 1 + {{sqrt|2}}.

== Irrationalité ==
[[Fichier:Continued fraction of square root of 2.jpg|vignette|droite|En retirant deux carrés de côté ''q'' d'un rectangle de côté ''q'' et ''p'' + ''q''=''q''(√2 + 1), on obtient un rectangle de côtés ''q''(√2 - 1) et ''q'', donc de même proportion. La figure peut se reproduire indéfiniment. ]]
L'irrationalité de la proportion d'argent, et donc de {{sqrt|2}}, se déduit d'une [[descente infinie]] mise en évidence par la construction ci-contre<ref>Reprise de [[Hugo Steinhaus]] par {{Ouvrage|lang=en|titre=A Gardner's Workout: Training the Mind and Entertaining the Spirit|éditeur=A K Peters, Ltd.|lien auteur=Martin Gardner|prénom=Martin|nom=Gardner|année=2001|isbn=978-1-56881120-8|page=10}}.</ref>.

On construit un rectangle de base {{nobr|''p'' + ''q''}} et de hauteur ''q'', avec ''p'' = ''q''√2. La proportion {{nobr|(''p'' + ''q'' )/''q''}}, égale à {{nobr|1 + √2}}, est la proportion d'argent.

L'objectif est de remplir le rectangle de carrés les plus vastes possible. Le plus grand côté possible pour les premiers carrés est ''q'', car la hauteur est égale à ''q''. Comme {{nobr|''p'' + ''q''}} est plus grand que 2''q'' et strictement plus petit que 3''q'', on peut construire deux carrés de côté ''q'', en rouge sur la figure. La zone restante (en bleu sur la figure) est un rectangle de côtés ''q'' et {{nobr|''p'' - ''q''}}. Or on dispose de la formule :
<center><math>\frac{p + q}q=\frac q{p - q}.</math></center>

Elle indique que le rectangle initial et le bleu sont semblables, la proportion entre les deux étant le rapport {{nobr|(''p'' + ''q'' )/''q''}}. Il est alors possible de remplir la zone restante d'exactement deux carrés de taille maximale, comme précédemment et la zone restante est encore un rectangle semblable à l'initial. Finalement on obtient deux carrés de côté ''q'', puis deux carrés de côté {{nobr|(''p'' + ''q'' )/''q''}} fois plus petits que les premiers, puis deux carrés de côté {{nobr|(''p'' + ''q'' )/''q''}} fois plus petits que les précédents et la suite ne s'arrête jamais.

S'il existait une unité telle que la longueur de la base et celle de la hauteur soient des entiers, alors les côtés des différents carrés seraient toujours des entiers, ce qui garantit que la suite finirait par s'arrêter, car les carrés ne peuvent devenir infiniment petits. La proportion d'argent {{nobr|(''p'' + ''q'' )/''q''}} n'est donc pas rationnelle.

== Notes et références ==
{{Traduction/référence|en|Silver ratio|70763661|type=note}}
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Nombre d'argent]]
* [[Octogone]]
*[[Radical imbriqué#Racine carrée|Racine carrée imbriquée]]

=== Lien externe ===
{{Lien web|lang=en|url=http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/cfINTRO.html#section8.4|titre=The Silver Means|auteur=Ron Knott}}

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Constante mathématique]]