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L'expression '''racine évidente''' {{refsou|date=juillet 2014|est une expression consacrée par l'usage}}. Elle désigne une racine d'une équation que l'on peut trouver sans faire appel à une méthode élaborée comme la [[méthode de Cardan]] pour les équations du troisième degré ou bien encore la [[méthode de Ferrari]] ou la [[méthode de Descartes]] pour les équations du quatrième degré. De nos jours, l'usage d'une calculatrice graphique donne la courbe de la fonction, et en montre ainsi les racines. Une vérification s'impose toutefois, car des approximations peuvent apparaitre.

== Racine rationnelle ==
La recherche de racines [[Nombre rationnel|rationnelles]] dans une équation à coefficients [[Entier relatif|entiers]] est basée sur la propriété suivante, qui se déduit du [[Lemme d'Euclide|lemme de Gauss]] :

{{énoncé|Si les entiers ''a''{{ind|0}} et ''a{{ind|n}}'' sont non nuls et si une [[fraction irréductible]] ''p''/''q'' est [[Racine d'un polynôme|racine]] du [[polynôme]]{{retrait|<math> \qquad a_nX^n + a_{n - 1}X^{n - 1} + \cdots + a_1X+ a_0</math>}}alors ''p'' est [[diviseur]] de ''a''{{ind|0}} et ''q'' est diviseur de ''a{{ind|n}}''.}}

En conséquence, pour rechercher une éventuelle racine rationnelle d'un polynôme, on établit la liste de tous les diviseurs de ''a''{{ind|0}} et celle de tous les diviseurs de ''a{{ind|n}}'' et l'on essaye de remplacer l'[[inconnue (mathématiques)|inconnue]] dans l'équation par un rationnel de la forme ''p''/''q'' de toutes les façons possibles en choisissant ''p'' parmi les diviseurs de ''a''{{ind|0}} et ''q'' parmi les diviseurs de ''a{{ind|n}}'' jusqu'à ce que l'équation soit vérifiée (une rapide étude de [[Variations d'une fonction|variations]] permet souvent de limiter ces essais en écartant d'emblée la plupart des « candidats » ''p''/''q'').

En particulier si le polynôme est [[Polynôme unitaire|unitaire]], ses seules éventuelles racines rationnelles sont nécessairement des entiers. 

=== Exemple de détection d'une racine rationnelle===
L'équation{{retrait|<math>3x^3+x^2+13x-10=0</math>}}a une unique solution réelle, strictement comprise entre 0 et 1.

Les diviseurs positifs du coefficient dominant sont 1 et 3. Ceux du coefficient constant sont 1, 2, 5 et 10.

Par conséquent, les seuls rationnels susceptibles d'être des racines sont <math>\frac13</math> et <math>\frac23</math>.

En remplaçant {{math|''x''}} par chacune de ces deux valeurs, on trouve que <math>\frac23</math> est la solution.

===Exemple de preuve d'irrationalité===
Par application de [[Trigonométrie#Formules de multiplication des arcs|l'identité]] <math>\cos(3a)=-3\cos a+4\cos^3a</math> et de l'égalité <math>\cos\frac\pi3=\frac12</math>, les trois réels <math>\cos\frac\pi9</math>, <math>\cos\frac{5\pi}9</math> et <math>\cos\frac{7\pi}9</math> (strictement compris entre <math>-1</math> et <math>1</math>) sont les solutions de l'équation{{retrait|<math>8x^3-6x-1=0</math>.}}Montrons qu'ils sont [[Nombre irrationnel|irrationnels]]<ref>{{Ouvrage|auteur=[[Michèle Audin]]|titre=Géométrie|éditeur=[[EDP Sciences]]|year=2006|isbn=978-2-86883883-4|url={{Google Livres|n1EdG4fcor0C|page=134}}|page=134}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|lang=en|auteur=[[Ivan Niven]]|titre=Numbers: Rational and Irrational|éditeur=The L. W. Singer Company|collection=New Mathematical Library|année=1961|pages totales=136|isbn=978-0883856017|numéro chapitre=5, § 1|titre chapitre=Irrational Values of Trigonometric Functions|page=65-67}}. Voir aussi, {{p.|67}}, une preuve analogue de l'irrationalité de <math>\sin\left(\pi/18\right)</math>, irrationalité qui se déduit aussi de celle de <math>\cos\left(\pi/9\right)</math>.</ref>. Si une fraction irréductible <math>\frac pq\in\left]-1,1\right[</math> était solution, on aurait <math>p\mid-1</math> et <math>q\mid8</math> et même <math>q^2\mid8</math> (en remarquant que le polynôme de degré 3 n'a pas de terme de degré 2), donc <math>\frac pq=\pm\frac12</math>. Mais <math>\frac12=\cos\frac{\pi}3</math> et <math>-\frac12=\cos\frac{2\pi}3</math> sont différents des trois réels solutions. Ces derniers sont donc irrationnels.

== Application à la résolution d'équations ==
{{Voir|Factorisation des polynômes}}
L'avantage de trouver une racine d'une équation de degré ''n'' est de pouvoir se ramener à la résolution d'une équation de degré ''n'' – 1. 
En effet, si un polynôme ''P'' de degré ''n'' a une racine α, il peut se factoriser sous la forme ''P''(''X'') = (''X'' – α)''Q''(''X''), où ''Q'' est de degré ''n'' – 1. La résolution de l'équation (de degré ''n'') ''P''(''x'') = 0 se ramène alors à celle de l'équation (de degré ''n'' – 1) ''Q''(''x'') = 0.

{{TI|date=juillet 2014|La suite de cet article semble contenir}}

== Racine de la forme ''a{{sqrt|b}}''/''c'' ==

Une équation est susceptible d'avoir une racine de la forme ''a{{sqrt|b}}''/''c'' si l'on constate, soit dans les coefficients de degré pair, soit dans les coefficients de degré impair de l'équation, la présence de <math> \sqrt{b} </math>.

Si c'est le cas, on pose alors :

<math> x = z\sqrt b</math>

et l'on est alors ramené au cas précédent, c'est-à-dire à chercher, dans une équation d'inconnue z, une racine rationnelle.

=== Exemple ===

Cherchons une racine de l'équation :

<math> x^4-x^3\sqrt{3}-3x^2-3x\sqrt{3}-18=0.</math>

Posons :

<math> x = z\sqrt3.</math>

On obtient :

<math> 9z^4-9z^3-9z^2-9z-18=0</math>

qui se simplifie sous la forme :

<math> z^4-z^3-z^2-z-2=0.</math>

En procédant comme au premier paragraphe, on trouve comme racine :

<math> z = 2</math>

et en reportant dans l'expression de x on trouve comme racine de l'équation en ''x'' :

<math> x = 2\sqrt3.</math>

== Racine de la forme {{math|''a''i/''b''}} ==

Une équation est susceptible d'avoir une racine de la forme {{math|''a''i/''b''}} si l'on constate, soit dans les coefficients de degré pair, soit dans les coefficients de degré impair de l'équation, la présence de l'[[unité imaginaire]] {{math|i}}.

Si c'est le cas, on pose alors :

<math> x = z{\rm i}</math>

et on est alors ramené au premier cas, c'est-à-dire à chercher, dans une équation d'inconnue ''z'', une racine rationnelle.

==Références==
{{Références}}

== Article connexe ==
[[Critère d'Eisenstein]]

{{portail|algèbre}}

[[Catégorie:Équation polynomiale]]