Voir la source de Racine d'un nombre

{{homon|racine}}

En [[mathématiques]], une ''' racine {{math|''n''}}-ième d'un nombre''' {{math|''a''}} est un nombre {{math|''b''}} tel que {{math|1=''b{{exp|n}} = a''}}, où {{math|''n''}} est un [[entier naturel]] non nul.

Selon que l'on travaille dans l'ensemble des [[nombre réel|réels]] positifs, l'ensemble des réels ou l'ensemble des [[nombre complexe|complexes]], le nombre de racines {{math|''n''}}-ièmes d'un nombre peut être 0, 1, 2 ou {{math|''n''}}.

Pour un nombre réel {{math|''a''}} positif, il existe un unique réel {{math|''b''}} positif tel que {{math|1=''b{{exp|n}} = a''}}. Ce réel est appelé '''la racine {{math|''n''}}-ième de {{math|''a''}}''' (ou '''racine ''n''-ième principale''' de {{math|''a''}}) et se note {{sqrt|''a''|n=''n''}} avec le symbole '''radical''' ({{sqrt|&nbsp;}}) ou {{math|''a''{{exp|1/''n''}}}}. La racine la plus connue est la [[racine carrée]] d'un réel. Cette définition se généralise pour {{math|''a''}} négatif et {{math|''b''}} négatif à condition que {{math|''n''}} soit [[Parité (arithmétique)|impair]].

Le terme de racine d'un nombre ne doit pas être confondu avec celui de racine d'un [[polynôme]] qui désigne la (ou les) valeur(s) où le polynôme s'annule.

== Racine d'un réel ==
=== Racine carrée ===
{{Article détaillé|Racine carrée}}

Pour tout réel {{math|''r''}} strictement positif, l'équation ''x''{{2}} = {{math|''r''}} admet deux solutions réelles opposées, et lorsque {{math|''r''}} = 0, l'équation ''x''{{2}} = 0 admet comme seule solution 0.

La [[racine carrée]] d'un réel positif {{math|''r''}} est par définition l'unique solution réelle positive de l'équation ''x''{{2}} = {{math|''r''}} d'inconnue ''x''.

Elle est notée {{sqrt|''r''}}.

;Exemples
:* La [[racine carrée de deux]] est {{sqrt|2}} = {{nombre|1.414 213 56…}}.
:* Celle de trois est {{sqrt|3}} = {{nombre|1.732 050 81…}}.

=== Racine cubique ===
{{Article détaillé|Racine cubique}}

La [[racine cubique]] d'un réel ''r'' quelconque est l'unique racine réelle de l'équation
: <math>x^3-r=0</math> d'inconnue ''x''.
Elle est notée <math>\sqrt[3]{r}</math> .

''Exemple :''
* On a <math>\sqrt[3]{-8}=-2</math>. En effet <math>-2</math> est le seul nombre réel dont la puissance troisième est égale à <math>-8</math>.

=== Racine ''n''-ième d'un nombre réel positif ===
Pour tout entier naturel non nul <math>n</math>, l'[[application (mathématiques)|application]] <math>x\mapsto x^n</math> est une [[bijection]] de <math>\mathbb{R}_{+}</math> sur <math>\mathbb{R}_{+}</math> et donc pour tout réel <math>r</math> positif, l'équation <math>x^n=r</math> admet une unique solution dans <math>\mathbb{R}_{+}</math>.

La '''racine énième''' (ou '''racine n-ième''') d'un réel ''r'' positif (''r'' ≥ 0, ''n > 0'') est l'unique solution réelle positive de l'équation
: <math>x^n-r=0</math> d'inconnue ''x''.

Elle est notée <math>\sqrt[n]{r}</math>.

Remarquons que la racine ''n''-ième de <math>r</math> est aussi l'unique [[racine d'un polynôme|racine]] positive du polynôme <math>X^n-r</math>.

Lorsque ''n'' est pair, l'équation
: <math>x^n-r=0</math> d'inconnue ''x''
possède deux solutions qui sont <math>\sqrt[n]{r}</math> et <math>-\sqrt[n]{r}</math>.

Lorsque ''n'' est impair, l'équation
: <math>x^n-r=0</math> d'inconnue ''x''
ne possède qu'une seule solution <math>\sqrt[n]{r}</math>.

=== Racine ''n''-ième d'un nombre réel négatif ===
Le traitement des racines de nombres négatifs n'est pas uniforme. Par exemple, il n'existe pas de racine carrée réelle de -1 puisque pour tout réel <math>x</math>, <math>x^2+1>0</math>, mais la racine cubique de -27 existe et est égale à -3.

Pour tout entier naturel [[Parité (arithmétique)|impair]] <math>n</math>, l'application <math>x\mapsto x^n</math> est une bijection de <math>\mathbb{R}</math> sur <math>\mathbb{R}</math> donc tout nombre réel admet exactement une racine <math>n</math>-ième.

Pour tout entier naturel impair <math>n</math>, la racine énième (ou racine <math>n</math>-ième) d'un réel <math>r</math> quelconque est l'unique solution réelle de l'équation
:<math>x^n-r=0</math>
d'inconnue <math>x</math>.

Il s'ensuit que les racines d'ordres impairs de nombres réels négatifs sont négatives.

Remarquons que pour les entiers naturels impairs <math>n</math> et pour tout réel <math>a</math>, on a
:<math>\sqrt[n]{-a} =-\sqrt[n]{a}</math>.

Le besoin de travailler avec des racines de nombres négatifs a conduit à la mise en place des [[nombre complexe|nombres complexes]], mais il y a également dans le domaine des nombres complexes des restrictions pour les racines. Voir ci-dessous.

=== Les propriétés des racines ===
Les règles de calcul des racines découlent des propriétés des [[Puissance d'un nombre|puissances]].

Pour les nombres strictement positifs, <math>a</math> et <math>b</math>, on a les règles de calcul suivantes :
* <math>\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}</math>
* <math>\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}</math>
* <math>\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}</math>
* <math>\left(\sqrt[n]{a} \right)^m = \sqrt[n]{a^m}</math>

Dans le cas des nombres négatifs, ces règles de calcul ne pourront être appliquées que si <math> m </math> et <math> n </math> sont des nombres impairs. Dans le cas des nombres complexes, elles sont à éviter.

=== Exposant fractionnaire ===
Dans l'ensemble des réels strictement positifs, le nombre qui, élevé à la puissance ''n'', donne ''a'' est noté <math>\sqrt[n]{a}</math>. L'idée est de noter ce nombre comme une puissance de ''a'', quitte à prendre un exposant non entier. Il s'agissait donc de trouver un exposant ''p'' tel que <math>\left(a^p\right)^n = a</math>. En utilisant des opérations connues sur des exposants entiers que l'on généraliserait à des exposants non entiers, on obtiendrait <math>a^{pn}=a^1</math>, soit ''pn = 1'' et <math>p=\frac 1n</math>.

Ainsi on peut noter la racine carrée de ''a'' , <math>\sqrt a</math> ou <math>a^{\frac 12}</math>, la racine cubique de ''a'' , <math>\sqrt[3] a</math> ou <math>a^{\frac 13}</math> et la racine ''n''-ième de ''a'' , <math>\sqrt[n] a</math> ou <math>a^{\frac 1n}</math>.

Cette extension des valeurs possibles pour l'exposant est due au travail de [[Isaac Newton|Newton]] et [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]]<ref>Michel Serfati, ''La révolution symbolique'', chap XI, L'exponentielle après Descartes.</ref>. On peut poursuivre le travail en observant que
: <math>\sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n] a\right)^m= \left(a^m\right)^{\frac 1n}= \left(a^{\frac 1n}\right)^m = a^{\frac mn}.</math>
et vérifier que cette notation est compatible avec les [[Puissance d'un nombre#Opérations algébriques sur les puissances entières|propriétés déjà connues sur les exposants entiers]].

C'est chez Newton que l'on voit apparaître pour la première fois un exposant fractionnaire. Mais Newton et Leibniz ne s'arrêteront pas là et se poseront même la question de travailler sur des exposants irrationnels sans être pour autant capables de leur donner un sens. Ce n'est qu'un siècle plus tard que ces notations prendront un sens précis avec la mise en place de la [[fonction exponentielle]] et la traduction :
: <math>a^{\frac 1n} =\exp\left(\frac 1n\ln a\right)</math> pour tout réel ''a'' strictement positif.

=== Fonction racine ''n''-ième ===
[[image:RacineNieme.svg|thumb|right|Racine carré et racine cubique comme réciproques des fonctions carré et cube.]]

Pour tout entier naturel non nul <math>n</math>, l'application <math>x\mapsto x^n</math> est une bijection de ℝ<sub>+</sub> sur ℝ<sub>+</sub> dont l'[[Bijection réciproque|application réciproque]] est la fonction racine ''n''-ième. Il est donc loisible de construire sa représentation graphique, à l'aide de celle de la [[fonction puissance]] par [[Symétrie axiale|symétrie d'axe]] la droite d'équation <math>y=x</math>.

On remarque que cette fonction est [[Continuité (mathématiques)|continue]] sur l'[[intervalle (mathématiques)|intervalle]] <math>\left[0,+\infty\right[</math> et l'existence à l'origine d'une tangente confondue avec l'axe des ''y'' donc d'une [[dérivabilité|non-dérivabilité]] en 0 ainsi qu'une [[branche parabolique]] d'axe (''Ox'').

Les formules sur la [[Bijection réciproque#Dérivabilité|dérivée de la réciproque]] permettent d'établir que la fonction racine ''n''-ième est dérivable sur l'intervalle <math>\left]0,+\infty\right[</math> et que sa dérivée est <math>x\mapsto\frac{\sqrt[n]x}{nx}</math>, soit encore, avec l'exposant fractionnaire <math>x\mapsto\frac1nx^{\frac1n-1}</math> montrant ainsi que la formule sur la dérivée d'une fonction puissance entière se généralise à celle d'une puissance inverse.

=== Développement en série entière ===
{{article détaillé|série entière}}

Le radical ou racine peut être représenté par la [[série de Taylor]] au point 1, qui s'obtient à partir de la [[formule du binôme généralisée]] : pour tout réel {{math|''h''}} tel que |{{math|''h''}}| ≤ 1,<center><math>\sqrt[n]{1-h}=1 - \sum_{k=1}^\infty a_kh^k\text{ avec }a_k=\frac{\frac 1n\left(1-\frac 1n\right)\left(2-\frac 1n\right)\cdots \left(k-1-\frac 1n\right)}{k!}= \frac{\displaystyle\prod_{0<s<k}(sn-1)}{k!n^k}\ge0.</math></center>En effet, cette égalité, ''a priori'' seulement pour |{{math|''h''}}| < 1, assure en fait la [[convergence normale]] sur [–1, 1] puisque<center><math>\sum_{k=1}^\infty a_k=\sup_{N\in\N^*}\sum_{k=1}^Na_k=\sup_{N\in\N^*,h\in[0,1[}\sum_{k=1}^Na_kh^k=\sup_{h\in[0,1[}\sum_{k=1}^\infty a_kh^k=\sup_{h\in[0,1[}\left(1-\sqrt[n]{1-h}\right)=1<+\infty.</math></center>

On peut remarquer ({{cf.}} « [[Théorème d'Eisenstein]] ») que tous les ''n''{{exp|2''k''–1}}''a{{ind|k}}'' sont entiers (dans le [[Racine carrée#Fonction réelle|cas ''n'' = 2]], ce sont les [[Nombre de Catalan|nombres de Catalan]] ''C''{{ind|''k''–1}}).

== Racines d'un complexe ==
{{Voir|Racine d'un nombre complexe}}
Pour tout entier naturel non nul ''n'', une racine ''n''-ième d'un nombre complexe ''z'' est un nombre qui, élevé à la puissance ''n'' donne ''z'', c'est-à-dire une solution de l'équation
:<math>x^n=z</math>
d'inconnue ''x''.

Lorsque ''z'' est différent de 0, il existe ''n'' racines ''n''-ièmes distinctes de ''z''. En effet, les racines ''n''-ièmes d'un complexe ''z'' non nul sont aussi les racines du polynôme ''X{{exp|n}} – z'', qui admet bien ''n'' solutions dans l'ensemble des nombres complexes d'après le [[théorème de d'Alembert-Gauss]].

Toutes les racines de n'importe quel nombre, réel ou complexe, peuvent être trouvées avec un simple [[Algorithmique|algorithme]]. Le nombre doit d'abord être écrit sous la forme <math>ae^{i\varphi}</math> (voir la [[formule d'Euler]]). Alors, toutes les racines ''n''-ièmes sont données par :
:<math> e^{(\frac{\varphi+2k\pi}{n})i} \times \sqrt[n]{a}</math>
pour <math>k=0,1,2,\ldots,n-1</math>, où <math>\sqrt[n]{a}</math> représente la racine ''n''-ième principale de ''a''.

=== Nombres réels positifs ===
Toutes les solutions complexes de <math>x^n = a</math>, autrement dit les racines ''n''-ièmes de ''a'', où ''a'' est un nombre réel positif, sont données par l'équation simplifiée :
:<math> e^{2\pi i \frac{k}{n}} \times \sqrt[n]{a}</math>
pour <math>k=0,1,2,\ldots,n-1</math>, où <math>\sqrt[n]{a}</math> représente la racine ''n''-ième principale de ''a''.

=== Racines de l'unité ===
{{Article détaillé|Racine de l'unité}}
{{Article détaillé|Polynôme cyclotomique}}

Lorsque <math>z=1</math>, une telle racine s'appelle une racine <math>n</math>-'''ième de l'unité''', et l'ensemble des racines n-ièmes de l'unité, noté <math>\mathcal U_n</math>, est formé des ''n'' racines du polynôme complexe
:<math>X^n-1.</math>

Il s'agit d'un [[groupe (mathématiques)|sous-groupe]] [[groupe cyclique|cyclique]] du groupe multiplicatif des [[Nombre complexe|complexes]] de module 1. Il est formé des éléments <math>\{ 1, e^{i\frac {2\pi}{n}}, e^{i\frac {4\pi}{n}}, \ldots, e^{i\frac {(2n-2)\pi}{n}} \}</math>

On appelle [[racine primitive modulo n|racine n-ième primitive de l'unité]] tout générateur du groupe cyclique <math>\mathcal U_n</math>. Ces racines primitives sont les éléments <math>e^{i\frac{2k\pi}{n}}</math> où ''k'' est [[Nombre premier|premier]] avec ''n''. Leur nombre est égal à <math>\varphi(n)</math> où <math>\varphi</math> désigne l'[[indicatrice d'Euler]].

== Résolution par radicaux ==
[[Ludovico Ferrari]] a démontré que les racines des [[polynôme]]s du quatrième degré pouvaient, comme pour ceux du deuxième et troisième degré, être calculées par radicaux, c'est-à-dire par un nombre fini d'opérations élémentaires sur les coefficients du polynôme, comportant des [[Algorithme de calcul de la racine n-ième|calculs de racines ''n''-ièmes]]. Ceci n'est plus vrai en général pour les [[équation quintique|équations quintiques]] ou d'un degré supérieur, comme l'énonce le [[Théorème d'Abel (algèbre)|théorème d'Abel-Ruffini]]. Par exemple, les solutions de l'équation <math>\ x^5=x+1</math> ne peuvent pas être exprimées en termes de radicaux.
{{Article détaillé|équation quintique}}

Pour résoudre « numériquement » n'importe quelle équation du ''n''-ième degré, voir l'[[Algorithme de recherche d'un zéro d'une fonction|algorithme de recherche de racines]].

== Racine en typographie ==
[[Image:Structure of a root.svg|vignette|droite|
Légende : 1. Indice ; 2. Radical ; 3. Radicande]]
En [[typographie]], une racine est composée de trois parties : le radical, l'indice et le radicande.
* Le radical est le symbole de la racine,
* l'indice est le degré de cette racine,
* enfin, le radicande est ce qu'il y a sous le radical.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Algorithme de calcul de la racine n-ième]]
* [[Fonction polynomiale#Racines|Racines de fonctions polynomiales]]
* [[Algorithme de recherche d'un zéro d'une fonction]]
* [[Algorithme de la potence]]

=== Bibliographie ===
* {{de}} Ulrich Felgner, ''Mathematische Semesterberichte'',vol. 52, n° 1, 2005, Springer, p.&nbsp;1-7, ISSN 0720-728X (Au sujet de l'origine du signe de racine)
* {{de}} Hans Kreul et Harald Ziebarth, ''Mathematik leicht gemacht'', {{6e|édition}}, 2006 Verlag Harri Deutsch. Le chapitre complet sur la racine avec des explications, des exemples et des exercices {{Lien brisé|url=http://www.ziebarth-net.de/1786_probe.pdf|titre=disponible gratuitement en ligne}} {{ISBN|978-3-8171-1786-4}}

{{Palette|Fonctions mathématiques usuelles}}
{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Analyse réelle]]
[[Catégorie:Analyse complexe]]
[[Catégorie:Algèbre]]
[[Catégorie:Racine nième|*]]