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En [[mathématiques]], une '''racine de l'unité''' est un [[nombre complexe]] dont une puissance entière non nulle vaut 1, c'est-à-dire tel qu'il existe un nombre [[entier naturel]] non nul ''n'' tel que ce nombre élevé à la puissance ''n'' égale 1. Ce nombre est alors appelé '''racine ''n''-ième de l'unité'''. Une racine ''n''-ième de l'unité est dite '''primitive''' si elle est d'[[Ordre (théorie des groupes)|ordre]] exactement ''n'', c'est-à-dire si ''n'' est le plus petit entier strictement positif pour lequel l'égalité est réalisée.

Pour un entier ''n'' donné, les racines ''n''-ièmes de l'unité sont situées sur le [[cercle unité]] du [[plan complexe]] et sont les sommets d'un [[polygone régulier]] à ''n'' côtés.

Les racines ''n''-ièmes de l'unité du [[corps (mathématiques)|corps]] des complexes forment un [[groupe (mathématiques)|groupe]] multiplicatif [[Morphisme de groupes|isomorphe]] au groupe additif [[Anneau ℤ/nℤ#Structure additive|ℤ/''n''ℤ]]. Les générateurs de ce [[groupe cyclique]] sont les racines primitives ''n''-ièmes de l'unité.

On parle aussi de racine de l'unité et de racine primitive de l'unité dans un corps, voire un [[anneau unitaire]] quelconque. Les racines de l'unité forment toujours un groupe, mais qui n'est pas forcément cyclique.

== Définition ==
Pour un [[entier naturel]] non nul ''n'' donné, on appelle '''racine ''n''-ième de l'unité''' toute solution complexe de l'équation
:<math>z^n=1</math>
d'inconnue ''z''. Il existe exactement ''n'' racines ''n''-ièmes de l'unité.

L'expression « racine ''n''-ième » n'a pas valeur de norme, elle provient de l'[[Variable métasyntaxique|habitude]] qu'ont souvent les mathématiciens de nommer un entier naturel par la lettre ''n''. Si l'entier en question est noté ''p'', on parlera de « racine ''p''-ième », etc.

Les racines ''n''-ièmes de l'unité forment un groupe cyclique d'[[ordre (théorie des groupes)|ordre]] ''n'' pour la multiplication des nombres complexes, avec 1 comme [[élément neutre]].

Chaque élément de ce groupe a pour ordre l'entier ''d'' défini comme le plus petit entier strictement positif tel que {{math|''z{{exp|d}}'' {{=}} 1}}. L'ordre ''d'' de la racine est un diviseur de ''n''. Une racine ''n''-ième de l'unité est dite primitive quand elle est d'ordre exactement ''n'', c'est-à-dire quand c'est un générateur de ce groupe cyclique.

== Exemples ==

Les racines troisièmes (ou cubiques) de l'unité sont
:<math>\left\{ 1, \frac{-1 + {\rm i} \sqrt3}2,\frac{-1 - {\rm i} \sqrt3}2\right\} \quad \text{  ou  } \quad \left\{ 1, {\rm e}^\frac{2{\rm i}\pi}3, {\rm e}^\frac{-2{\rm i}\pi}3\right\}</math>.

Les racines primitives troisièmes de l'unité sont
:<math>\left\{ \frac{-1 + {\rm i} \sqrt3}2,\frac{-1 - {\rm i} \sqrt3}2\right\}</math>

La première est habituellement notée '''<math>\mathrm j</math>'''et la seconde, son conjugué, <math>\bar{\mathrm j}</math>ou <math>\mathrm j^2~</math>.

Les racines quatrièmes de l'unité sont
:<math>\left\{ 1, +{\rm i}, -1, -{\rm i} \right\}</math>.

Les racines primitives quatrièmes de l'unité sont
:<math>\left\{ +{\rm i}, -{\rm i} \right\}</math>.

== Propriétés ==
=== Expression complexe ===
Si {{mvar|z}} est une racine ''n''-ième de l'unité, {{c.-à-d.}} si {{math|''z{{exp|n}}'' {{=}} 1}}, alors le module de {{mvar|z}} vaut 1 et en posant <math>z={\rm e}^{{\rm i}\alpha}</math>, on a <math>n\alpha\equiv0\pmod{2\pi}</math>.

Les racines ''n''-ièmes de l'unité peuvent donc s'écrire sous la forme
:<math>{\rm e}^{2\pi{\rm i}k/n}=\cos\frac{2k\pi}n+{\rm i}\sin\frac{2k\pi}n\qquad(n\in\N^*\mbox{ et }k\in\{0,1,\ldots,n-1\}).</math>

Lorsque l'entier ''n'' est supérieur ou égal à 2, la somme de ces nombres est nulle, un fait simple qui est souvent utile en mathématiques. Il peut être démontré de différentes manières, par exemple en reconnaissant une [[Série géométrique#Terme général|somme d'une progression géométrique]] (somme de termes consécutifs d'une [[suite géométrique]]) :
{{Retrait|<math>\sum_{k=0}^{n-1}{\rm e}^{2\pi{\rm i}k/n}=0.</math>}}

Les racines primitives ''n''-ièmes de l'unité sont exactement les nombres de la forme <math>{\rm e}^{2\pi{\rm i}k/n}</math> où ''k'' et ''n'' sont [[premiers entre eux]]. Par conséquent, il y a φ(''n'') racines primitives ''n''-ièmes de l'unité différentes, où φ désigne l'[[indicatrice d'Euler]].

=== Polygones réguliers ===
Dans le [[plan complexe]], les points dont les affixes sont les racines ''n''-ièmes de l'unité sont les sommets du [[polygone régulier]] à ''n'' côtés inscrit dans le cercle de centre ''O'' (le point d'affixe zéro) et de rayon 1 et dont l'un de ses sommets a pour affixe 1.

L'étude de ces nombres, grâce aux puissants outils de l'[[algèbre]], facilite donc celle, beaucoup plus ancienne, des polygones réguliers.

== Polynôme cyclotomique ==
{{Article détaillé|Polynôme cyclotomique}}

Les racines ''n''-ièmes de l'unité sont les [[Racine d'un polynôme|racines du polynôme]] {{math|''P''(''X'') {{=}} ''X{{exp|n}}'' – 1}}. Les racines primitives ''n''-ièmes de l'unité sont les racines du ''n''-ième [[polynôme cyclotomique]] :
:<math>
\Phi_n(X) = \prod_{k=1}^{\varphi(n)}(X-z_k)
</math>

où <math>z_1, \ldots, z_{\varphi(n)}</math> sont les racines primitives ''n''-ièmes de l'unité et φ est l'indicatrice d'Euler. Le polynôme <math>\Phi_n(X)</math> est à coefficients [[entier relatif|entiers]] et est irréductible sur le corps ℚ des [[nombre rationnel|rationnels]] (c’est-à-dire qu'il ne peut pas être écrit comme produit de deux polynômes de degré strictement positif à coefficients rationnels). Le cas particulier où ''n'' est [[Nombre premier|premier]], plus simple que le cas général, se déduit du [[critère d'Eisenstein]] (effectuer le changement de variable {{math|''X'' {{=}} ''T''+1}}, alors <math>\Phi_n(X)=((T+1)^n-1)/T </math> se traite immédiatement par le critère d'Eisenstein).

Chaque racine ''n''-ième de l'unité est une racine primitive ''d''-ième de l'unité pour exactement un [[diviseur]] positif de ''n''. Cela implique que
:<math>
X^n - 1 = \prod_{d\mid n} \Phi_d(X)
</math>.

Cette formule représente la décomposition du polynôme {{math|''X{{exp|n}}'' – 1}} en produits de facteurs irréductibles et peut également être employée pour calculer récursivement les polynômes cyclotomiques. Par ailleurs, elle permet de prouver par récurrence que les polynômes cyclotomiques sont à coefficients entiers et unitaires (la division de {{math|''X{{exp|n}}'' – 1}} par un polynôme à coefficients entiers et unitaire donne bien un quotient également à coefficients entiers et unitaire.

== Corps cyclotomiques ==
{{Article détaillé|Corps cyclotomique}}

En adjoignant une racine primitive ''n''-ième de l'unité à ℚ, on obtient le corps ''n''-cyclotomique <math>\mathbb{F}_n</math>. Ce corps contient toutes les racines ''n''-ièmes de l'unité et est le [[corps de décomposition]] sur ℚ du polynôme cyclotomique d'indice ''n''. L'[[extension de corps]] <math>\mathbb{F}_n/\Q</math> est de degré <math>\varphi(n)</math> et son [[groupe de Galois]] est naturellement isomorphe au groupe multiplicatif des inversibles de l'anneau ℤ/''n''ℤ.

Comme le groupe de Galois de <math>\mathbb{F}_n/\Q</math> est abélien ; c'est une [[extension abélienne]]. Tout sous-corps d'un corps cyclotomique est une extension abélienne du corps des nombres rationnels. Dans ces cas, la théorie de Galois peut être écrite tout à fait explicitement en termes de [[période de Gauss|périodes gaussiennes]] : cette théorie tirée des ''[[Disquisitiones Arithmeticae]]'' de [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] fut publiée de nombreuses années avant la théorie de [[Évariste Galois|Galois]].

Réciproquement, chaque extension abélienne du corps des nombres rationnels est un sous-corps d'un corps cyclotomique — un théorème de [[Léopold Kronecker|Kronecker]], habituellement appelé le ''[[théorème de Kronecker-Weber]]'' parce que Weber en a établi une démonstration.

== Généralisation à d'autres corps et anneaux ==
Plus généralement, une racine de l'unité dans un [[anneau commutatif]] {{math|(''A'',+,×)}} est un élément {{math|''a''}} tel que {{math|§=''a''<sup>''n''</sup> = 1<sub>''A''</sub>}}, pour un certain entier {{math|''n'' > 0}}, c'est-à-dire un élément d'ordre fini dans le [[Groupe des unités|groupe multiplicatif {{math|''A''{{exp|×}}}}]]. Une racine primitive ''n''-ième est un élément d'ordre ''n''<ref name="Demazure">{{Ouvrage|id=Demazure 2008|nom1=[[Michel Demazure]]|titre=Cours d'algèbre. Primalité. Divisibilité. Codes|référence simplifiée=Référence:Cours d'algèbre (Demazure)|année=2008|page=74}}.</ref>.

Dans un [[anneau intègre]] (en particulier un corps commutatif), les racines ''n''-ièmes de l'unité [[Groupe cyclique#Sous-groupes|forment un groupe cyclique]] dont l'ordre divise ''n''. Si cet anneau est fini, le groupe des inversibles (donc des racines de l'unité, par le [[théorème de Lagrange sur les groupes|théorème de Lagrange]]) est par conséquent cyclique. Dans un [[corps fini]], il existe donc des racines primitives de l'unité, appelées aussi éléments primitifs.

Le [[Anneau ℤ/nℤ#Groupe des unités|groupe des inversibles d'un anneau ℤ/''k''ℤ]] quelconque n'est plus forcément cyclique, c'est-à-dire qu'il n'existe pas forcément de [[racine primitive modulo n|racine primitive modulo ''k'']] (voir l'article en lien pour des précisions).

Soit ''K'' un [[corps algébriquement clos]]. Le groupe des racines de l'unité de ''K'' est isomorphe (non [[Canonique (mathématiques)|canoniquement]])<ref>[[N. Bourbaki]], ''[[Éléments de mathématique|Algèbre]]'', {{p.|V.75-76}}, {{Google Livres|Dc-TU2Iub6sC|page autre=RA1-PA75|aperçu}}.</ref> :
* au [[groupe divisible]] [[Groupe quotient|ℚ/ℤ]] si la [[Caractéristique d'un anneau|caractéristique]] de ''K'' est nulle ;
* au groupe ℚ/(ℤ[1/''p'']) si la caractéristique de ''K'' est un nombre premier ''p''.

== Notes et références ==
{{Références}}

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Nombre complexe]]
[[Catégorie:Algèbre]]
[[Catégorie:Groupe remarquable]]
[[Catégorie:Corps cyclotomiques]]
[[Catégorie:Nombre 1]]
[[Catégorie:Racine nième]]