Voir la source de Série L de Dirichlet

[[Fichier:Dirichlet.jpg|thumb|Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet ([[1805 en science|1805]]-[[1859 en science|1859]]).]]
En [[mathématiques]], une '''série L de Dirichlet''' est une [[Série (mathématiques)|série]] du [[plan complexe]] utilisée en [[théorie analytique des nombres]].

Par [[prolongement analytique]], cette fonction peut être étendue en une [[fonction méromorphe]] sur le plan complexe entier.

Elle est construite à partir d'un [[caractère de Dirichlet]] et, dans le cas du caractère trivial, la fonction L de Dirichlet s'identifie avec la [[fonction zêta de Riemann]].

Elle est nommée ainsi en l'honneur du [[mathématicien]] [[Allemagne|allemand]] [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]], qui l'a utilisée pour démontrer son [[théorème de la progression arithmétique]].

== Définition ==
Soit χ un caractère de Dirichlet. La '''série L de Dirichlet''' associée, notée L(&nbsp;, χ), est définie par :<center><math>L(s,\chi) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n^s}</math>.</center>

== Relation avec la fonction zêta de Hurwitz et prolongement analytique==
La série L de Dirichlet associée à un caractère modulo {{mvar|N}} est une [[combinaison linéaire]] des [[fonction zêta de Hurwitz|séries zêta de Hurwitz]] <math>\zeta(s,q)=\sum_{r=0}^\infty\frac1{(q+r)^s}</math> pour {{math|1=''q'' = ''j''/''N''}} avec {{math|1=''j'' = 1, 2, … , ''N''}}.

Plus précisément, soit {{mvar|χ}} un caractère modulo {{mvar|N}}. Alors,
<center><math>L(s,\chi)=\frac1{N^s}\sum_{j=1}^N\chi(j)\,\zeta\left(s,\frac jN\right)</math>.</center>

Par conséquent, [[Fonction zêta de Hurwitz#Prolongement analytique|de même que les séries <math>\zeta(\cdot,q)</math>]], la série <math>L(\cdot,\chi)</math>
*[[Série convergente|converge]] sur le demi-plan des nombres complexes de [[partie réelle]] strictement supérieure à 1 ;
*[[Prolongement analytique|se prolonge analytiquement]] sur le plan complexe en une [[fonction méromorphe]] avec au plus un [[Pôle (mathématiques)|pôle]], simple, au point 1. Ce prolongement est appelé '''fonction L de Dirichlet''' et est encore noté <math>L(\cdot,\chi)</math>, et son [[Résidu (analyse complexe)|résidu]] au point 1 est :<center><math>\operatorname{Res}_1L(\cdot,\chi)=\frac1N\sum_{j=1}^N\chi(j)</math>.</center>
En particulier, la fonction L de Dirichlet du caractère trivial (''N'' = 1) est la [[fonction zêta de Riemann]] <math>\zeta(s)=\zeta(s,1)</math>, dont le résidu au point 1 est, comme celui de toutes les fonctions zêta de Hurwitz, égal à 1.

{{Démonstration|contenu=
Par périodicité de <math>\chi</math>,
:<math>L(s,\chi)=\sum_{j=1}^N\sum_{r=0}^\infty\frac{\chi(j)}{(j+rN)^s}=\frac1{N^s}\sum_{j=1}^N\sum_{r=0}^\infty\frac{\chi(j)}{(j/N+r)^s}=\frac1{N^s}\sum_{j=1}^N\chi(j)\,\zeta\left(s,\frac jN\right)</math>,
d'où
:<math>\operatorname{Res}_1L(\cdot,\chi)=\frac1N\sum_{j=1}^N\chi(j)\operatorname{Res}_1\zeta \left(\cdot,\frac jN\right)=\frac1N\sum_{j=1}^N\chi(j)</math>.
}}

== Comportement au point un ==
Le comportement des séries au point 1 est la clé du [[théorème de la progression arithmétique]]. C'est la raison pour laquelle Dirichlet définit ces séries.
*''Le point ''1 ''est un pôle de la fonction L pour le caractère principal, mais pas pour les autres caractères<ref>Autrement dit, pour les caractères non principaux : la fonction L associée est une [[fonction entière]]. Voir aussi {{ouvrage|auteur=[[Pierre Colmez]]|titre=Éléments d'analyse et d'algèbre (et de théorie des nombres)|année=2009|éditeur=Éditions de l'École polytechnique|isbn=978-2-73021563-3|url={{Google Livres|hMUiEhsa9WUC|page=291}}|page=291}}, théorème VII.4.4. On peut montrer de plus – mais ce n'est pas utile ici – que la série converge vers son prolongement holomorphe sur le demi-plan Re(''s'') > 0, comme toute [[série de Dirichlet]] ∑''a{{ind|n}}/n{{exp|s}}'' dont l'ensemble des sommes ''a''{{ind|1}} + … + ''a{{ind|n}} ''est borné.</ref>.''
{{Démonstration/début}}
Ici, ''N'' désigne le modulo des caractères étudiés.

Si χ est le caractère principal, <math>\operatorname{Res}_1L(\cdot,\chi)</math> = [[Indicatrice d'Euler|φ(''N'')]]/''N'' > 0.

Si χ n'est pas principal, il est [[orthogonalité|orthogonal]] au caractère principal (cf. [[Caractère d'un groupe fini#L'espace hermitien .E2.84.82G|§ « L'espace hermitien ℂ{{exp|''G''}} » de l'article « Caractère d'un groupe fini »]]), c'est-à-dire que<center><math>(1)\quad\sum_{j=1}^N\chi(j)=0</math></center>donc <math>\operatorname{Res}_1L(\cdot,\chi)=0</math>.
{{Démonstration/fin}}
* ''Pour tout caractère non principal, le point ''1 ''n'est pas un [[Zéro d'une fonction|zéro de la fonction]].''
{{Démonstration/début|titre=Démonstration historique}}
''N'' désigne encore le modulo des caractères étudiés.
* '''Il existe au plus un caractère dont la fonction L a 1 pour racine.'''<br />Soit ''r ''le nombre de caractères dont la fonction L a 1 pour racine. Les autres fonctions L sont holomorphes, sauf celle du caractère principal χ{{ind|0}}, dont 1 est pôle d'ordre 1. Le produit ψ de toutes ces fonctions L vérifie donc, sur un disque épointé ''D ''de centre 1 du plan complexe, une majoration de la forme suivante, pour un certain réel ''M '':<center><math>(2)\quad \forall s \in D \quad |\psi (s)| \le M|s-1|^{r-1}</math>.</center>Or un calcul (cf. [[Caractère de Dirichlet#Produit eulérien|§ « Produit eulérien »]] de l'article « [[Caractère de Dirichlet]] ») montre que si ''U'' désigne le groupe des unités de ℤ/''N''ℤ, ''Û ''son [[groupe dual]] de caractères, ''P'' l'ensemble des nombres premiers et ''s ''un nombre complexe de partie réelle strictement supérieure à 1 :<center><math>\forall u\in U\quad\sum_{\chi \in \widehat U}\overline{\chi(u)}\; \log\left(L(s,\chi)\right)=\varphi (N)\sum_{p \in \mathcal P}\quad\sum_{k\in\N^*\text{ et }p^k\in u}\frac1{kp^{ks}}</math>.</center>En choisissant pour ''u'' l'élément neutre du groupe on obtient, pour tout réel ''s ''> 1 :<center><math>\log\psi(s)=\sum_{\chi\in\widehat U}\log L(s,\chi)=\varphi(N)\sum_{p\in\mathcal P}\sum_{k\in\N^*\text{ et }p^k\equiv1}\frac1{kp^{ks}}\in\R^+\quad\text{donc}\quad\psi(s)\in[1,+\infty[</math></center>ce qui, compte tenu de (2), prouve que ''r ''est inférieur ou égal à 1.
* '''La fonction L d'un caractère non réel n'admet pas 1 comme racine.'''<br />Si un caractère χ est non réel et si sa fonction L admet 1 comme racine alors son caractère [[conjugué]] est différent de lui-même et sa fonction L admet aussi 1 comme racine. Le lemme précédent montre que cette configuration est impossible.
* '''La fonction L d'un caractère réel non principal n'admet pas 1 comme racine.'''<br />Cette démonstration est plus délicate. Elle a retenu Dirichlet pendant un an. Celle présentée ici est l'œuvre d'[[Aleksandr Gelfond]] et [[Atle Selberg]]. C'est un [[raisonnement par l'absurde]]. On suppose donc que χ est un caractère réel non principal et que ''L''(1, χ) est nul.<br />Soit (''a<sub>n</sub>''(''t'')) où ''n'' est un entier strictement positif, la suite de fonctions sur ]0, 1[ définie par :<center><math>\forall n\in\N^* \quad \forall t \in ] 0,1[\quad a_n(t)=\frac 1{n(1-t)}-\frac{t^n}{1-t^n}</math>.</center>
**''La suite ''(''a<sub>n</sub>''(''t'')) ''est positive.''<br />On remarque que : <center><math>(1-t^n)a_n(t)=\frac {1-t^n}{n(1-t)}-t^n</math>.</center>La convexité de la [[fonction exponentielle]] montre que, si ln désigne le [[logarithme népérien]] :<center><math>(3)\quad \frac {1-t^n}{n(1-t)}=\frac1n\sum_{i=0}^{n-1}t^i=\frac1n \sum_{i=0}^{n-1}\exp\left( \ln(t^i)\right)\ge\exp\frac{\sum_{i=0}^{n-1}\ln(t^i)}n=\left(\prod_{i=0}^{n-1}t^i \right)^{\frac1n}=t^{\frac{n-1}2}\ge t^n</math>,</center>ce qui démontre que la suite (''a<sub>n</sub>'') est positive.
**''La suite ''(''a<sub>n</sub>''(''t'')) ''est décroissante.''<br />Calculons ''a<sub>n</sub> ''– ''a''<sub>''n ''+ 1</sub> :<center><math>(4)\quad a_n(t)-a_{n+1}(t)=\frac 1{n(n+1)(1-t)}-\frac{t^n(1-t)}{(1-t^n)(1-t^{n+1})}</math>.</center>La minoration (3) montre que :<center><math>(5)\quad\frac{1-t^n}{n(1-t)}\frac{1-t^{n+1}}{(n+1)(1-t)}\ge t^{\frac{n-1}2}t^{\frac n2}\ge t^n</math>.</center>En multipliant l'inégalité (5) par la bonne fraction, on obtient :<center><math>(6)\quad\frac1{n(n+1)(1-t)}\ge\frac{t^n(1-t)}{(1-t^n)(1-t^{n+1})}</math>.</center>L'inégalité (6) prouve bien que la différence (4) est positive.
**''La série de terme général a<sub>n</sub>''(''t'') χ(''n'') ''est absolument majorée par le modulo N du caractère.''<br />On effectue sur la série une [[transformation d'Abel]] :<center><math>\sum_{n=1}^{\infty}a_n(t)\chi(n)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n(t)\left(\sum_{m=1}^n\chi(m)-\sum_{m=1}^{n-1}\chi(m)\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n(t)-a_{n+1}(t)\right)\sum_{m=1}^n\chi(m)</math>.</center>Comme la suite (''a<sub>n</sub>''(''t'')) est positive et décroissante, la valeur ''a<sub>n</sub>''(''t'') – ''a''<sub>''n ''+ 1</sub>(''t'') est positive et majorée par ''a''<sub>1</sub>(''t'') = 1. La fonction χ est périodique de période ''N'' et (cf. équation (1) de la boîte déroulante précédente) la somme de ses valeurs sur ''N'' entiers consécutifs est nulle. Les χ(''m'') sont de [[Module d'un nombre complexe|module]] 0 ou 1, ce qui montre que leur somme ne dépasse jamais ''N'' en module. On a donc bien :<center><math>(7)\quad \left| \sum_{n=1}^{\infty}a_n(t)\chi(n)\right| \le N</math>.</center>
**''La série de terme général a<sub>n</sub>''(''t'') χ(''n'') ''vérifie l'égalité suivante :''<center><math>(8)\quad \sum_{n=1}^{\infty}a_n(t)\chi(n)=- \sum_{n=1}^{\infty} \frac {t^n\chi(n)}{1-t^n}</math>.</center>En effet, par définition de la série :<center><math>\sum_{n=1}^{\infty}a_n(t)\chi(n)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\chi(n)}{n(t-1)} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac {t^n\chi(n)}{1-t^n}=\frac{L(1,\chi)}{t-1}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac {t^n\chi(n)}{1-t^n}</math></center>or ''L''(1, χ) est supposé nul.
**''La série de terme général a<sub>n</sub>''(''t'') χ(''n'') ''vérifie l'égalité suivante :''<center><math>(9)\quad \sum_{n=1}^{\infty}a_n(t)\chi(n)=-\sum_{m=1}^{\infty}A(m)t^m,\quad\text{avec}\quad A(m)=\sum_{n|m}\chi(n)</math>.</center>En effet, l'égalité (8) montre que :<center><math>\sum_{n=1}^{\infty}a_n(t)\chi(n)=- \sum_{n=1}^{\infty}\frac{t^n\chi(n)}{1-t^n}=-\sum_{n=1}^{\infty}\chi(n)t^n\sum_{k=0}^{\infty}t^{kn}=-\sum_{n=1}^{\infty}\chi(n)\sum_{k=1}^{\infty}t^{kn}=-\sum_{m=1}^{\infty}\left(\sum_{n\mid m}\chi(n)\right)t^m</math>.</center>
**''La fonction A''(''m'') ''est à valeurs entières, elle est positive et strictement positive si m est un [[carré parfait]].''<br />χ est un caractère réel, il prend donc ses valeurs dans l'ensemble {–1, 0, 1}, en conséquence ''A''(''m'') prend ses valeurs dans les entiers.<br />Soit ''p'' un nombre premier et ''k'' un entier positif. Si ''p ''divise ''N ''alors toute puissance de ''p'' autre que ''p''{{exp|0}} est d'image nulle par χ et ''A''(''p<sup>k</sup>'') = 1.<br />Si χ(''p'') est égal à 1, alors toute puissance de ''p'' a la même image par χ car un caractère est une [[fonction multiplicative|fonction complètement multiplicative]] et ''A''(''p<sup>k</sup>'') est égal à ''k ''+ 1.<br />Enfin si χ(''p'') est égal à –1, alors toute puissance de ''p'' a pour image par χ : 1 si l'exposant est pair et –1 dans le cas contraire. En conséquence ''A''(''p<sup>k</sup>'') est égal à 1 si ''k'' est pair et 0 dans le cas contraire.<br />Toute puissance d'un nombre premier possède donc une image positive ou nulle par ''A''. Il suffit alors de remarquer que ''A'' est une [[fonction multiplicative]] pour conclure que les images de ''A'' sont toujours positives.<br />Enfin si ''m'' est un carré parfait alors ''A''(''m'') est strictement positif, comme produit de termes de la forme ''A''(''p''{{exp|2''k''}}), tous strictement positifs.
**''Conclusion''<br />Il existe une infinité de carrés parfaits. L'égalité (9) montre que l'expression, en module, peut être choisie aussi grande que l'on veut, si ''t'' est suffisamment proche de 1. Ce résultat est en contradiction avec la majoration (7), ce qui termine la démonstration.
{{Démonstration/fin}}
{{Démonstration/début|titre=Démonstration plus rapide<ref>{{harvsp|Colmez|2009|p=292}}.</ref>}}Calculons le produit ψ de toutes les [[Produit eulérien#Caractère de Dirichlet|fonctions L associées aux caractères modulo ''N'']], pour Re(''s'') > 1 :

<center><math>\psi(s):=\prod_{\chi\in\hat U, p \in \mathcal P}\left(1 -\chi(p)p^{-s}\right)^{-1}=\prod_{p\in\mathcal P}\psi_p(s),\quad\text{avec}\quad\psi_p(s):=\prod_{\chi\in\hat U}\left(1 -\chi(p)p^{-s}\right)^{-1}</math>.</center>

Pour tout ''p'' premier ne divisant pas ''N'', notons ''d''(''p'') et ''h''(''p'') = φ(''N'')/''d''(''p'') les [[Ordre (théorie des groupes)|ordres]] respectifs de l'[[Morphisme de groupes#Noyau et image|image et du noyau]] du [[Morphisme de groupes|morphisme]] χ ↦ χ(''p''), de ''Û'' dans ℂ*<!--d(p) est l'ordre de p dans U mais on ne s'en sert pas-->. Alors, l'image de ce morphisme est le groupe des [[racine de l'unité|racines ''d''(''p'')-ièmes de l'unité]] et chacune de ces racines a ''h''(''p'') antécédents, donc

<center><math>\psi_p(s)=\prod_{\eta^{d(p)}=1}\left(1-\eta p^{-s}\right)^{-h(p)}</math>.</center>

En utilisant l'identité polynomiale <math>\prod_{\eta^d=1}\left(1-\eta X\right)=1-X^d</math> et la [[formule du binôme négatif]], on trouve ainsi :

<center><math>\psi_p(s)=(1-p^{-d(p)s})^{-h(p)}=\sum_{k=0}^\infty{h(p)+k-1\choose k}p^{-kd(p)s}</math>.</center>

Par conséquent,
<center><math>\psi(s)=\prod_{p\in\mathcal P\text{ et }p\nmid N}\sum_{k=0}^\infty{h(p)+k-1\choose k}p^{-kd(p)s}=\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{n^s}</math>,</center>
où tous les ''{{math|a{{ind|n}}}}'' sont des entiers naturels. On en déduit deux faits :
*l'abscisse de convergence de cette [[série de Dirichlet]] est égale à son abscisse d'holomorphie (d'après [[Série de Dirichlet#Abscisse d'holomorphie|un théorème de Landau]], par positivité des ''{{math|a{{ind|n}}}}'') ;
*cette abscisse de convergence est ≥ 0, car<center><math>\psi(0)=\sum_{n=1}^\infty a_n</math></center>diverge puisqu'une infinité des entiers naturels ''{{math|a{{ind|n}}}}'' sont non nuls (par exemple parce que le coefficient de ''p''{{exp|–''d''(''p'')''s''}} est ''h''(''p'') et qu'il y a une infinité de nombres premiers).
Par conséquent, l'abscisse d'holomorphie de ψ est différente de {{math|–∞}}, donc ψ n'est pas prolongeable en une [[fonction entière]]. Il n'existe donc, parmi les caractères modulo ''N'', aucun χ dont la fonction L puisse admettre 1 pour racine et venir ainsi compenser le pôle simple de la fonction L du caractère principal.
{{Démonstration/fin}}

== Zéros des fonctions L de Dirichlet ==

Si χ est un caractère primitif avec χ(–1) = 1, alors les seuls zéros de ''L''(''s'', χ) avec Re(''s'') < 0 sont les entiers pairs négatifs.
Si χ est un caractère primitif avec χ(–1) = –1, alors les seuls zéros de ''L''(''s'', χ) avec Re(''s'') < 0 sont les entiers impairs négatifs.

Hormis l'existence possible d'un [[zéro de Siegel]], beaucoup de résultats similaires à la fonction zêta de Riemann sont connus sur les régions sans zéro de toutes les fonctions L de Dirichlet, à gauche de la droite Re(''s'') = 1.

L'[[hypothèse de Riemann généralisée]] est la généralisation aux fonctions L de Dirichlet de l'[[hypothèse de Riemann]] sur la fonction zêta.

== Équation fonctionnelle ==

Supposons que χ est un caractère primitif de module ''k''. Définissant

<center><math>\varepsilon(s,\chi) = \left(\frac{\pi}{k}\right)^{-(s+a)/2}
\Gamma\left(\frac{s+a}{2}\right) L(s,\chi),</math></center>

où {{math|Γ}} désigne la [[fonction gamma]] et le symbole {{math|''a''}} est donné par

<center><math>a=\begin{cases}0&\mbox{si }\chi(-1)=1, \\ 1&\mbox{si }\chi(-1)=-1,\end{cases}</math></center>

on a l'[[équation fonctionnelle (fonction L)|équation fonctionnelle]]

<center><math>\varepsilon(1-s,\overline{\chi})=\frac{\mathrm i^ak^{1/2}}{\tau(\chi)}\varepsilon(s,\chi),</math></center>

où {{math|τ}} désigne la [[somme de Gauss]] :

<center><math>\tau(\chi)=\sum_{n=1}^k\chi(n)\exp(2\pi\mathrm i n/k).</math></center>

Remarque : {{math|{{!}}τ(χ){{!}} {{=}} ''k''{{exp|1/2}}}}.

==Notes et références==
{{Traduction/Référence|en|Dirichlet L-function|85202657|type=note}}
{{Références}}

==Voir aussi==
===Article connexe===
[[Formule de Perron]]

===Bibliographie===
*{{ouvrage|auteur=[[Jean-Benoît Bost]]|auteur2=[[Pierre Colmez]]|auteur3=[[Philippe Biane]]|titre=La Fonction Zêta|éditeur=Éditions de l'École polytechnique|lieu=Paris|année=2002|isbn=2-7302-1011-3}}
* {{en}} [[Harold Davenport]], ''Multiplicative number theory'', {{3e}} éd., Springer, 2000 {{ISBN|0387950974}}
* {{en}} [[Anatolii Alexevich Karatsuba|A. A. Karatsuba]], ''Basic analytic number theory'', Springer, 1993 {{ISBN|978-0-387-53345-2}}
*{{Lien web|lang=en|auteur=Richard J. Mathar|titre=Table of Dirichlet L-series and Prime Zeta|année=2010|arxiv=1008.2547}}
* {{en}} {{Lien|lang=de|Samuel Patterson|texte=S. J. Patterson}}, ''An Introduction to the Theory of the Riemann Zeta-Function'', Cambridge University Press, 1995 {{ISBN|978-0-521-49905-7}}

===Liens externes===
* {{en}} [http://www.dms.umontreal.ca/~andrew/Courses/Chapter2.pdf Infinitely many primes, with analysis] par [[Andrew Granville]] et [[Kannan Soundararajan]], [[Université de Montréal]]
* [https://webusers.imj-prg.fr/~pierre.colmez/poly-09.pdf Éléments d'analyse et d'algèbre] par [[Pierre Colmez]]
* {{en}} [https://web.archive.org/web/20070929114918/http://gifted.hkedcity.net/Gifted/Download/notes/phase3/advance/Forth%20and%20Fifth%20Lecture%202007-03-10%20Dirichlet%20Theorem%20from%20CJ%20Lam.pdf Dirichlet's theorem on primes in arithmetic progression], [[Olympiades internationales de mathématiques|IMO]] Training 2006-2007

{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Théorie analytique des nombres]]
[[Catégorie:Analyse complexe]]
[[Catégorie:Caractère de Dirichlet]]
[[Catégorie:Série (mathématiques)|Dirichlet (L)]]