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[[Image:Dirichlet.jpg|thumb|right|[[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]] analyse les séries qui portent son nom en [[1837 en science|1837]] pour démontrer le [[théorème de la progression arithmétique]].]]
En [[mathématiques]], une '''série de Dirichlet''' est une [[série (mathématiques)|série]] {{math|''f''(''s'')}} de fonctions définies sur l'ensemble ℂ des [[nombre complexe|nombres complexes]], et associée à une [[Suite (mathématiques)|suite]] {{math|(''a{{ind|n}}'')}} de nombres complexes de l'une des deux façons suivantes :
<center><math>f(s)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{a_n}{n^s}\quad\text{ou}\quad f(s)=\sum_{n=1}^{+\infty}a_n\mathrm e^{-s\lambda_n}</math>.</center>

Ici, la suite {{math|(''λ{{ind|n}}'')}} est réelle, positive, strictement croissante et non bornée. Le domaine de [[convergence absolue]] d'une série de Dirichlet est soit un [[demi-plan]] ouvert de ℂ, limité par une droite dont tous les points ont même abscisse, soit l'[[ensemble vide]], soit ℂ tout entier. Le domaine de [[Série convergente|convergence simple]] est de même nature. Sur le domaine de convergence simple, la fonction définie par la série est [[fonction holomorphe|holomorphe]]. Si la partie réelle de {{mvar|s}} tend vers {{math|+∞}}, la fonction somme, si elle existe, tend vers {{math|0}}.

Les séries de [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Dirichlet]] interviennent en [[théorie analytique des nombres]]. Dirichlet en analyse certaines, les [[Série L de Dirichlet|séries L de Dirichlet]], pour démontrer en 1837 le [[théorème de la progression arithmétique]]. L'[[hypothèse de Riemann]] s'exprime en termes de [[zéro d'une fonction|zéros]] du [[prolongement analytique]] d'une fonction somme d'une série de Dirichlet.

== Définitions et exemples ==
=== Définitions ===
Il existe deux définitions différentes des séries de Dirichlet :

*Une série de Dirichlet est une série de la forme suivante, où {{math|(''a<sub>n</sub>'')}} désigne une suite de nombres complexes :
<center><math>f(s)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac {a_n}{n^s}</math>.</center>

Cet article utilise une définition plus générale<ref name=Valiron>{{harvsp|Valiron|1926}}.</ref> :
*Une série de Dirichlet est une série de la forme suivante, où {{math|(''a<sub>n</sub>'')}} désigne une suite de nombres complexes et {{math|(''λ{{ind|n}}'')}} une suite réelle, positive, strictement croissante et non bornée :
<center><math>f(s)=\sum_{n=1}^{+\infty}a_n\mathrm e^{-s\lambda_n}</math>.</center>
La première définition correspond au cas particulier {{math|''λ{{ind|n}}'' {{=}} [[Logarithme naturel|ln(''n'')]]}}.
*On associe classiquement<ref name=Valiron/> à une telle série les deux fonctions<center><math>A(u)=\sum_{1\le n\le u}a_n,\quad A_\lambda(x)=\sum_{\lambda_n\le x}a_n</math>.</center>

=== Exemples ===
*Parmi les séries de Dirichlet « classiques », celles de la première définition, figurent les [[Série L de Dirichlet|séries L de Dirichlet]], qui correspondent aux cas où la suite {{math|(''a<sub>n</sub>'')}} est [[fonction multiplicative|totalement multiplicative]] et [[Fonction périodique|périodique]]. L'exemple le plus simple d'une telle suite (appelée un [[caractère de Dirichlet]]) est la suite constante {{math|1=''a{{ind|n}}'' = 1}}, qui correspond à la [[série de Riemann]]<center><math>\zeta (s)=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^s}</math>.</center>
*La théorie des séries de Dirichlet générales, en autorisant d'autres suites d'exposants {{mvar|λ{{ind|n}}}} que la suite {{math|(ln(''n''))}}, permet d'inclure d'autres théories classiques :
**Si les valeurs {{mvar|λ{{ind|n}}}} vérifient : {{math|1=''λ{{ind|n}}''&nbsp;=&nbsp;''n''}} et si l'on note {{math|1=''z''&nbsp;=&nbsp;e<sup>–''s''</sup>}}, la série prend la forme :<center><math>f(z)=\sum_{n=1}^\infty a_nz^n</math>.</center>On retrouve la définition d'une [[série entière]], à une constante additive près<ref>Selon cette définition, la série entière est nulle en {{math|0}}.</ref>.
**Dans le cas où {{math|1=''λ{{ind|n}}''&nbsp;=&nbsp;2π''n''}}, le changement de variable {{math|1=''s''&nbsp;=&nbsp;–i''t''}} montre qu'une [[série de Fourier]] est aussi un cas particulier de série de Dirichlet.

== Abscisses de convergences ==
=== Convergence simple et convergence absolue ===

Lorsque la série n'est pas à coefficients positifs (ou de même signe), il faut distinguer la [[convergence absolue]] de la convergence simple. 

'''Exemple''' : la série de Dirichlet de la [[fonction êta de Dirichlet]] est <math>\eta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1}\over n^s}</math>. Elle converge simplement (c'est une [[série alternée]]) pour les nombres réels {{math|> 0}} (et diverge si {{math|''s'' < 0}}) et converge absolument pour les nombres réels {{math|> 1}} (et seulement pour ceux-là). De plus, la fonction êta se prolonge de manière holomorphe à tout le plan complexe, bien que la série ne converge pas si {{math|''s'' ≤ 0}}.

On dit que {{math|0}} est l''''abscisse de convergence simple''', que {{math|1}} est l''''abscisse de convergence absolue''' de la série de Dirichlet et que {{math|–∞}} est l''''abscisse d'holomorphie'''.

=== Abscisse de convergence simple ===
Soit {{mvar|C<sub>f</sub>}} l'ensemble des nombres réels {{mvar|a}} tels que la série {{math|''f''(''a''&nbsp;+ ''b''{{math|i}})}} [[Série convergente|converge]] pour au moins un réel {{mvar|b}}. Cet ensemble permet la définition<ref name=Singularite8>{{harvsp|Petkov|Yger|2001|p=8}}</ref> :

L''''abscisse de convergence simple''', encore appelée '''abscisse de convergence''' est la [[borne inférieure]] {{math|σ{{ind|c}}}} de l'ensemble {{mvar|C<sub>f</sub>}}. Autrement dit : si {{mvar|C<sub>f</sub>}} n'est pas minoré alors {{math|1=σ{{ind|c}} = –∞}}, si {{mvar|C<sub>f</sub>}} est vide alors {{math|1=σ{{ind|c}} = +∞}}, et dans tous les autres cas, {{math|σ{{ind|c}}}} est le plus grand réel {{math|σ}} tel qu'en tout point du demi-plan {{math|[[Partie réelle|Re(''s'')]] < σ}}, la série diverge. 

Cette abscisse de convergence est l'objet d'une proposition<ref name=Singularite8/> :

*''Sur le demi-plan'' {{math|Re(''s'') > σ{{ind|c}}}}'', la série {{mvar|f}} est convergente.''
*''Pour tout point'' {{math|''s''{{ind|0}}}} ''de ce demi-plan, la convergence est [[convergence uniforme|uniforme]] dans tout secteur de la forme'' {{math|{{!}}[[Argument d'un nombre complexe|arg]](''s – s''{{ind|0}}){{!}} ≤ θ}}, ''où'' {{math|0&nbsp;≤&nbsp;θ&nbsp;<&nbsp;π/2}}.
On en déduit que la convergence est uniforme sur tout sous-ensemble compact du demi-plan, d'où le corollaire :
*''La série de Dirichlet est [[fonction holomorphe|holomorphe]] sur son demi-plan de convergence et'' <math>f'(s)=\sum_{n=1}^{+\infty}-\lambda_na_n\mathrm e^{-s\lambda_n}</math>.


Si la suite {{math|(''A''(''n''))}} est [[suite bornée|bornée]], alors l'abscisse de convergence est négative ou nulle. Plus généralement<ref>Cf. par exemple {{harvsp|Valiron|1926|p=7}}, {{harvsp|Petkov|Yger|2001|p=11}}, {{harvsp|Mandelbrojt|1969|p=12}} ou {{ouvrage|langue=en|titre=An Introduction to Transform Theory|nom1=[[David Widder|D. V. Widder]]|éditeur=Academic Press|année=1971|passage=31|url={{Google Livres|8yim_Yy1sxMC|page=31}}}}.</ref>{{,}}<ref>L'énoncé originel de {{harvsp|Cahen|1894}} {{Citation|1=si σ{{ind|c}} ≥ 0 alors σ{{ind|c}} = ''N''}} et sa démonstration, bien que repris tels quels dans {{harvsp|Apostol|1990|p=162-164}} ({{Google Livres|bDEMCAAAQBAJ|page=162|aperçu}}), sont faux si {{math|1=σ{{ind|c}} = 0}}. Cependant, {{harvsp|Hardy|Riesz|1915|p=6-7}} démontrent cet énoncé de Cahen sous l'hypothèse supplémentaire que la série diverge en 0, ou converge vers une valeur non nulle, et {{ouvrage|langue=en|titre=Multiplicative Number Theory I: Classical Theory|prénom=Hugh L.|nom=Montgomery|lien auteur1=Hugh L. Montgomery|lien auteur2=Robert Charles Vaughan|prénom2=R. C.|nom2=Vaughan|lien éditeur=Cambridge University Press|éditeur=CUP|année=2007|passage=13|url={{Google Livres|mrMDWlRZXRsC|page=13}}}} le font sans cette hypothèse, mais seulement pour une série de Dirichlet classique ([[c.-à-d.]] pour {{math|''λ{{ind|n}}'' {{=}} ln(''n'')}}).</ref>{{,}}<ref>{{article|langue=en|prénom=T.|nom=Kojima|titre=On the convergence-abscissa of general Dirichlet's series|revue=[[Tohoku Mathematical Journal|TMJ]]|volume=6|année=1914|p.=134-139}} a fourni une variante {{mvar|N'}} ({{Google Livres|WHjO9K6xEm4C|page=458|aperçu}}) qui est toujours égale à {{math|σ{{ind|c}}}}, même quand {{mvar|N'}} n'est pas strictement positive : cf. {{article|prénom=Maurice|nom=Blambert|titre=Sur l'abscisse de convergence simple des séries de Dirichlet générales|lien périodique=Annales de l'Institut Fourier|revue=Ann. Inst. Fourier|volume=14|numéro=2|année=1964|p.=509-518|url=http://www.numdam.org/item?id=AIF_1964__14_2_509_0}}.</ref> :

* ''Soit {{mvar|L}} la [[limite supérieure]] suivante :''<center><math>L= \limsup_{n\rightarrow \infty} \frac{\ln|A(n)|}{\lambda_n}.</math></center>''Si'' {{math|''L'' > 0}} ''alors'' {{math|1=σ{{ind|c}} = ''L''}} ; si {{math|''L'' ≤ 0}} ''alors'' {{math|σ{{ind|c}} ≤ 0}}.

En démontrant cette propriété, on obtient au passage l'expression intégrale suivante<ref name=Valiron/> :
*''Pour tout nombre complexe {{mvar|s}} de partie réelle strictement supérieure à'' {{math|max(σ{{ind|c}}, 0)}},<center><math>(*)\quad f(s)=s\int_0^\infty A_\lambda(x)\mathrm e^{-sx}\mathrm dx</math>.</center>
Dans le cas des séries de Dirichlet classiques (c.-à-d. pour {{math|''λ{{ind|n}}'' {{=}} ln(''n'')}}), cette formule devient, par changement de variable<ref>Pour une preuve directe dans ce cas et des exemples, voir l'article « [[Formule sommatoire d'Abel]] ».</ref> :
<center><math>f(s)=s\int_1^\infty\frac{A(u)}{u^{1+s}}\mathrm du</math>.</center>
{{Démonstration/début|titre=Démonstrations}}
L'outil principal de ces démonstrations est une petite variante de la [[formule sommatoire d'Abel]] (obtenue par [[sommation par parties|transformation d'Abel]]) :

<center><math>(1)\quad\sum_{n=1}^qa_n\mathrm e^{-s\lambda_n}=A(q)\mathrm e^{-s\lambda_q}-\int_0^{\lambda_q}A_\lambda(x)\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(\mathrm e^{-sx}\right)\mathrm dx=A(q)\mathrm e^{-s\lambda_q}+s\int_0^{\lambda_q}A_\lambda(x)\mathrm e^{-sx}\mathrm dx</math></center>

et de même, si {{math|''p'' ≤ ''q''}} :

<center><math>(2)\quad\sum_{n=p}^qa_n\mathrm e^{-s\lambda_n}=(A(q)-A(p-1))\mathrm e^{-s\lambda_q}+s\int_{\lambda_p}^{\lambda_q}\left(A_\lambda(x)-A(p-1)\right)\mathrm e^{-sx}\mathrm dx</math></center>

(ce qui revient à remplacer {{math|''a''{{ind|1}}, ''a''{{ind|2}}, … , ''a''{{ind|''p ''– 1}}}} par {{math|0}} dans la première formule).

* '''Convergence uniforme :'''<br />Pour alléger les notations, on peut d'abord se ramener au cas {{math|1=''s''{{ind|0}} = 0}} par changement de variable et modification des coefficients, en écrivant la série sous la forme<center><math>\sum \left(a_n\mathrm e^{-s_0\lambda_n}\right)\mathrm e^{-(s-s_0)\lambda_n}</math>.</center>Soit {{math|ε}} un réel strictement positif et {{mvar|D}} le secteur {{math|{{!}}arg(''s''){{!}} ≤ θ}}, l'objectif est de montrer que :<center><math>\exists N \in \N\quad\forall s \in D\quad\forall p,q\ge N\text { avec } p \le q \quad \left| \sum_{n=p}^q a_n\mathrm e^{-s\lambda_n}\right|\le\varepsilon</math>.</center>Par hypothèse, la série de Dirichlet converge en {{math|1=''s''{{ind|0}} = 0}}, c'est-à-dire que la suite {{math|(''A''(''n''))}} est convergente. Si {{mvar|N}} est choisi suffisamment grand, on a donc :<center><math>q\ge p\ge N\Rightarrow|A(q)-A(p-1)|\le\varepsilon\cos(\theta)</math>.</center>Pour tout point {{mvar|s}} de {{mvar|D}} et pour tous {{math|''q'' ≥ ''p'' ≥ ''N''}}, on déduit alors de la formule (2) :<center><math>\begin{align}\left|\sum_{n=p}^qa_n\mathrm e^{-s\lambda_n}\right|&\le\varepsilon\cos(\theta)\big(\mathrm e^{-\mathrm{Re}(s)\lambda_q}+\frac{|s|}{\mathrm{Re}(s)}\left(\mathrm e^{-\mathrm{Re}(s)\lambda_p}-\mathrm e^{-\mathrm{Re}(s)\lambda_q}\right)\big)\\
&=\varepsilon\cos(\theta)\left(\frac{|s|}{\text{Re}(s)}\mathrm e^{-\lambda_p\text{Re}(s)}-\left(\frac{|s|}{\text{Re}(s)}-1\right)\mathrm e^{-\lambda_q\text{Re}(s)}\right)\\
&\le\varepsilon\cos(\theta)\frac{|s|}{\text{Re}(s)}\mathrm e^{-\lambda_p\text{Re}(s)}
\\&\le\varepsilon.\end{align}</math></center>L'application du [[Suite de Cauchy|critère de Cauchy]] termine la démonstration.
*'''{{math|max(0, ''L'') ≥ σ{{ind|c}}}} et si {{math|Re(''s'') > max(0, ''L'')}} alors {{math|''f''(''s'')}} est donné par la formule (*) :'''<br />Montrons pour cela que si {{math|Re(''s'') > max(0, ''L'')}}, alors la série de Dirichlet en {{mvar|s}} converge (ce qui prouvera que {{math|max(0, ''L'') ≥ σ{{ind|c}}}}) et sa valeur est donnée par cette formule. Soit {{math|σ}} un réel tel que {{math|Re(''s'') > σ > max(0, ''L'')}}. Puisque {{math|σ > ''L''}}, on a, pour tout {{mvar|n}} suffisamment grand :<center><math>|A(n)|\le\mathrm e^{\sigma\lambda_n}</math></center>et puisque {{math|σ > 0}} on a alors :<center><math>\forall x\in[\lambda_n,\lambda_{n+1}[\quad |A_\lambda(x)|=|A(n)|\le\mathrm e^{\sigma\lambda_n}\le\mathrm e^{\sigma x}</math>.</center>Par conséquent, lorsqu'on fait tendre {{mvar|q}} vers {{math|+∞}} dans (1), le premier des deux termes de la somme tend vers {{math|0}} et le second est une intégrale (absolument) convergente, ce qui conclut.
*''' Si {{math|''L'' > 0}} alors {{math|σ{{ind|c}} ≥ ''L''}} :'''<br />Montrons pour cela que {{math|max(0, σ{{ind|c}}) ≥ ''L''}} et pour ce faire, fixons un réel {{math|σ}} strictement supérieur à {{math|0}} et à {{math|σ{{ind|c}}}} et montrons qu'alors, {{math|σ ≥ ''L''}}.<br />Notons {{mvar|B{{ind|n}}}} les sommes partielles de la série de Dirichlet en {{math|σ}} et {{mvar|M}} un majorant des modules des {{mvar|B{{ind|n}}}}. La [[transformation d'Abel]] montre que :<center><math>\forall n \in \N^* \quad\sum_{k=1}^n a_k=\sum_{k=1}^{n-1}B_k(\mathrm e^{\lambda_k\sigma}-\mathrm e^{\lambda_{k+1}\sigma})+B_n\mathrm e^{\lambda_n\sigma}</math>.</center>On en déduit :<center><math>\left|\sum_{k=1}^n a_k\right|\le M\sum_{k=1}^{n-1}\left(\mathrm e^{\lambda_{k+1}\sigma}-\mathrm e^{\lambda_k\sigma}\right)+M\mathrm e^{\lambda_n\sigma}\le 2M\mathrm e^{\lambda_n\sigma}</math>,</center>ce qui montre que :<center><math>\forall n\in\N^*\quad \sigma\ge\frac 1{\lambda_n}\left(\ln\left(\left|\sum_{k=1}^n a_k\right|\right) - \ln (2M)\right)</math>.</center>On a donc bien {{math|σ ≥ ''L''}}.
*'''Synthèse des deux points précédents :'''<br />Si {{math|''L ''> 0}} alors {{math|σ{{ind|c}} ≥ ''L''}} et {{math|1=σ{{ind|c}} ≤ max(0, ''L'') = ''L''}}, donc {{math|1=σ{{ind|c}} = ''L''}}.<br />Si {{math|''L ''≤ 0}} alors {{math|1=σ{{ind|c}} ≤ max(0, ''L'') = 0}}.<br />Enfin, (*) est vrai pour tout {{mvar|s}} de partie réelle strictement supérieure à {{math|max(0, ''L'')}}, qui dans les deux cas est bien égal à {{math|max(σ{{ind|c}}, 0)}}.
{{Démonstration/fin}}

Une autre proposition traite du cas où l'abscisse de convergence simple est strictement négative :

*''Si l'abscisse de convergence simple d'une série de Dirichlet est strictement négative, elle est égale à la limite suivante<ref>{{harvsp|Petkov|Yger|2001|p=12}}</ref> :<center><math>\limsup_{n\to\infty}\frac{\ln\left(\left|\sum_{k=n+1}^{\infty}a_k\right|\right)}{\lambda_{n+1}}</math>.</center>''

===Abscisse d'holomorphie===
Cette abscisse {{math|σ{{ind|h}}}} est définie comme la borne inférieure de l'ensemble des réels {{mvar|x}} tels que la série admette un prolongement holomorphe sur le demi-plan {{math|Re(''s'') > ''x''}}.

D'après ce qui précède, on a toujours
<center><math>\sigma_{\mathrm h}\le\sigma_{\mathrm c}</math>,</center>
mais une ''différence majeure avec la théorie des séries entières''<ref name=Hol>{{harvsp|Petkov|Yger|2001|p=9}} et {{harvsp|Colmez|2009|p=274}}</ref> est que cette inégalité peut être stricte, comme le montre l'exemple des [[Série L de Dirichlet|fonctions L de Dirichlet]] associées à des  [[Caractère de Dirichlet|caractères non principaux]].

On a cependant égalité si les coefficients de la série sont positifs :

{{Théorème|Théorème de [[Edmund Landau|Landau]]<ref name=Hol/>|Soit une série de Dirichlet<center><math>f(s)=\sum_{n=1}^{+\infty}a_n\mathrm e^{-s\lambda_n}</math></center>dont tous les coefficients {{mvar|a{{ind|n}}}} sont des réels positifs ou nuls et dont l'abscisse de convergence {{math|σ{{ind|c}}}} est un réel. Alors, {{math|σ{{ind|c}}}} est un point singulier de {{mvar|f}} et l'on a {{math|σ{{ind|h}} {{=}} σ{{ind|c}}}}.}}

{{Démonstration|Supposons [[Raisonnement par l'absurde|par l'absurde]] que la série admette un prolongement analytique sur un disque de centre {{math|σ{{ind|c}}}} et de rayon {{math|3ε > 0}}. Alors elle serait la somme de sa série de Taylor sur le disque de même rayon et de centre {{math|σ{{ind|c}} + ε}}. Or en ce centre, ses coefficients de Taylor se calculent en dérivant terme à terme la série de Dirichlet. Par évaluation au point {{math|σ{{ind|c}} – ε}} de ce disque, on obtiendrait ainsi :
<center><math>\begin{align}+\infty&>\sum_{k=0}^\infty\left(\sum_{n=1}^\infty a_n(-\lambda_n)^k\mathrm e^{-\lambda_n(\sigma_c+\varepsilon)}\right)\frac{(-2\varepsilon)^k}{k!}\\
&=\sum_{k=0}^\infty\left(\sum_{n=1}^\infty a_n\lambda_n^k\mathrm e^{-\lambda_n(\sigma_c+\varepsilon)}\right)\frac{(2\varepsilon)^k}{k!}\\
&=\sum_{n=1}^\infty a_n\mathrm e^{-\lambda_n(\sigma_c+\varepsilon)}\sum_{k=0}^\infty\frac{(2\varepsilon\lambda_n)^k}{k!}\\
&=\sum_{n=1}^\infty a_n\mathrm e^{-\lambda_n(\sigma_c+\varepsilon)}\mathrm e^{2\varepsilon\lambda_n}\\
&=\sum_{n=1}^\infty a_n\mathrm e^{-\lambda_n(\sigma_c-\varepsilon)},\end{align}
</math></center>
l'interversion dans la série double étant justifiée parce qu'elle est à termes positifs. La série de Dirichlet serait donc convergente en {{math|σ{{ind|c}} – ε}}, ce qui est contraire à la définition de {{math|σ{{ind|c}}}}.}}

On a aussi {{math|1=σ{{ind|h}} = σ{{ind|c}}}} sous d'autres hypothèses complémentaires<ref name=Valiron/>, en posant
<center><math>\Delta=\limsup_{n\to\infty}\frac n{\lambda_n}\quad\text{et}\quad G=\liminf_{n\to\infty}(\lambda_{n+1}-\lambda_n)</math> :</center>
*Si {{math|1=Δ = 0}}, si {{math|''G'' > 0}} et si {{math|σ{{ind|c}}}} est finie, alors tout point de la droite {{math|1=Re(''s'') = σ{{ind|c}}}} est singulier pour la fonction.
*Si {{math|Δ}} est fini, si {{math|''G'' > 0}} et si {{math|σ{{ind|c}}}} est finie, alors tout segment de longueur {{math|2{{math|π}}/''G''}} de la droite {{math|1=Re(''s'') = σ{{ind|c}}}} contient au moins un point singulier pour la fonction (ce qui généralise le fait que pour une série entière, le bord du disque de convergence contient au moins un point singulier).

=== Abscisse de convergence absolue ===
On définit de même l'''abscisse de [[convergence absolue]]'' {{math|σ{{ind|a}}}} comme la borne inférieure de l'ensemble des réels {{mvar|x}} pour lesquels la série est absolument convergente sur le demi-plan {{math|Re(''s'') > ''x''}}. Les deux abscisses {{math|σ{{ind|a}}}} et {{math|σ{{ind|c}}}} (évidemment égales pour une série à coefficients positifs) sont liées en général par les inégalités<ref>{{harvsp|Cahen|1894|p=92}}</ref>:
<center><math>\sigma_{\mathrm c}\leq\sigma_{\mathrm a}\le\sigma_{\mathrm c}+D\quad\mathrm{o\grave u}\quad D=\limsup_{n\to\infty}\frac{\ln n}{\lambda_n}.</math></center>
On montre de plus que<ref name=Valiron/> :
<center><math>\text{si}\quad D=0\quad\text{alors}\quad\sigma_{\mathrm c}=\sigma_{\mathrm a}=\limsup_{n\to\infty}\frac{\ln|a_n|}{\lambda_n}</math>,</center>
ce qui généralise le [[théorème de Cauchy-Hadamard]] sur le [[rayon de convergence]] d'une série entière. Remarquons que {{mvar|D}} est nul dès que {{math|Δ}} est fini, mais que cela ne suffit pas<ref name=Valiron/> à assurer l'existence de points singuliers sur la droite critique.

Dans le cas d'une série de Dirichlet {{Citation|classique}} : <math> \sum_{n=1}^{\infty}{a_n \over n^s}</math>, on a {{math|1=''D'' = 1}}, donc :
<center><math>\sigma_{\mathrm c}\leq\sigma_{\mathrm a}\le\sigma_{\mathrm c}+1</math>.</center>

L'exemple de la série de Dirichlet de la [[fonction êta de Dirichlet]] (<math>\eta(s) = \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1} \over n^s}</math>) montre que l'on a une inégalité optimale : la série converge simplement (c'est une [[série alternée]]) seulement pour les nombres réels {{math|> 0}} et absolument seulement pour les nombres réels {{math|> 1}}.

==Unicité du développement==

On se ramène au cas où les deux séries à comparer ont même type (c.-à-d. mêmes {{mvar|λ{{ind|n}}}}) en prenant la réunion (réordonnée de façon croissante) de leurs types respectifs.

Dans ce cas, si elles ont même fonction limite sur un demi-plan {{math|Re(''s'') > σ}} où elles convergent toutes deux, alors, d'après la [[formule de Perron]], elles ont mêmes coefficients.

Il suffit pour cela<ref>{{harvsp|Hardy|Riesz|1915|p=6}}</ref> que {{math|σ}} soit de la forme {{math|Re(''s''{{ind|0}}) + ε}} pour un certain {{math|''s''{{ind|0}}}} où les deux séries convergent et un certain {{math|ε > 0}} et que les deux fonctions sur ce demi-plan coïncident en une infinité de points appartenant à un secteur {{math|{{!}}arg(''s – s''{{ind|0}}){{!}} ≤ θ}} avec {{math|θ < π/2}}. En effet, si la différence de ces deux fonctions n'est pas nulle, alors ses zéros dans un tel domaine [[Compacité (mathématiques)#Théorème de Bolzano-Weierstrass et compacité séquentielle|sont en nombre fini]] puisqu'[[théorème des zéros isolés|isolés]] et [[Théorème de Borel-Lebesgue|bornés]] (car la différence des deux séries, divisée par son premier terme non nul, est convergente en {{math|''s''{{ind|0}}}} [[#Abscisse de convergence simple|donc uniformément convergente dans ce secteur]], si bien que la fonction associée tend vers {{math|1}} quand {{mvar|s}} tend vers l'infini).

== Exemples de décompositions en série de Dirichlet ==
{{Loupe|Fonction zêta de Riemann}}

*<math>\frac1{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu(n)}{n^s}</math> où {{math|μ}} est la [[fonction de Möbius]].
*<math>\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty} 
\frac{\varphi(n)}{n^s}</math> où {{math|φ}} est l'[[indicatrice d'Euler]]<br />et plus généralement, <math>\frac{\zeta(s-k)}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{J_k(n)}{n^s}</math> où {{math|''J{{ind|k}}''}} est la [[fonction totient de Jordan]].
*<math>\zeta(s)\zeta(s-a)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sigma_{a}(n)}{n^s}</math> où {{math|σ{{ind|''a''}}(''n'')}} est la [[fonction diviseur]].
* <math>\frac{\zeta(s)\zeta(s-a)\zeta(s-b)\zeta(s-a-b)}{\zeta(2s-a-b)}
=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_a(n)\sigma_b(n)}{n^s}</math>.

==Propriétés analytiques==

Dans beaucoup de cas, la fonction analytique associée à une série de Dirichlet possède un prolongement analytique sur un domaine plus large. Ceci est le cas pour la [[fonction zêta de Riemann]], [[méromorphe]] sur ℂ avec un unique [[pôle (mathématiques)|pôle]] en {{math|1=''s'' = 1}}. Une des conjectures les plus importantes et non résolues des mathématiques appelée l'[[hypothèse de Riemann]] concerne les zéros de cette fonction.

Une première étape dans l'étude du prolongement analytique d'une série de Dirichlet générale
<center><math>f(s)=\sum_{n=1}^{+\infty} a_n\mathrm e^{-s\lambda_n}</math></center>
est de définir une nouvelle série de Dirichlet
<center><math>F(s)=\sum_{n=1}^{+\infty} a_n\mathrm e^{-s\mu_n},\quad\mathrm{o\grave u}\quad\mu_n=\mathrm e^{\lambda_n}</math>,</center>
qui converge au moins sur le demi-plan {{math|Re(''s'') > 0}} si {{math|σ{{ind|c}} < ∞}} (et même sur tout le plan si {{math|σ{{ind|c}} < 0}}).

En utilisant que la [[fonction gamma|fonction {{math|Γ}}]] vérifie, pour tout complexe {{mvar|s}} de partie réelle {{math|> 0}} (par [[Intégration par changement de variable|changement de variable]] ''{{math|x {{=}} t μ{{ind|n}}}}'')
<center><math>\mathrm e^{-s\lambda_n}\Gamma(s)=\mathrm e^{-s\lambda_n}\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-x}x^{s-1}~\mathrm dx=\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-t\mu_n}t^{s-1}~\mathrm dt</math></center>
et en justifiant l'[[Théorème d'interversion série-intégrale|interversion série-intégrale]] par des majorations adéquates<ref name=PetkovYger47>{{harvsp|Petkov|Yger|2001|p=47}}</ref>, on obtient alors, pour tout complexe {{mvar|s}} tel que {{math|Re (''s'') > max(σ{{ind|c}}, 0)}} :
<center><math>f(s)=\frac1{\Gamma(s)}\int_0^\infty F(t)t^{s-1}~\mathrm dt</math><ref>On voit apparaître la [[transformée de Mellin]] de {{mvar|F}}.</ref>{{,}}<ref>Le cas particulier où {{mvar|f}} est la fonction zêta de Riemann — {{math|''F''(''t'')}} étant alors clairement égal à {{math|1/(e{{exp|''t''}} – 1)}} — est traité dans le [[Fonction zêta de Riemann#Expression intégrale|§ « Expression intégrale » de l'article « Fonction zêta de Riemann »]].</ref>
.</center>

On en déduit au passage<ref name=PetkovYger47/> que pour tout {{math|σ > max(σ{{ind|c}}, 0)}}, {{math|''F''(''s'')}} est la [[Valeur principale de Cauchy|valeur principale]] de
<center><math>\frac1{2\pi\mathrm i}\int_{\sigma-\mathrm i\infty}^{\sigma+\mathrm i\infty}\Gamma(\zeta)f(\zeta)\zeta^{-s}~\mathrm d\zeta</math>.</center>

Mais l'expression de {{mvar|f}} en fonction de {{mvar|F}} est surtout utile pour en déduire un prolongement méromorphe, sous certaines hypothèses :
{{Théorème|Théorème ([[Godfrey Harold Hardy|Hardy]]-[[Michael Fekete|Fekete]])<ref>{{harvsp|Petkov|Yger|2001|p=49}}</ref>|Si {{math|σ{{ind|c}} < ∞}} et si {{mvar|F}} se prolonge en une fonction méromorphe en {{math|0}}, l'ordre du pôle étant {{math|''q'' ≥ 0}}, alors {{mvar|f}} se prolonge en une fonction méromorphe sur tout le plan complexe, avec comme seuls pôles éventuels des pôles simples en {{math|1, 2, … , ''q''}}.}}

{{Démonstration|titre=Démonstration<ref>{{harvsp|Petkov|Yger|2001|p=49}} pour le cas général. Pour les séries de Dirichlet classiques, voir aussi {{harvsp|Colmez|2009|p=280 et suivantes}}.</ref>|contenu=
On démontre facilement que {{mvar|F}} est à [[Espace de Schwartz|décroissance rapide]], donc
<center><math>\Gamma(s)f(s)=\int_0^xF(t)t^{s-1}~\mathrm dt+\int_x^{+\infty}F(t)t^{s-1}~\mathrm dt</math></center>
où, pour tout {{math|''x ''> 0}}, la seconde intégrale est une [[fonction entière]]<ref>{{harvsp|Colmez|2009|p=247}} : Fonctions holomorphes définies par une intégrale</ref>. De plus, par hypothèse, {{mvar|F}} possède au voisinage de {{math|0}} un développement de la forme :
<center><math>F(t)=\sum_{k=0}^\infty c_kt^{k-q}</math></center>
donc pour {{mvar|x}} assez petit et pour tout complexe {{mvar|s}} tel que {{math|Re(''s'') > ''q''}} :
<center><math>\int_0^xF(t)t^{s-1}~\mathrm dt=\sum_{k=0}^\infty\frac{c_kx^{k-q+s}}{k-q+s}</math>.</center>
Or cette série converge pour tout complexe {{mvar|s}} différent des entiers {{math|''q'', ''q ''– 1, ''q ''– 2, …}} (car le [[rayon de convergence]] de la série entière de coefficients {{mvar|c{{ind|k}}}} n'est pas modifié lorsqu'on divise ces coefficients par les {{math|''k'' – ''q'' + ''s''}}) et définit une fonction méromorphe, de pôles (simples) les {{math|''q'' – ''k''}} pour tout entier naturel {{mvar|k}}. Comme la fonction {{math|1/Γ}} est entière, on obtient ainsi un prolongement méromorphe, que nous noterons encore {{mvar|f}}, à tout le plan complexe :
<center><math>f(s)=\frac1{\Gamma(s)}\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{c_kx^{k-q+s}}{k-q+s}+\int_x^{+\infty}F(t)t^{s-1}~\mathrm dt\right)</math>.</center>
Enfin, les zéros de {{math|1/Γ}} aux points {{math|0, –1, –2}}, etc. compensent les pôles simples correspondants, donc {{mvar|f}} a pour seuls pôles éventuels (simples) {{nobr|{{math|''q'', ''q ''– 1, … , 1}}.}}

On peut de plus calculer, aux entiers {{math|''q'' – ''k''}}, le [[Résidu (analyse complexe)|résidu]] ou la valeur de {{mvar|f}}, selon que {{math|0 ≤ ''k'' < ''q''}} ou {{math|''k'' ≥ ''q''}} :
<center><math>\forall n\in\{q,q-1,\ldots,1\}\quad \text{Res}(f,n)=\frac{c_{q-n}}{\Gamma(n)}</math></center>
<center><math>\forall n\in\N\quad f(-n)=\lim_{\varepsilon\to 0}\frac1{\Gamma(-n+\varepsilon)}\frac{c_{q+n}x^{\varepsilon}}{\varepsilon}=\frac{c_{q+n}}{\text{Res}(\Gamma,-n)}=(-1)^n~n!~c_{q+n}</math>.</center>
}}

== Historique ==

Dirichlet définit ces séries en 1837 et les utilisa pour démontrer le théorème de la progression arithmétique, selon lequel il existe une infinité de nombres premiers dans toute progression arithmétique {{nobr|{{math|''an'' + ''b''}}}} dès que {{mvar|a}} et {{mvar|b}} sont premiers entre eux. Elles ne furent étudiées qu'à partir des travaux d'[[Eugène Cahen]], qui en fit son sujet de thèse en 1894. Mais sa thèse fut l'objet de nombreuses critiques et provoqua ainsi de nouveaux travaux<ref>{{Citation étrangère|lang=en|[…] the first attempt to construct a systematic theory of the function {{math|f{{'}}{{'}}(''s'')}} was made by Cahen in a memoir which, although much of the analysis which it contains is open to serious criticism, has served—and possibly just for that reason—as the starting point of most of the later researches in the subject.}}, {{harvsp|Hardy|Riesz|1915|p=1-2}}</ref>. La définition des [[Fonction presque périodique|fonctions presque périodiques]] par [[Harald Bohr]] permit de montrer que les fonctions définies par les séries de Dirichlet à coefficients positifs sont presque périodiques dans le demi-plan de convergence absolue.

Une partie du développement de la théorie, vue sous l'angle historique se trouve sous ce lien.
{{Article détaillé|Histoire de la fonction zêta de Riemann}}

==Notes et références==
{{Traduction/Référence|en|Dirichlet series|8260584|type=note}}
===Notes===
<references/>
===Références===
*{{ouvrage|langue=en|prénom=Tom M.|nom=Apostol|lien auteur1=Tom M. Apostol|titre=Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory|collection=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]]|numéro dans collection=41|lien éditeur=Springer Verlag|éditeur=Springer|année=1990|url={{Google Livres|lyqDSjLY6zEC}}}}
*{{article|prénom=Eugène|nom=Cahen|titre=Sur la fonction {{math|ζ(''s'')}} de Riemann et sur des fonctions analogues|revue=[[Annales scientifiques de l'École normale supérieure|ASENS]]|série=3|volume=11|année=1894|p.=75-164|url=http://archive.numdam.org/ARCHIVE/ASENS/ASENS_1894_3_11_/ASENS_1894_3_11__75_0/ASENS_1894_3_11__75_0.pdf}}
*{{ouvrage|auteur=[[Pierre Colmez]]|titre=Éléments d'analyse et d'algèbre (et de théorie des nombres)|année=2009|éditeur=Éditions de l'École polytechnique|isbn=978-2-73021563-3|url={{Google Livres|hMUiEhsa9WUC|page=273}}|numéro chapitre=7}}
*{{ouvrage|langue=en|lien auteur1=Godfrey Harold Hardy|prénom1=G. H.|nom1=Hardy|lien auteur2=Marcel Riesz|prénom2=Marcel|nom2=Riesz|titre=The General Theory of Dirichlet's Series|collection=Cambridge Tracts in Mathematics|année=1915|url=http://ebook.lib.hku.hk/CADAL/B31427595/index.html}}
*{{ouvrage|lien auteur=Szolem Mandelbrojt|prénom=S.|nom1=Mandelbrojt|titre=Séries de Dirichlet. Principes et méthodes|éditeur=Gauthier-Villars|lieu=Paris|année=1969}}
*{{ouvrage|prénom1=Vesselin|nom1=Petkov|prénom2=Alain|nom2=Yger|url=http://www.math.u-bordeaux.fr/~yger/dirichlet.pdf|titre=Singularités analytiques des séries de Dirichlet|lien éditeur=Université Bordeaux I|éditeur=Université Bordeaux I|année=2001}}
*{{article|lien auteur=Georges Valiron|prénom=G.|nom=Valiron|titre=Théorie générale des séries de Dirichlet|revue=Mémorial des sciences mathématiques|volume=17|année=1926|p.=1-56|url=http://www.numdam.org/item?id=MSM_1926__17__1_0}}

==Bibliographie complémentaire==

*{{Lien|lang=de|Vladimir Bernstein}}, ''Leçons sur les progrès récents de la théorie des séries de Dirichlet'', 1933
* Colin, ''[http://www.math.u-bordeaux.fr/~mcolin/Dirichlet.ps Les séries de Dirichlet]'', magistère de Cachan, 1995-1996
* {{en}} [[Edward Charles Titchmarsh]], ''{{Lang|en|The Theory of Functions}}'', [[Oxford University Press]], London, 1939

{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Analyse complexe]]
[[Catégorie:Fonction zêta|Dirichlet (serie)]]
[[Catégorie:Série (mathématiques)|Dirichlet]]
[[Catégorie:Théorie analytique des nombres]]