Voir la source de Série harmonique

{{Voir homonymes|Série|Harmonique}}
En [[mathématiques]], la '''série harmonique''' est une [[série (mathématiques)|série]] de [[nombre réel|nombres réels]]. C'est la série des [[inverse]]s des [[Entier naturel|entiers naturels]] non nuls. Elle tire son nom par analogie avec la [[moyenne harmonique]], de la même façon que les [[série arithmétique|séries arithmétiques]] et [[série géométrique|géométriques]] peuvent être mises en parallèle avec les [[moyenne arithmétique|moyennes arithmétiques]] et [[moyenne géométrique|géométriques]].

Elle fait partie de la famille plus large des [[Série de Riemann|séries de Riemann]], qui sont utilisées comme séries de référence : la nature d'une série est souvent déterminée en la comparant à une série de Riemann et en utilisant les [[Série convergente#Séries de réels positifs|théorèmes de comparaison]].

== Définition ==
Le terme général <math>(u_n)</math> de la série harmonique est défini par
:<math>\forall n\in\N^*\quad u_n=\frac1n</math>.

On appelle ''n''-ième [[nombre harmonique]] (noté classiquement <math>H_n</math>) la ''n''-ième somme partielle de la série harmonique, qui est donc égale à
:<math>H_n=1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots+\frac1n=\sum_{k=1}^n\frac1k</math>.

== La série harmonique diverge ==
=== Calcul des premiers termes ===

En calculant les premières sommes partielles de la série harmonique, il apparaît que la [[suite (mathématiques)|suite]] de nombres obtenus est [[Fonction monotone|croissante]], mais à croissance lente : on pourrait croire qu'il s'agit d'une [[série convergente]].
{| class="wikitable centre"
|-
!scope="row"|Valeur de n
|1||2||3||4||5||6||7||8||9||10||11||12||13||14||15||16||17||18||19||20
|-
!scope="row"|Valeur approchée de H<sub>n</sub>
|1||1,5||1,8||2,1||2,3||2,5||2,6||2,7||2,8||2,9||3,0||3,1||3,2||3,25||3,32||3,38||3,44||3,49||3,55||3,60
|-
|}

En fait, la série harmonique [[Série divergente|diverge]], ses sommes partielles tendent vers {{math|+∞}}.

{| class="wikitable centre"
|-
!scope="row"|Valeur de n
|10||10{{2}}||10{{3}}||10{{4}}||10{{5}}||10{{6}}||10{{7}}||10{{8}}||10{{9}}
|-
!scope="row"|Valeur approchée de H<sub>n</sub>
|2,9||5,2||7,5||9,8||12,1||14,4||16,7||19,0||21,3
|-
|}

Dans le tableau ci-dessus, à chaque fois qu'on multiplie la valeur de ''n'' par 10, il semble qu'on rajoute une constante à ''H<sub>n</sub>'', de l'ordre de 2,3 ≃ [[Logarithme naturel|ln(10)]]. Ce comportement apparent est de type [[Logarithme|logarithmique]] en ''n''. C'est bien ce qu'on obtient en faisant une étude asymptotique plus poussée.

=== Démonstrations de divergence ===
La première démonstration de la divergence de la série harmonique est due à [[Nicole Oresme]], parue dans ''Questiones super geometriam Euclidis'' (1360)<ref>{{Ouvrage|lang=en|titre=Sourcebook in the Mathematics of Medieval Europe and North Africa|auteur={{Lien|Victor J. Katz}}|directeur1=oui|éditeur=[[Princeton University Press]]|year=2016|url={{Google Livres|39waDQAAQBAJ|page=184}}|page=184}}.</ref>. Elle consiste à remarquer que :
:''H''{{ind|4}} = 1 + {{Sfrac|2}} + ({{Sfrac|3}} + {{Sfrac|4}}) ≥ 1 + {{Sfrac|2}} + ({{Sfrac|4}} + {{Sfrac|4}}) = 1 + {{Sfrac|2}} + {{Sfrac|2}}
:''H''{{ind|8}} = 1 + {{Sfrac|2}} + ({{Sfrac|3}} + {{Sfrac|4}}) + ({{Sfrac|5}} + {{Sfrac|6}} + {{Sfrac|7}} + {{Sfrac|8}}) ≥ 1 + {{Sfrac|2}} + ({{Sfrac|4}} + {{Sfrac|4}}) + ({{Sfrac|8}} + {{Sfrac|8}} + {{Sfrac|8}} + {{Sfrac|8}}) = 1 + {{Sfrac|2}} + {{Sfrac|2}} + {{Sfrac|2}}
et ainsi de suite, les ''H'' d'indice une puissance de 2 augmentant indéfiniment.

On peut aussi<ref name=Wikiversité/> montrer que la suite (''H{{ind|n}}'') tend vers {{math|+∞}} en remarquant que ''H''{{ind|2''n''}} – ''H{{ind|n}}'' ≥ {{sfrac|1|2}}.

On peut également comparer la série harmonique à une [[série télescopique]] bien choisie
:<math>v_n=\ln(n+1)-\ln n=\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\sim\frac1n</math>.

Alors <math>v_n</math> est le terme général d'une série divergente, à termes positifs, donc [[Série convergente#Principe général : règles de comparaison|par comparaison]], la série harmonique diverge elle aussi.

On peut aussi montrer le résultat à l'aide de la méthode de [[comparaison série-intégrale]] (c'est un peu ce qui est caché, d'ailleurs, dans le choix « judicieux » de la série télescopique).

== Développement asymptotique de {{math|''H{{ind|n}}''}} ==

Tous les termes du développement asymptotique peuvent s'obtenir par exemple par la méthode de [[comparaison série-intégrale]].

=== Équivalent de {{math|''H{{ind|n}}''}} ===
[[Fichier:Integral Test.svg|vignette|<math>\int_1^6\frac1t\,\mathrm dt\le H_5</math>]]
On utilise l'encadrement suivant, lié à la décroissance de la fonction inverse
:<math>\int_n^{n+1}\frac1t\,\mathrm dt\le\frac1n\le\int_{n-1}^n\frac1t\,\mathrm dt</math>.
En sommant de 1 à ''N ''l'inégalité de gauche et, pour celle de droite, en sommant de 2 à ''N ''et en ajoutant 1, on arrive à
:<math>\int_1^{N+1}\frac1t\,\mathrm dt\le H_N\le1+\int_1^N\frac1t\,\mathrm dt</math>.
Puis, en calculant les deux membres et en constatant qu'ils sont tous deux [[équivalent]]s à <math>\ln N</math>, on obtient :
:<math>H_N\sim\ln N</math>.

=== Second terme du développement asymptotique ===

La suite <math>(H_n-\ln n)</math> admet une limite finie qui est traditionnellement notée <math>\gamma</math> et appelée [[constante d'Euler-Mascheroni]]. On a donc la '''formule d'Euler'''<ref name=Wikiversité/> :
<center><math>H_n=\ln n+\gamma+o(1)</math>.{{,}}<ref>{{Ouvrage|lang=en|titre=To Infinity and Beyond: A Cultural History of the Infinite|auteur=[[Eli Maor]]|éditeur=Princeton University Press|year=1991|url={{Google Livres|lXjF7JnHQoIC|page=26}}|page=26}}.</ref></center>Les 6 premiers chiffres du [[développement décimal]] de la constante d'Euler sont :
:<math>\gamma \approx0{,}577215</math>.

=== Termes suivants du développement asymptotique ===

La méthode est détaillée dans l'article [[comparaison série-intégrale]] et généralisée à d'autres séries (obtenant la [[formule d'Euler-Maclaurin]]) ; les premiers termes du développement sont
:<math>\sum_{k=1}^n \frac1k= \ln n+\gamma+\frac1{2n}-\frac1{12n^2}+\frac1{120n^4}-\frac1{252n^6}+\frac1{240n^8}-\frac1{132n^{10}}+
O\left(\frac1{n^{12}}\right)</math>.

== La série harmonique alternée ==
Le terme général <math>(u_n)</math> de la [[Série alternée|série harmonique alternée]] est définie par
:<math>\forall n\in\N^*\quad u_n=\frac{(-1)^n}n</math>.
C'est donc une variante de la série harmonique. L'alternance des signes change tout puisque cette série converge, par le [[critère de convergence des séries alternées]]. On peut se servir de la [[#Second terme du développement asymptotique|formule d'Euler ci-dessus]] pour redémontrer sa convergence et déterminer sa somme<ref name="Wikiversité">Voir par exemple le [[#Voir aussi|lien ci-dessous]] vers l'exercice corrigé de [[Wikiversité]] sur la série harmonique.</ref>{{,}}<ref>On peut aussi utiliser la [[Logarithme naturel#Développement en série|série de Mercator]] en {{math|1=''x'' = 1}} : <math>\forall x\in\left]-1,1\right]\quad\ln(1+x)=-\sum_{n=1}^\infty\frac{(-x)^n}n</math>.</ref> :
:<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}n=-1+\frac12-\frac13+\frac14+\cdots+\frac{(-1)^n}n+\cdots=-\ln 2</math>.

== Quelques propriétés des nombres harmoniques ==
{{Voir|Nombre harmonique}}
Les seuls nombres harmoniques [[nombre décimal|décimaux]] sont {{math|1=''H''{{ind|1}} = 1}}, {{math|1=''H''{{ind|2}} = 1,5}} et {{math|1=''H''{{ind|6}} = 2,45}}.

Pour tout [[nombre premier]] {{math|''p'' ≥ 5}}, le [[numérateur]] de {{math|''H''{{ind|''p''–1}}}} est [[divisible]] par {{math|''p''{{2}}}}.

Pour plus de propriétés, voir l'article détaillé.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets|v=Série numérique/Exercices/Série harmonique}}
=== Articles connexes ===
* [[Série des inverses des nombres premiers]]
* [[Série de Kempner]]
* [[Test de condensation de Cauchy]]
=== Bibliographie ===
* {{Article|lang=en|auteur=[[Paul Erdős]]|auteur2=[[Ivan Niven]]|titre=On certain variations of the harmonic series|revue=[[Bulletin of the American Mathematical Society|Bull. Amer. Math. Soc.]]|vol=51|year=1945|p.=433-436|url=https://www.renyi.hu/~p_erdos/1945-05.pdf}}
* {{Article|lang=en|auteur=Paul Erdős|auteur2=Ivan Niven|titre=Some properties of partial sums of the harmonic series|revue=Bull. Amer. Math. Soc.|vol=52|year=1946|p.=248-251|url=https://www.renyi.hu/~p_erdos/1946-10.pdf}}

{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Série divergente|Harmonique]]