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{{Voir homonymes|Somme}}
En [[mathématiques]], et plus précisément en [[algèbre]], le terme de '''somme directe''' désigne des ensembles munis de certaines [[structure (mathématiques)|structures]], souvent construits à partir du [[produit cartésien]] d'autres ensembles du même type, et vérifiant la [[propriété universelle]] de la [[Somme (catégorie)|somme]] (ou « coproduit ») au sens des [[Théorie des catégories|catégories]].

==Sommes directes de [[Groupe abélien|groupes abéliens]]==
{{Article détaillé|Produit direct (groupes)#Somme directe interne d'une famille de sous-groupes abéliens{{!}}Somme directe interne de sous-groupes abéliens|Produit direct (groupes)#Propriété universelle de la somme directe d'une famille de groupes abéliens{{!}}Somme directe externe de groupes abéliens}}

== Somme directe interne de [[Sous-espace vectoriel|sous-espaces vectoriels]] ==
{{ancre|Somme directe de sous-espaces vectoriels}}
=== Somme directe de deux sous-espaces vectoriels ===
Soient ''F''{{ind|1}} et ''F''{{ind|2}} deux sous-espaces vectoriels d'un [[espace vectoriel]] ''E''. On dit que ''F''{{ind|1}} et ''F''{{ind|2}} sont en somme directe si, pour tout élément ''u'' de la [[Somme d'ensembles#En algèbre|somme ''F''{{ind|1}} + ''F''{{ind|2}}]], il existe un unique [[Couple (mathématiques)|couple]] (''u''{{ind|1}}, ''u''{{ind|2}}) de ''F''{{ind|1}}×''F''{{ind|2}} tel que ''u = u''{{ind|1}} + ''u''{{ind|2}}. En d'autres termes, ''F''{{ind|1}} et ''F''{{ind|2}} sont en somme directe si la décomposition de tout élément de ''F''{{ind|1}} + ''F''{{ind|2}} en somme d'un élément de ''F''{{ind|1}} et d'un élément de ''F''{{ind|2}} est [[Unicité (mathématiques)|unique]].

On dit aussi dans ce cas que la somme ''F''{{ind|1}} + ''F''{{ind|2}} est directe, et on la note alors ''F''{{ind|1}} ⊕ ''F''{{ind|2}}.

''F''{{ind|1}} et ''F''{{ind|2}} sont en somme directe si et seulement s'ils vérifient l'une des propriétés équivalentes suivantes, où 0 désigne le [[vecteur nul]] de ''E '':
*pour tout ''u''{{ind|1}} de ''F''{{ind|1}} et ''u''{{ind|2}} de ''F''{{ind|2}}, ''u''{{ind|1}} + ''u''{{ind|2}} = 0 ⇒ ''u''{{ind|1}} = ''u''{{ind|2}} = 0 ;
*''F''{{ind|1}}∩''F''{{ind|2}} = {0} ;
*il existe une [[base (algèbre linéaire)|base]] de ''F''{{ind|1}} et une base de ''F''{{ind|2}} qui, mises bout à bout, forment une base de ''F''{{ind|1}} + ''F''{{ind|2}} ;
*n'importe quelles bases de ''F''{{ind|1}} et de ''F''{{ind|2}}, mises bout à bout, forment une base de ''F''{{ind|1}} + ''F''{{ind|2}}.

'''Cas de la dimension finie''' : lorsque ''F''{{ind|1}} et ''F''{{ind|2}} sont [[Espace vectoriel de dimension finie|de dimensions finies]], la somme ''F''{{ind|1}} + ''F''{{ind|2}} est directe si et seulement si [[Dimension d'un espace vectoriel|dim(''F''{{ind|1}})]] + dim(''F''{{ind|2}}) = dim(''F''{{ind|1}} + ''F''{{ind|2}}).

'''Sous-espaces supplémentaires''' : deux sous-espaces ''F''{{ind|1}} et ''F''{{ind|2}} de ''E'' sont dits supplémentaires lorsque ''E = F''{{ind|1}} ⊕ ''F''{{ind|2}}. Cela signifie que pour tout élément ''u'' de ''E'', il existe un unique couple (''u''{{ind|1}}, ''u''{{ind|2}}) de ''F''{{ind|1}}×''F''{{ind|2}} tel que ''u = u''{{ind|1}} + ''u''{{ind|2}}.
{{Article détaillé|Sous-espace supplémentaire}}

=== Somme directe d'une famille de sous-espaces vectoriels ===
On peut généraliser la notion de somme directe à une [[Famille (mathématiques)|famille]] quelconque (''F{{ind|i}}''){{ind|''i''∈''I''}} de sous-espaces vectoriels de ''E ''(indexée par un ensemble ''I ''[[Ensemble fini|fini]] ou [[Ensemble infini|infini]]). On dit que cette famille est en somme directe si tout vecteur ''u ''de la [[Sous-espace vectoriel#Somme de sous-espaces vectoriels|somme ∑{{ind|''i''∈''I''}} ''F{{ind|i}}'']] se décompose de façon unique sous la forme {{nobr|''u ''{{=}} ∑{{ind|''i''∈''I''}} ''u{{ind|i}}''}} avec ''u{{ind|i}} ''∈ ''F{{ind|i}} ''presque tous nuls ({{c.-à-d.}} tous sauf un nombre fini). En d'autres termes, la famille est en somme directe si la décomposition de tout élément ''u ''de ∑{{ind|''i''∈''I''}} ''F{{ind|i}}'' en somme d'éléments des ''F{{ind|i}}'' est unique.

On dit aussi dans ce cas que la somme ∑{{ind|''i''∈''I''}} ''F{{ind|i}}'' est directe, et on la note alors ⊕{{ind|''i''∈''I''}} ''F{{ind|i}}''.

Comme dans le cas de deux sous-espaces vectoriels, la famille (''F{{ind|i}}''){{ind|''i''∈''I''}} est en somme directe si et seulement si elle vérifie l'une des propriétés équivalentes suivantes :
*si 0 = ∑{{ind|''i''∈''I''}} ''u{{ind|i}} ''avec ''u{{ind|i}} ''∈ ''F{{ind|i}}'' (presque tous nuls), alors tous les ''u{{ind|i}} ''sont nuls ;
*il existe des bases des ''F{{ind|i}} ''(une pour chacun) qui, mises bout à bout, forment une base de ∑{{ind|''i''∈''I''}} ''F{{ind|i}}'' ;
*n'importe quelles bases des ''F{{ind|i}}'' (une pour chacun), mises bout à bout, forment une base de ∑{{ind|''i''∈''I''}} ''F{{ind|i}}''.
Lorsque les ''F{{ind|i}} ''sont en somme directe on a donc, quelles que soient leurs dimensions (finies ou infinies) : dim(⊕{{ind|''i''∈''I''}} ''F{{ind|i}}'') = ∑{{ind|''i''∈''I''}} dim(''F{{ind|i}}'').

'''Exemple''' : soient ''f'' un [[Endomorphisme linéaire|endomorphisme]] de ''E ''et pour chacune de ses [[Valeur propre|valeurs propres]] λ, soit ''E''{{ind|λ}} = ker(''f ''– λ[[Application identité|{{math|id}}{{ind|''E''}}]]) le [[sous-espace propre]] associé. Alors les ''E''{{ind|λ}} sont en somme directe, et si cette somme est égale à ''E'', on dit que ''f'' est [[diagonalisable]]. Lorsque c'est le cas, on constitue une base de ''E'' [[vecteur propre|propre]] pour ''f'' en concaténant une base de chacun des ''E''{{ind|λ}}.

Il résulte des caractérisations équivalentes ci-dessus qu'une [[n-uplet|famille finie]] (''F''{{ind|1}}, … , ''F{{ind|n}}'') est en somme directe si et seulement si chacun des sous-espaces est en somme directe avec la somme des précédents, {{c.-à-d.}} :
{{retrait|<math>\ \forall k \in \left\{ 1,...,n-1\right\}, \ \left(\sum_{i=1}^{k}F_{i}\right)\cap F_{k+1}=\left\{0\right\}.</math>}}

Si ''F''{{ind|1}}, … , ''F{{ind|n}} ''sont de dimensions finies, on en déduit que (comme pour ''n ''= 2) leur somme est directe si et seulement si
{{retrait|<math>\sum_{i=1}^n\dim F_i=\dim\left(\sum_{i=1}^nF_i\right).</math>}}

'''Remarque''' : la propriété d'être en somme directe est évidemment préservée par sous-familles.

Par exemple, si (''F{{ind|i}}''){{ind|''i''∈''I''}} est en somme directe, alors chaque sous-famille de deux des ''F{{ind|i}} ''l'est, autrement dit : pour tous ''i ''et ''j ''distincts, ''F{{ind|i}}''∩''F{{ind|j}} ''{{=}} {0}.

La réciproque est fausse : par exemple trois [[droite vectorielle|droites vectorielles]] [[coplanaire]]s ne sont jamais en somme directe, alors que deux quelconques d'entre elles le sont dès qu'elles sont distinctes.

===Somme directe orthogonale===
Dans un [[espace préhilbertien]] ([[Nombre réel|réel]] ou [[Nombre complexe|complexe]]), toute famille de sous-espaces deux à deux [[Orthogonalité#Définitions formelles|orthogonaux]] (par exemple : un sous-espace ''F ''et [[Complément orthogonal|son orthogonal ''F''{{exp|⊥}}]]) est en somme directe. Une telle somme est appelée « {{Lien|lang=de|trad=Orthogonale Summe|somme directe orthogonale}} »<ref>{{Ouvrage|titre=Mathématiques. Tout-en-un pour la Licence|volume=2|auteur=[[Jean-Pierre Ramis]]|auteur2=[[André Warusfel]]|et al.=oui|année=2014|numéro d'édition=2|année première édition=2007|éditeur=[[Dunod]]|url={{Google Livres|FhnpAwAAQBAJ|page=146}}|page=146}}, ne considère que le cas d'une famille finie.</ref>. Si l'espace préhilbertien est [[espace euclidien|euclidien]] ou [[Espace hermitien|hermitien]], c'est-à-dire [[Espace vectoriel de dimension finie|de dimension finie]], une famille de sous-espaces est en somme directe orthogonale si et seulement si, en concaténant une [[base orthonormée]] de chaque sous-espace, on constitue une base orthonormée de leur somme.

L'orthogonal ''F''{{exp|⊥}} de ''F'', lorsqu'il lui est supplémentaire, est appelé son supplémentaire orthogonal. Une condition suffisante pour cela est que ''F ''soit [[Espace complet|complet]] (ce qui est réalisé [[topologie d'un espace vectoriel de dimension finie|en particulier s'il est de dimension finie]]). Cette question est liée à la possibilité d'effectuer une [[projection orthogonale]].

==Somme directe externe==

=== Définition ===
Soit (''E{{ind|i}}''){{ind|''i''∈''I''}} une famille d'[[anneau unitaire|anneaux]], ou de [[module sur un anneau|modules]] sur un même anneau (par exemple des [[groupe abélien|groupes abéliens]] ou des espaces vectoriels sur un même [[Corps commutatif|corps]]). On construit sa « somme directe externe » (ou simplement « somme directe »), notée (⊕{{ind|''i''∈''I''}} ''E{{ind|i}}''<ref name=Bourbaki>[[Nicolas Bourbaki|N. Bourbaki]], ''[[Éléments de mathématique]]'', p. A II.12, dans le cas des modules.</ref>, (ϕ{{ind|''i''}}){{ind|''i''∈''I''}}), de la façon suivante :
*dans son [[produit direct]] ∏{{ind|''i''∈''I''}} ''E{{ind|i}}'', qui est alors une [[structure algébrique]] de même type, les familles (''u{{ind|i}}''){{ind|''i''∈''I''}} à [[Support de fonction|support]] fini (c'est-à-dire dont les ''u{{ind|i}} ''sont presque tous nuls) forment une sous-structure, notée ⊕{{ind|''i''∈''I''}} ''E{{ind|i}}''. (Lorsque ''I ''est fini, on a donc ⊕{{ind|''i''∈''I''}} ''E{{ind|i}}'' = ∏{{ind|''i''∈''I''}} ''E{{ind|i}}''<ref name=Bourbaki/>.)
*pour chaque indice ''i'', le [[morphisme]] [[Canonique (mathématiques)|canonique]] ϕ{{ind|''i''}} : ''E{{ind|i}}'' → ⊕{{ind|''j''∈''I''}} ''E{{ind|j}}'' est défini par : pour tout ''x{{ind|i}}'' ∈ ''E{{ind|i}}'', ϕ{{ind|''i''}}(''x{{ind|i}}'') est la famille dont la ''i''-ème composante est ''x{{ind|i}}'' et les autres composantes sont nulles.

===Propriété universelle===
{{Article détaillé|Somme (catégorie)}}
La somme directe externe est une somme au sens des catégories, c'est-à-dire que (pour des modules, par exemple) :

{{énoncé|1=Soient ''A ''un anneau, (''E{{ind|i}}''){{ind|''i''∈''I''}} une famille de ''A''-modules et (⊕{{ind|''i''∈''I''}} ''E{{ind|i}}'', (ϕ{{ind|''i''}}){{ind|''i''∈''I''}}) sa somme directe externe.

Alors, pour toute famille (''f{{ind|i}}'' : ''E{{ind|i}}'' → ''F''){{ind|''i''∈''I''}} d'[[Module sur un anneau#Applications linéaires|applications linéaires]] à valeurs dans un même ''A''-module ''F'', il existe une unique application ''A''-linéaire ''f'' : ⊕{{ind|''i''∈''I''}} ''E{{ind|i}}'' → ''F'' telle que pour tout indice ''i'', ''f'' ∘ ϕ{{ind|''i''}} = ''f{{ind|i}}''.
}}

{{Démonstration|contenu=
Par [[analyse-synthèse]] :
* Supposons qu'un tel <math>f</math> existe. Soit <math>x=(x_i)_{i\in I}\in \bigoplus_{i\in I}E_i</math> ; par ''A''-linéarité, on a :<center><math>f(x)=f\left(\sum_{i\in I}\phi_i(x_i)\right)=\sum_{i\in I}f(\phi_i(x_i))=\sum_{i\in I}f_i(x_i)</math></center>(où les sommes sont en fait finies), ce qui assure l'unicité de <math>f</math>.
* Posons donc<center><math> \begin{matrix}f: & \bigoplus_{i\in I}E_i & \to& F\\ & (x_i)_{i\in I} & \mapsto & \sum_{i\in I} f_i(x_i)~;\end{matrix} </math></center> les <math>f_i</math> étant linéaires, <math>f</math> est linéaire.<br />Soit <math>x_i\in E_i</math>, on a ({{math|δ{{ind|''ik''}}}} désignant le [[symbole de Kronecker]]) :<center><math>f\circ\phi_i(x_i)=f((x_i\delta_{ik})_{k\in I})=\sum_{k\in I}f_k(x_i\delta_{ik})=f_i(x_i)~;</math></center> ainsi nous avons bien <math>f\circ\phi_i= f_i</math>, donc <math>f</math> existe bien.
}}

===Liens avec la somme directe interne===
{{ancre|Liens avec la somme directe}}
La somme directe externe définie ici et la somme directe « interne » définie plus haut ont une appellation et une notation communes. Cela est justifié par les liens suivants.
*Chaque ''E{{ind|i}}'' se « plonge » dans la somme directe externe ⊕{{ind|''j''∈''I''}} ''E{{ind|j}}'', par le morphisme canonique ϕ{{ind|''i''}} ([[Injection (mathématiques)|injectif]]).<br>L'image de ''E{{ind|i}}'' dans ⊕{{ind|''j''∈''I''}} ''E{{ind|j}}'' est un sous-module ''F{{ind|i}}'' [[isomorphe]] à ''E{{ind|i}}''. Ces ''F{{ind|i}}'' sont en somme directe et<center>la somme directe externe ⊕{{ind|''i''∈''I''}} ''E{{ind|i}}'' est ''égale ''à la somme directe « interne » ⊕{{ind|''i''∈''I''}} ''F{{ind|i}}''</center>(donc pour des espaces vectoriels, dim(⊕{{ind|''i''∈''I''}} ''E{{ind|i}}'') = dim(⊕{{ind|''i''∈''I''}} ''F{{ind|i}}'') = ∑{{ind|''i''∈''I''}} dim(''F{{ind|i}}'') = ∑{{ind|''i''∈''I''}} dim(''E{{ind|i}}'')).
*On peut, avec la notion de somme directe externe, redéfinir celle de somme directe « interne » : une famille (''F{{ind|i}}''){{ind|''i''∈''I''}} de sous-modules de ''E'' est en somme directe si et seulement si le morphisme somme — qui résulte de la propriété universelle ci-dessous et va de la somme directe externe ''F ''= ⊕{{ind|''i''∈''I''}} ''F{{ind|i}} '' dans ''E'', associant à toute famille sa somme — est injectif (autrement dit : réalise un isomorphisme de ''F ''sur ∑{{ind|''i''∈''I''}} ''F{{ind|i}}'').

===Somme directe hilbertienne===
Une notion utilisée en physique (voir « [[Espace de Fock]] ») est celle de « somme directe hilbertienne » d'[[espace de Hilbert|espaces de Hilbert]]. Pour toute famille <math>(H_i)_{i \in I}</math> d'espaces de Hilbert, cette [[Somme (catégorie)|somme <math>\bigoplus_{i\in I}H_i</math> (dans la catégorie]] des espaces de Hilbert) existe. On peut la réaliser de deux manières :
*en [[Espace préhilbertien#Complétude|complétant l'espace préhilbertien]] que constitue leur somme directe externe algébrique vue plus haut (si <math>I</math> est fini, cette somme algébrique est déjà [[Espace complet|complète]]) ;
*plus directement, en considérant, dans l'espace vectoriel produit <math>\prod_{i\in I}H_i</math>, le sous-espace vectoriel <math>H</math> constitué des familles <math>h=(h_i)_{i\in I}\in\prod_{i\in I}H_i</math> telles que <math>\sum_{i\in I}\|h_i\|^2</math> soit [[Famille sommable#Cas des réels positifs|sommable]] — ce qui implique que <math>h_i=0</math> sauf pour un ensemble [[ensemble dénombrable|au plus dénombrable]] d'indices <math>i</math> — et en munissant <math>H</math> de la [[Théorème de Fréchet-von Neumann-Jordan|norme préhilbertienne]] définie par <math>\|h\|^2:=\sum_{i\in I}\|h_i\|^2</math>. On vérifie que <math>H</math> est complet pour cette norme, qui dérive du [[produit scalaire]] défini par : <math>\forall h,h'\in H\quad\langle h\mid h'\rangle:=\sum_{i\in I}\langle h_i\mid h'_i\rangle</math> (somme d'une [[Convergence absolue|série absolument convergente]], d'après l'[[inégalité de Cauchy-Schwarz]]).

Chaque <math>H_i</math> est isomorphe (au sens des espaces de Hilbert, donc par une [[isométrie]] linéaire) à un sous-espace [[Fermé (topologie)|fermé]] de <math>\bigoplus_{j\in I}H_j</math>, via l'injection canonique <math>H_i\rightarrow \bigoplus_{j\in I}H_j</math>, et <math>\bigoplus_{j\in I}H_j</math> est la [[#Somme directe orthogonale|somme directe orthogonale]] de tous ces sous-espaces.

Dans le cas particulier où chaque <math>H_i</math> est [[Droite vectorielle|de dimension {{math|1}}]], <math>\bigoplus_{i\in I}H_i</math> est isomorphe à l'[[Espace de Hilbert#Classification|espace {{math|ℓ{{2}}(''I'')}}]].

==En théorie des catégories : le [[paradigme]] des [[Catégorie linéaire|catégories linéaires]]==
{{section travail inédit|date=juillet 2013}}
La somme directe est la somme (ou coproduit) dans la catégorie des espaces vectoriels sur un corps fixé ; c'est-à-dire, naïvement, que la somme directe consiste à « rassembler » deux espaces vectoriels en un troisième, en limitant leur « télescopage » au strict minimum, à savoir le vecteur nul (de la même façon que la [[réunion disjointe]] d'ensembles consiste à rassembler leurs éléments respectifs dans un nouvel ensemble, en évitant de télescoper des éléments identiques s'ils proviennent d'ensembles distincts).

Or, la particularité de ce coproduit est qu'{{douteux|date=juillet 2013|il est isomorphe au [[Produit (catégorie)|produit]]}}, ce qui n'est pas le cas dans toutes les catégories. Par exemple, dans la [[catégorie des ensembles]], non seulement le produit (à savoir le [[produit cartésien]]) n'est pas isomorphe au coproduit qu'est la réunion disjointe, mais le produit est [[Distributivité|distributif]] sur le coproduit, de même qu'en [[arithmétique élémentaire]] le produit est distributif sur la somme.

Observant que les catégories présentent généralement l'un ou l'autre aspect — mutuellement exclusifs — [[William Lawvere]] propose<ref>{{en}} William Lawvere, ''Categories of Space and of Quantity'', 1992, p. 16 sq. ; cf. également ''Conceptual Mathematics'', [https://books.google.fr/books?id=h0zOGPlFmcQC&pg=PA276 p. 276 sq.].</ref> d'appeler {{Lien|trad=Distributive category|catégorie distributive|texte=catégories distributives}} celles dans lesquelles le produit est distributif sur le coproduit (qui, dans ce contexte, peut légitimement prendre le nom de ''somme''), et « catégories linéaires » celles dans lesquelles, comme {{douteux|date=juillet 2013|en algèbre ''linéaire'', le produit et le coproduit sont isomorphes}}.

==Notes et références==
{{Références}}

{{Palette|Opérations binaires|Algèbre linéaire}}
{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Espace vectoriel]]
[[Catégorie:Opération]]