Voir la source de Spectre d'un opérateur linéaire

{{ébauche|mathématiques}}
{{Voir homonymes|Spectre}}
En [[mathématiques]], plus précisément en [[analyse fonctionnelle (mathématiques)|analyse fonctionnelle]], le '''spectre d'un opérateur linéaire''' sur un [[espace vectoriel topologique]] est l'ensemble de ses [[valeur spectrale|valeurs spectrales]]. En [[Espace vectoriel de dimension finie|dimension finie]], cet ensemble se réduit à l'ensemble des [[valeur propre|valeurs propres]] de cet [[Endomorphisme linéaire|endomorphisme]], ou de [[Matrice d'une application linéaire|sa matrice dans une base]].

En {{Lien|trad=Operator theory|théorie des opérateurs}} et en [[mécanique quantique]], la notion de spectre s'étend aux [[opérateur non borné|opérateurs non bornés]] fermés.

== Spectre d'un élément d'une algèbre de Banach ==
Soit <math>\mathcal{A}</math> une [[algèbre de Banach]] [[Élément neutre|unifère]] sur le corps des [[nombres complexes]]. Le spectre d'un élément <math>x</math> de <math>\mathcal{A}</math>, noté <math>\sigma(x)</math>, est l'ensemble des nombres complexes <math>\lambda</math> pour lesquels l'élément <math>r(\lambda,x):=\lambda 1_{\mathcal A}-x</math> n'admet pas d'[[inverse]] dans <math>\mathcal{A}</math>.

=== Exemples ===
* Si <math>x</math> est un [[idempotent]] (c'est-à-dire <math>x^2=x</math>) différent de 0 et 1, alors <math>\sigma(x)=\{0,1\}.</math>
* Si <math>f</math> est une [[fonction entière]] alors <math>\sigma(f(x))=f(\sigma(x))</math> : c'est le [[Calcul fonctionnel holomorphe#Le théorème de l'application spectrale|théorème de l'application spectrale]]. La preuve est élémentaire dans deux cas particuliers :
** Dans le cas où <math>\mathcal A</math> est l'algèbre <math>\mathcal{M}_n(\Complex)</math>, il suffit de [[Trigonalisation|trigonaliser]] la [[Matrice (mathématiques)|matrice]] <math>x</math>.
** Dans le cas où <math>f</math> est un [[polynôme]]<ref>{{Ouvrage|lang=en|titre=An Invitation to Operator Theory|auteur=Yuri A. Abramovich|auteur2=[[Charalambos D. Aliprantis]]|url={{Google Livres|5h8bEWNalwMC|page=269}}|page=269|collection={{Lien|Graduate Studies in Mathematics|texte=GSM}}|numéro dans collection=50|éditeur=[[American Mathematical Society|AMS]]|year=2002}}.</ref>, il suffit, pour un complexe <math>\mu</math> fixé, d'appliquer à <math>x</math> le polynôme <math>f-\mu</math> sous forme [[Factorisation des polynômes#Polynômes à coefficients complexes|factorisée]] pour voir que <math>\mu\in\sigma(f(x))</math> équivaut à <math>f^{-1}(\{\mu\})\cap\sigma(x)\ne\varnothing</math> donc à <math>\mu\in f(\sigma(x)).</math>

== Spectre d'un opérateur linéaire borné ==
{{article détaillé|valeur spectrale}}
On définit le spectre d'un [[opérateur borné]] sur un [[espace de Banach]] complexe ''X'' comme son spectre lorsqu'on considère cet opérateur comme étant un élément de l'algèbre de Banach <math>\mathcal{B}(X)</math> des opérateurs bornés sur ''X''.
Plus explicitement, si on note par <math>I</math> l'[[application identité]] de <math>X</math>, qui est l'élément unité de <math>\mathcal{B}(X)</math>, alors le spectre de l'opérateur linéaire borné <math>T: X \to X</math> est l'ensemble <math>\sigma(T)</math> des nombres complexes <math>\lambda</math> pour lesquels  l'opérateur <math>R(\lambda)=\lambda I-T</math> n'admet pas d'opérateur inverse borné.

===Propriétés===

En appliquant le [[Théorème de Liouville (variable complexe)|théorème de Liouville]] (version vectorielle) à sa [[résolvante]], on montre que tout  [[opérateur borné]] sur un [[espace de Banach]] complexe a un spectre non vide (alors qu'il peut n'avoir aucune valeur propre comme, sur l'[[espace de Hilbert]] [[Espace L2|{{math|L{{2}}}}(ℝ)]], l'[[opérateur unitaire]] ''U'' défini  par ''Uf''(''t'') = e{{exp|i''t''}}''f''(''t'') ou l'[[opérateur hermitien]] ''H'' défini par ''Hf''(''t'') = ''f''(''t'')/(1 + |''t''|) ou encore, sur {{math|L{{2}}([0, 1])}}, l'[[opérateur compact]] de [[Opérateur de Volterra|Volterra]]). C'est donc via cette notion de spectre qu'on généralise le fait que tout endomorphisme d'un espace vectoriel complexe de dimension finie (ou toute matrice carrée à coefficients complexes) admet des valeurs propres.

==Référence==
{{Références}}

==Voir aussi==
===Articles connexes===
*[[Rayon spectral]]
*{{Lien|trad=Essential spectrum|Spectre essentiel}}
===Bibliographie===
{{Brezis}}

{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Théorie spectrale]]