Voir la source de Sphère

{{confusion|Boule (solide){{!}}Boule}}
{{Voir homonymes}}
[[Fichier:Sphere wireframe.svg|thumb|Une sphère dans un [[espace euclidien]].]]
[[Fichier:Great Mosque of Kairouan dome.jpg|thumb|Usage de la sphère en architecture : voûte demi-sphérique côtelée d'un dôme de la [[Grande Mosquée de Kairouan]] (en [[Tunisie]]).]]

En [[géométrie dans l'espace]], une '''sphère''' est une surface constituée de tous les points situés à une même distance d'un point appelé '''centre'''. La valeur de cette distance au centre est appelée le '''[[rayon (géométrie)|rayon]]''' de la sphère. La [[géométrie sphérique]] est la science qui étudie les propriétés des sphères. La surface de la [[Terre]] peut, en première [[approximation]], être modélisée par une sphère dont le rayon est d'environ {{unité|6371|km}}.

Plus généralement en mathématiques, dans un [[espace métrique]], une sphère est l'ensemble des points situés à même distance d'un centre. Leur forme peut alors être très différente de la forme ronde usuelle. Une sphère est également un [[ellipsoïde]] dégénéré.

Les points dont la distance au centre est inférieure ou égale au rayon constituent une [[boule (solide)|boule]].

== Sphère euclidienne (dans l’espace à 3 dimensions) ==
{{ancre|Sphère euclidienne en dimension 2}}
=== Représentation ===

En [[géométrie]] cartésienne, une sphère de centre <math>(x_0, y_0, z_0)</math> et de rayon <math>r</math> est l'ensemble des points <math>(x, y, z)</math> tels que :

:<math>\displaystyle (x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2 = r^2</math>.

Les points de la sphère de rayon ''r'' et de centre l'origine du repère peuvent être paramétrés par :

:<math> 
\left\{
\begin{matrix}
x & = & r \cos\theta \; \cos\phi \\
y & = & r \cos\theta \; \sin\phi \\
z & = & r \sin\theta
\end{matrix}
\right.
\qquad\left(\frac{-\pi}{2} \le\theta\le \frac{\pi}{2} \mbox{ et } -\pi \le \phi \le \pi\right)
</math>
On peut voir <math>\displaystyle \theta </math> comme la latitude et <math>\displaystyle \phi </math> comme la longitude. (Voir [[fonction trigonométrique|fonctions trigonométriques]] et [[coordonnées sphériques]].)

=== Formules ===

L'[[Aire (géométrie)|aire]] d'une sphère de rayon <math>r</math> est :
:<math>A=4\pi r^2</math>.

Le [[volume d'une sphère|volume de la boule qu'elle renferme]] est :
:<math>V=\frac{4\pi r^{3}}{3}</math>.

Sa {{page h'|compacité}}, c'est-à-dire le rapport entre son volume et sa surface est de
:<math>C=\frac{V}{A}=\frac{r}{3}</math>.

Le [[moment d'inertie]] d'une '''boule''' homogène de rayon <math>r</math>, de masse volumique <math>\rho</math> et de masse ''M'', par rapport à un axe passant par son centre est :

:<math>
I=\frac{2M r^2}{5}=\frac{8 \pi \rho r^5}{15}
</math>.

Le moment d'inertie d'une '''sphère''' homogène de rayon <math>r</math> et de masse ''M'', par rapport à un axe passant par son centre est :

:<math>
I=\frac{2Mr^2}{3}=\frac{8 \pi \rho r^5}{9}
</math>.

L'élément d'aire de la sphère de rayon <math>r</math> dans les coordonnées latitude-longitude est <math>\mathrm d\sigma=r^2\cos\theta\mathrm d\theta d\phi</math>. On en déduit que l'aire d'un [[wikt:fuseau#Français|fuseau]] (portion limitée par deux demi-cercles joignant les pôles et faisant un angle <math>\alpha</math> exprimé en [[radian]]s) est <math>2\alpha r^2</math>.

Cela permet aussi de calculer l'aire d'une '''calotte sphérique''' (on dit aussi '''segment de sphère'''), c’est-à-dire d'une portion de sphère limitée par deux plans parallèles qui intersectent la sphère (ou lui sont tangents). On trouve <math>2\pi rh</math> où <math>h</math> désigne la distance des deux plans : l'aire est la même que celle d'un cylindre circulaire de même hauteur tangent à la sphère (cylindre circonscrit). Ce résultat remarquable est démontré par [[Archimède]] dans son traité ''[[De la sphère et du cylindre]]''<ref>[http://remacle.org/bloodwolf/erudits/archimede/oeuvresintro.htm Lire en ligne].</ref>. Selon [[Cicéron]], Archimède aurait demandé que soient gravés sur son tombeau, en mémoire de ce résultat, une sphère et son cylindre circonscrit<ref> Voir par exemple l'[[Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers|encyclopédie Diderot]], [[s:Page:Diderot_-_Encyclopedie_1ere_edition_tome_15.djvu/769|Article Syracuse]], sur [[Wikisource]].</ref>.

Le [[cylindre]] circonscrit à une sphère donnée a un volume égal à 1,5 fois le volume de la sphère.

La sphère a la plus petite aire parmi les surfaces renfermant un volume donné et renferme le volume le plus élevé parmi les surfaces d'une aire donnée. Elle est la réponse à la question d'[[isopérimétrie]] pour l'espace euclidien de dimension 3. Pour cette raison, la sphère apparaît dans la nature, par exemple les bulles et gouttes d'eau (en l'absence de [[gravité]]) sont des sphères car la [[tension superficielle]] essaie de minimiser l'aire.

=== Sphère circonscrite à un tétraèdre ===

Par quatre points non coplanaires A, B, C et D (ABCD est un [[tétraèdre]] non aplati), il passe une seule et unique sphère, appelée sa {{Lien|trad=Circumscribed sphere|sphère circonscrite}}.

Les [[plan médiateur|plans médiateurs]] des arêtes du tétraèdre se coupent au centre de la sphère.

=== Développement ===

On peut démontrer que la sphère est une surface non [[Surface développable|développable]]. Il n'existe pas de [[patron (géométrie)|patron]] de la sphère.
Néanmoins il est possible, en pratique, d'obtenir des surfaces développables approchant la sphère très fidèlement, c'est le cas de tous les {{page h'|ballon|ballons}} cousus. Voir : [[ballon de football]] ([[icosaèdre tronqué]]), [[ballon de volley-ball]], et ballon fantaisie (en fuseaux de pôle à pôle.)

Notez que la pression interne gauchit les surfaces et fidélise l'approche… Plus on gonfle plus la sphère s'approche de la perfection.

== Sphères euclidiennes de dimensions supérieures ==
{{Article détaillé|n-sphère}}

{{ancre|Sphères euclidiennes en dimensions supérieures}}
On peut généraliser le concept de sphère à un espace de [[dimension]] entière quelconque.
Pour tout [[entier naturel]] ''n'', une '''''n''-sphère''' de rayon ''r'' est l'ensemble des points de l'espace euclidien à (''n''+1) dimensions qui sont à distance fixée ''r'' d'un point de cet espace (''r'' est un réel strictement positif). Par exemple :

* une 0-sphère est la paire des points extrémités de l'intervalle [−''r'', ''r''] de la ligne réelle ;
* une 1-sphère est un [[cercle]] de rayon ''r'' ;
* une 2-sphère est une sphère ordinaire.

Les sphères de dimension ''n'' > 2 sont parfois appelées [[hypersphère]]s. La ''n''-sphère de rayon 1 est notée '''''S''<sup>''n''</sup>'''.
{{Article détaillé|calcul du volume de l'hypersphère}}
L'aire d'une (''n''−1)-sphère de rayon ''r'' est

:<math>2 \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2)}r^{n-1}=\begin{cases}
    \displaystyle \frac{(2\pi)^{n/2}\,r^{n-1}}{2 \cdot 4 \cdots (n-2)} ,      & \text{si } n \text{ est pair ;} \\ \\
    \displaystyle \frac{2(2\pi)^{(n-1)/2}\,r^{n-1}}{1 \cdot 3 \cdots (n-2)} , & \text{si } n \text{ est impair},
  \end{cases}</math>

où Γ est la [[fonction gamma]] d'Euler

et le volume d'une ''n''-boule de rayon ''r'' est égal au produit de cette aire par <math>{r\over n}</math>, donc à
:<math>
  \begin{cases}
    \displaystyle \frac{(2\pi)^{n/2}\,r^n}{2 \cdot 4 \cdots n} ,      & \text{si } n \text{ est pair ;} \\ \\
    \displaystyle \frac{2(2\pi)^{(n-1)/2}\,r^n}{1 \cdot 3 \cdots n} , & \text{si } n \text{ est impair}.
  \end{cases}
</math>.
<!--
== Géométrie des sphères dans les espaces euclidiens ==
{{...}}
=== Sphères et sous-espaces affines ===
=== Relations entre sphères ===
=== Puissance par rapport à une sphère ===
=== Projection stéréographique ===
=== Inversion par rapport à une sphère ===
-->

== La sphère comme espace topologique ==
<!--{{...}}
=== Topologie des sphères ===
-->
Selon le contexte, en particulier en [[topologie]], le mot '''sphère''' (ou ''n''-'''sphère''' si on veut rappeler la dimension) peut être utilisé pour désigner n'importe quel espace topologique [[homéomorphisme|homéomorphe]] à une ''n''-sphère au sens défini dans la section précédente<ref>{{Ouvrage
 | titre       = A Textbook of Topology
 | éditeur     = Academic Press
 |prénom=Herbert|nom=Seifert|lien auteur1=Herbert Seifert|nom2={{Lien|lang=de|William Threlfall}}
 | langue      = en
 | année       = 1980
 | isbn        = 978-0-12634850-7
|passage=53}}.
</ref>.

La [[caractéristique d'Euler]] d'une ''n''-sphère vaut 2 si ''n'' est pair, et 0 si ''n'' est impair.
<!--
=== Sphère comme variété différentielle ===
=== Sphère comme variété riemannienne ===
=== Sphère comme variété conforme ===
=== Structure projective ===
=== Structure de contact ===
-->

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{Références}}
=== Références ===
*{{Geoandim}}
*{{Berger2}} Nathan, 1990, {{chap.}}18

== Voir aussi ==

=== Articles connexes ===
* [[Géode (géométrie)|Géode]]
* [[Géométrie sphérique]]
* [[Orthodromie]]

=== Liens externes ===

* A. Javary, ''Traité de géométrie descriptive'', ''[http://notices.bnf.fr/AfficherNoticeServlet?idNotice=37251169 Cônes et cylindres, sphère et surfaces du second degré]'', 1881 (sur [[Gallica]])
*Matthieu Aubry, [http://matthieu.net/cheminlepluscourt/sphere.php Le chemin le plus court sur la sphère]
* Xavier Hubaut, [http://xavier.hubaut.info/coursmath/var/sphere.htm Mathématique du secondaire – Cône et sphère]
* Xavier Hubaut, [http://xavier.hubaut.info/coursmath/var/trigono.htm Voyager sur une sphère]

{{Palette|Solides géométriques|Quadriques}}
{{portail|géométrie}}

{{DEFAULTSORT:Sphere}}
[[Catégorie:Surface]]
[[Catégorie:Sphère|*]]
[[Catégorie:Géométrie dans l'espace]]
[[Catégorie:Espace homogène]]
[[Catégorie:Quadrique]]