Voir la source de Théorème de Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch

[[File:Grothendieck-Riemann-Roch.jpg|thumb|Commentaire de [[Alexandre Grothendieck]] sur le théorème de Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch.]]
Le '''théorème de Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch''', ou de '''Grothendieck-Riemann-Roch''') est un résultat mathématiquement et historiquement important de [[géométrie algébrique]] concernant la [[cohomologie]] des {{Lien|trad=Coherent sheaf|faisceau cohérent|texte=faisceaux cohérents}}, démontré pour la première fois par [[Alexandre Grothendieck]] en 1957. Si le résultat lui-même est intéressant, constituant une large généralisation du [[théorème de Riemann-Roch]] et de son extension aux [[variété complexe|variétés complexes]], le [[théorème de Hirzebruch-Riemann-Roch]], c'est surtout les techniques innovantes et puissantes utilisées par Grothendieck pour le démontrer qui se sont révélées essentielles dans le développement du domaine.

[[Alexandre Grothendieck]] donne une première démonstration de sa version du théorème de Riemann-Roch dans une lettre adressée à [[Jean-Pierre Serre]] en 1957, discutée aux ''Mathematische Arbeitstagung'' de [[Bonn]] la même année. La stratégie centrale a consisté à reformuler l'énoncé : dans l'esprit du théorème originel, il s'agissait d'un résultat d'[[analyse mathématique|analyse]] portant sur les [[variété algébrique|variétés algébriques]] ; pour Grothendieck c'est en fait un problème [[théorie des catégories|catégorique]] sur les [[morphisme]]s entre de telles variétés. En généralisant l'énoncé, la preuve s'en trouve en fait simplifiée et le résultat est bien plus général. Avec [[Armand Borel]], Serre organise à l'[[Institute for Advanced Study|IAS]] de [[Princeton (New Jersey)|Princeton]] un séminaire de travail qui aboutit à la publication en 1958 d'un exposé formel et rigoureux du théorème et de sa preuve. Le théorème est enfin discuté au cours du [[séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie]] en 1966, où ses hypothèses sont affaiblies. Le groupe ''K''{{ind|0}}, introduit à l'occasion de SGA 6, a mené progressivement à l'élaboration d'une [[K-théorie algébrique]].

== Histoire et motivation ==
=== Problème de Riemann et théorème de Riemann-Roch ===
{{Article détaillé|Théorème de Riemann-Roch}}
Le problème originel est issue de la [[géométrie algébrique]] de la seconde moitié du {{XIXe siècle}} : il concerne l'existence de [[fonction méromorphe|fonctions méromorphes]] à pôles prescrits sur une [[surface de Riemann]]. 

Plus précisément, si ''X'' est une [[variété algébrique]] non singulière sur un [[corps commutatif|corps]] [[clôture algébrique|algébriquement clos]] ''k'', et si ''D'' est un [[diviseur (géométrie algébrique)|diviseur]] sur ''X'', on note ''|D|'' le {{Lien|trad=Linear system of divisors|système linéaire (géométrie algébrique)|texte=système linéaire}} correspondant. Il s'agit d'estimer <math>\mathrm{dim}\,|D|</math> ou plus généralement <math>\mathrm{dim}\,|nD|</math> pour tout entier positif ''n''. 

[[Bernhard Riemann]] formule les premiers travaux sur la question en 1857 dans un article dédié aux « fonctions abéliennes », dans lequel il aboutit d'abord à une inégalité<ref>{{Article|langue=de|prénom=Bernhard|nom=Riemann|année=1857|titre=Theorie der Abel'schen Functionen|lien périodique=Journal für die reine und angewandte Mathematik|revue=Journal für die reine und angewandte Mathematik|volume=54|pages=115-155|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN243919689_0054}}</ref>. En termes modernes, si ''S'' est une [[surface de Riemann]] de diviseur canonique ''K'' et de [[genre (mathématiques)|genre]] ''g'', si <math>\mathcal O(D)</math> est le [[faisceau (de modules)|faisceau]] associé à ''D'', il a montré :
:<math>\mathrm{dim}\,H^{0}(X, \mathcal O(D)) \geq \mathrm{deg}\,D + 1 - g</math>.

C'est son élève [[Gustav Roch]] qui parachève la démonstration en 1865<ref>{{Article|langue=de|nom=Roch|prénom=Gustav|année=1865|titre=Über die Anzahl der willkurlichen Constanten in algebraischen Functionen|revue=Journal für die reine und angewandte Mathematik|volume=64|pages=372-376|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN243919689_0064}}</ref>. Si on note
:<math>l(D) = \mathrm{dim}\,H^{0}(X, \mathcal O(D))</math> 
alors le théorème complet s'énonce ainsi :
:<math>l(D) - l(K - D) = \mathrm{deg}\,D + 1 - g</math>.
En particulier, pour ''n'' assez grand, c'est-à-dire <math>n\,\mathrm{deg}\,D > \mathrm{deg}\,K</math>, le second terme s'annule et on a la réponse au problème de Riemann : <math>\mathrm{dim}\,|nD| = n\,\mathrm{deg}\,D - g</math>.

[[Max Noether]] donne alors le nom de « théorème de Riemann-Roch » à ce résultat.

=== L'école italienne et l'apparition de la cohomologie ===
L'effort se concentre alors pour essayer d'étendre le résultat au-delà des seules surfaces de Riemann. Max Noether en 1886<ref>{{Article|nom=Noether|prénom=Max|titre=Extension du théorème de Riemann-Roch aux surfaces algébriques|lien périodique=CRAS|revue=CR Acad. Sci. Paris|volume=103|année=1886|pages=734-737}}</ref>, puis [[Federigo Enriques]] en 1894<ref>{{Article|langue=it|nom=Enriques|prénom=Federigo|titre=Ricerche di geometria sulle superficie algebriche|revue=Mem. Accad. Sci. Torino|volume=44|numéro=2|année=1894}}</ref> s'y essaient mais c'est finalement [[Guido Castelnuovo (mathématicien)|Guido Castelnuovo]] qui donne la première preuve en 1896<ref>
{{Article|langue=it|nom=Castelnuovo|prénom=Guido|titre=Alcuni risultati sui sistemi lineari di curve appartenenti ad una superficie algebrica|revue=Mem. Soc. It. Sci.|volume=10|numéro=3|année=1896|pages=82-102}}</ref>{{,}}<ref>{{Article|langue=it|nom=Castelnuovo|prénom=Guido|titre=Alcune proprietà fondamentali dei sistemi lineari di curve tracciati sopra una superficie algebrica|revue=Annali di Matematica Pura ed Applicata|volume=25|numéro=2|année=1897|pages=235-318}}</ref> d'une inégalité, simplifiée ensuite par [[Francesco Severi]] en 1903<ref>{{Article|langue=it|nom=Severi|prénom=Francesco|titre=Sulla deficienza della serie caratteristica di un sistema lineare di curve appartenenti ad una superficie algebrica|revue= Atti Accad. Naz. Lincei, Rend|volume=12|numéro=5|année=1903}}</ref>.

[[Oscar Zariski]] détermine l'élément manquant dans l'expression de Castelnuovo en utilisant les outils de la [[cohomologie]]. Il donne alors une nouvelle expression du théorème de Riemann-Roch pour les surfaces algébriques<ref>{{Article|langue=en|nom=Zariski|prénom=Oscar|titre=The theorem of Riemann-Roch for high multiples of an effective divisor on an algebraic surface|lien périodique=Annals of Mathematics|revue=Ann. of Math|volume=76|numéro=3|année=1962|pages=560-615}}</ref>, que l'on peut écrire en termes modernes :
:<math>l(D) - s(D) + l(K - D) = \frac12 D \cdot (D - K) + p_a + 1</math>
avec <math>p_a</math> le {{Lien|trad=arithmetic genus|genre arithmétique}} de la surface algébrique ''X'' considérée et 
<math>s(D)=\mathrm{dim}\,H^{1}(X, \mathcal O(D))</math>.

D'après la {{Lien|trad=Serre duality|dualité de Serre}}, on a notamment <math>l(D - K) = \mathrm{dim}\,H^2(X, \mathcal O(D))</math> ce qui permet d'exprimer le théorème de Riemann-Roch à partir de la [[caractéristique d'Euler]] de la surface algébrique considérée. C'est cette observation qui va permettre d'étendre encore davantage le résultat.

=== Le théorème de Hirzebruch-Riemann-Roch : les classes caractéristiques ===
{{Article détaillé|Théorème de Hirzebruch-Riemann-Roch}}
Entre les années 1930 et 1950, la théorie des [[Classe caractéristique|classes caractéristiques]] est élaborée, avec des avancées majeures dues à Chern et [[Kunihiko Kodaira|Kodaira]]. [[Friedrich Hirzebruch]] montre en 1954 qu'on peut calculer la caractéristique d'Euler à partir de la théorie des [[classe de Chern|classes de Chern]]<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur=Friedrich Hirzebruch|titre=Topological Methods in Algebraic Geometry|collection=[[Grundlehren der mathematischen Wissenschaften|Grund. math. Wiss.]]|numéro dans collection=131|éditeur=Springer Verlag|année=1956}}</ref>, ce qui donne lieu au théorème dit de Hirzebruch-Riemann-Roch. Hirzebruch le montra d'abord pour les variétés projectives définies sur <math>\Complex</math>, résultat étendu par Grothendieck à tout corps de base ''k'' algébriquement clos.

Plus concrètement, si ''X'' est une variété algébrique projective, non singulière, de dimension ''n'' sur un corps ''k'' algébriquement clos, on note <math>\mathcal T_X</math> son [[fibré tangent]]. Pour tout [[fibré vectoriel]] <math>\mathcal E</math> sur ''X'', on note <math>\operatorname{ch}(\mathcal E)</math> son [[caractère de Chern]] et <math>\operatorname{td}(\mathcal E)</math> sa [[classe de Todd]], qui sont des éléments de <math>A(X)\otimes\Q</math> avec ''A''(''X'') l'{{Lien|trad=Chow ring|anneau de Chow}} de ''X''. Si l'on note 
:<math>\int_X:A(X)\otimes\Q\to\Q</math>
l'application qui, à un [[cycle algébrique]], associe le degré de sa composante d'ordre ''n'', le théorème de Hirzebruch-Riemann-Roch énonce alors que l'on a 
:<math>\chi(X,\mathcal E)=\int_X\operatorname{ch}(\mathcal E)\cdot\operatorname{td}(\mathcal T_X)</math>.

=== La lettre de Grothendieck à Serre : point de vue local et faisceaux cohérents ===
[[Alexandre Grothendieck]] souhaite simplifier le résultat de Hirzebruch, en particulier sa démonstration particulièrement compliquée. Pour cela, il considère un morphisme propre <math>f : X \to Y</math> de [[schéma (géométrie algébrique)|''k''-schémas]] quasi-projectifs lisses sur un corps ''k''. On peut alors définir un morphisme image directe de cycles :
:<math>f_* : A(X) \otimes \mathbb Q \to A(Y) \otimes \mathbb Q</math>.
Plutôt que de considérer les faisceaux localement libres sur ''X'', Grothendieck propose de s'intéresser aux {{Lien|trad=coherent sheaf|faisceau cohérent|texte=faisceaux cohérents}}, plus précisément au [[groupe de Grothendieck]] de tels faisceaux sur ''X'' : il est en effet isomorphe, du fait de la régularité de ''X'', au groupe de Grothendieck des faisceaux localement libres. Le morphisme ''f'' étant libre, on peut définir pour tout faisceau cohérent <math>\mathcal E</math> le morphisme image directe
:<math>f_*(\mathcal E) = \sum_k (-1)^k R^k f_*(E)</math>. 

On peut alors voir le résultat de Hirzebruch comme l'expression d'un « défaut de commutativité » (ou de naturalité) entre le caractère de Chern et <math>f_*</math>, c'est-à-dire
:<math>\mathrm{td}(\mathcal T_Y)\mathrm{ch}(f_* (E)) = f_*(\mathrm{td}(\mathcal T_X)\mathrm{ch}(E))</math>
pour tout <math>E \in K(X)</math>, ce qu'on peut encore écrire 
:<math>\mathrm{ch}(f_*(E)) = f_*(\mathrm{td}(\mathcal T_f)\mathrm{ch}(E))</math>
avec <math>\mathcal T_f = \mathcal T_X - f^*(\mathcal T_Y)</math> le fibré tangent relatif. On retrouve le théorème de Hirzebruch-Riemann-Roch en considérant le cas particulier <math>Y = \mathrm{Spec}(k)</math>.

=== SGA 6 : la ''K''{{ind|0}}-théorie ===

Lors du [[séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie]] qui se tient en 1966-1967, Grothendieck propose d'affaiblir les hypothèses considérées jusque-là : on demande simplement que le morphisme <math>f</math> soit projectif d'intersection complète et que ''Y'' soit un schéma quasi-compact ayant un {{Lien|trad=Ample line bundle|faisceau ample}}. Ce cadre, s'il est plus flexible, ne permet plus de donner un sens à l'expression précédente : en particulier, on n'a pas de notion d'anneau de Chow.

Pour résoudre ce problème, il est proposé d'introduire un anneau gradué, associé à une « [[filtration (mathématiques)|filtration]] adéquate de l'anneau ''K(X)'' ». Mais en l'absence des hypothèses de régularité précédentes, il n'y a plus d'identification possible entre les groupes de Grothendieck des faisceaux localement libres, <math>K_0^G(X)</math> et des faisceaux cohérents, ''G''{{ind|0}}(''X''). Dans cette situation, <math>K_0^G(X)</math> est bien un anneau, mais ce n'est pas le cas de ''G''{{ind|0}}(''X'') en général, bien qu'il soit un <math>K_0^G(X)</math>-module. On travaille donc uniquement sur <math>K_0^G(X)</math>. Cet anneau possède une {{Lien|trad=λ-ring|λ-anneau|texte=λ-structure}} donnée par les opérations de puissances extérieures, qui permet de définir une filtration appelée « γ-filtration ». Celle-ci donne effectivement une théorie des classes de Chern et de Todd. 

Il reste à définir un morphisme image directe <math>f_* : K_0^G(X) \to K_0^G(Y)</math> : puisqu'on travaille avec des faisceaux localement libres, il n'y a aucune raison que les faisceaux <math>R^if_*(\mathcal E)</math> soient localement libres, et on ne peut pas utiliser la formule somme qu'avait proposé Grothendieck. La solution consiste à travailler au niveau de la [[catégorie dérivée]] : on y définit les complexes parfaits comme étant les complexes localement isomorphes à un complexe borné localement de type fini en chaque degré. La catégorie des complexes parfaits est une [[catégorie triangulée|sous-catégorie triangulée]] de la catégorie dérivée de ''X'', stable par image directe. Si on désigne par ''K''{{ind|0}}(''X'') le groupe de Grothendieck des complexes parfaits, on dispose d'un morphisme image directe <math>f : K_0(X) \to K_0(Y)</math>. Mais cette approche s'avère problématique car, à l'opposé de <math>K_O^G(X)</math>, il n'y a pas de λ-structure sur ''K''{{ind|0}}(''X''). Lorsque ''X'' possède un fibré ample on a cependant un isomorphisme naturel
:<math>K_0^G(X)\stackrel{\sim}{\rightarrow}K_0(X)</math>
et on peut transférer la λ-structure sur <math>K_0(X)</math>, qui donne l'anneau recherché : <math>\mathrm{Gr}(K_0(X))</math>. Les hypothèses faites sur ''f'' garantissent la définition cohérente du morphisme
:<math>f_*: \mathrm{Gr}(K_0(X))_{\mathbb Q} \to \mathrm{Gr}(K_0(Y))_{\mathbb Q}</math>.
Sous l'hypothèse que ''f'' est localement d'intersection complète, on peut alors définir (en passant par le complexe cotangent) le fibré tangent relatif <math>\mathcal T_f</math> et montrer qu'il s'identifie à un complexe parfait, ce qui en fait un élément de ''K''{{ind|0}}(''X'').

Dans l'exposé {{XIV}} de SGA 6, Grothendieck énumère plusieurs pistes pour généraliser encore davantage le résultat, et propose un certain nombre de conjectures permettant d'en étendre la portée.

== Énoncé ==
Soit <math>f : X\to Y</math> un [[morphisme]] de [[schéma (géométrie algébrique)|schémas]]. On suppose ''f'' projectif d'intersection complète, de dimension relative virtuelle et constante, égale à ''d''. On suppose que le schéma ''Y'' est quasi-compact et muni d'un fibré ample. Alors on a les faits suivants<ref>SGA 6, Exposé VIII, §3.6</ref> :
* <math>K_0^G(X)</math> (respectivement <math>K_0^G(Y)</math>) est isomorphe à ''K''{{ind|0}}(''X'') (respectivement ''K''{{ind|0}}(''Y'')) ;
* Les γ-filtrations sur ''K''{{ind|0}}(''X'') et ''K''{{ind|0}}(''Y'') sont nilpotentes<ref>SGA 6, Exposé VI, §6.1</ref> ;
* Le complexe cotangent de ''f'' est strictement parfait<ref>SGA 6, Exposé VII §4.6</ref> ;
* On a le morphisme image directe<ref>SGA 6, Exposé VI §5.8</ref>{{,}}<ref>SGA 6, Exposé VIII §1.2</ref>
:<math>f_* : \mathrm{Gr}(K_0(X))_{\mathbb Q} \to \mathrm{Gr}(K_0(Y))_{\mathbb Q}</math>
* Pour tout ''E'' dans ''K''{{ind|0}}(''X'') on a 
:<math>\mathrm{ch}(f_*(E)) = f_*(\mathrm{td}(\mathcal T_f)\mathrm{ch}(E))</math>
C'est souvent ce dernier point qui est appelé '''théorème de Grothendieck-Riemann-Roch'''. 

Si on note <math>\mathrm{Gr}(K_0(X))_{\mathbb Q}</math> l'anneau (gradué, normalisé) issu de la γ-filtrations sur ''K''{{ind|0}}(''X''), alors le caractère de Chern est un homomorphisme d'anneaux <math>\mathrm{ch} : K_0(X) \to \mathrm{Gr}(K_0(X))_{\mathbb Q}</math>. Il s'agit d'une construction [[foncteur|fonctorielle]], de la catégorie des variétés non singulières dans la catégorie des anneaux. Le théorème de Grothendieck-Riemann-Roch exprime alors le fait suivant : <math>\mathrm{ch}</math> n'est pas une [[transformation naturelle]]. En revanche, <math>\mathrm{ch}(-)\mathrm{td}(\mathcal T_{-})</math> est une transformation naturelle <math>K_0(-) \to \mathrm{Gr}(K_0(-))_{\mathbb Q}</math>.

== Notes et références ==
{{Références|colonnes = 2}}

== Voir aussi ==
=== Bibliographie ===
* [[Pierre Berthelot (mathématicien)|Pierre Berthelot]], [[Alexandre Grothendieck]] et [[Luc Illusie]], « Théorie des intersections et théorème de Riemann-Roch », dans ''[[Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie|SGA 6]]'', 1971
* {{Article|nom1=Borel|prénom1=Armand|lien auteur1=Armand Borel|nom2=Serre|prénom2=Jean-Pierre|lien auteur2=Jean-Pierre Serre|année=1958|titre=Le théorème de Riemann–Roch|revue=Bulletin de la Société Mathématique de France|volume=86|pages=97-136|ISSN=0037-9484|mr=0116022}}

=== Articles connexes ===
* [[Théorème d'Adams-Riemann-Roch]]
* [[Formule de Lefschetz-Riemann-Roch]]
* [[Théorème d'Atiyah-Singer]]
* {{Lien|trad=Arakelov theory|Géométrie d'Arakelov}}

{{Portail|mathématiques}}

{{DEFAULTSORT:Theoreme de Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch}}
[[Catégorie:Géométrie algébrique]]
[[Catégorie:Théorie des catégories]]
[[Catégorie:Alexandre Grothendieck]]