Voir la source de Théorème de Lagrange sur les groupes

{{voir homonymes|Théorème de Lagrange}}
[[Fichier:Left cosets of Z 2 in Z 8.svg|vignette|Si G est le groupe des entiers modulo 8, alors {0, 4} forme un sous-groupe H. Sur l'exemple, {0, 4} contient 2 éléments et 2 divise 8.]]
En [[mathématiques]], le '''[[théorème]] de [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]] sur les [[Groupe (mathématiques)|groupes]]''' énonce un résultat élémentaire fournissant des informations [[combinatoire]]s sur les [[groupe fini|groupes finis]]. Le théorème doit son nom au mathématicien [[Joseph-Louis Lagrange]].
[[Image:Joseph Louis Lagrange.jpg|right|thumb|Joseph-Louis Lagrange (gravure, Robert Hart, 1830, d'après un buste<!--en marbre par Pujol ?--> de l'[[Académie des sciences (France)|Académie des sciences]]).]]
== Énoncé ==

{{théorème|Théorème de Lagrange|Pour tout groupe fini {{math|''G''}} et tout [[sous-groupe]] {{math|''H''}} de {{math|''G''}}, l'[[Ordre (théorie des groupes)|ordre]] de {{math|''H''}} (c'est-à-dire son [[cardinal d'un ensemble fini|cardinal]]) [[divise]] celui de {{math|''G''}} :
<center><math>|H|\quad\text{divise}\quad|G|.</math></center>}}

== Démonstration ==
Par définition, l'[[Indice d'un sous-groupe|indice]] {{math|[''G'':''H'']}} de {{math|''H''}} dans {{math|''G''}} est le cardinal de l'ensemble {{math|''G/H''}} des [[Classe suivant un sous-groupe|classes à gauche suivant ''H'']] des éléments de {{math|''G''}}. Or ces classes forment une [[Partition (mathématiques)|partition]] de {{math|''G''}} et chacune d'entre elles a même cardinal que {{math|''H''}}. Par le [[principe des bergers]], on en déduit :
<center><math>|G|=|H|\times[G:H].</math></center>

Remarquons que cette formule reste vraie quand les trois [[Nombre cardinal|cardinaux]] qu'elle relie sont infinis, et qu'elle est un cas particulier de la [[Indice d'un sous-groupe#Formule des indices|formule des indices]].

== Applications ==

* L'[[Ordre (théorie des groupes)|ordre d'un élément]] ''x'' d'un groupe fini peut se définir comme l'ordre du sous-groupe qu'il [[Partie génératrice d'un groupe|engendre]]. (C'est aussi le plus petit entier ''n ''> 0 vérifiant : ''x{{exp|n}} = e''.) Par le théorème de Lagrange, cet ordre divise l'ordre du groupe.
* Un groupe ''G'' d'ordre [[Nombre premier|premier]] ''p'' est [[groupe cyclique|cyclique]] et [[groupe simple|simple]]. En effet, tout élément non neutre ''x'' de ''G'' est d'ordre strictement supérieur à 1 et par ce qui précède un diviseur de ''p''. Comme ''p'' est premier, l'ordre de ''x'' est ''p'' ; autrement dit, ''x'' engendre un groupe cyclique d'ordre ''p'', nécessairement égal à ''G''.
* Ce théorème peut servir à démontrer le [[petit théorème de Fermat]] et sa généralisation, le [[Théorème d'Euler (nombres)|théorème d'Euler]].
* Notons G le [[Théorie mathématique sur le Rubik's Cube|groupe des démontages-remontages]] du [[cube de Rubik]] et Rub le sous-groupe de G correspondant aux mouvements admissibles ( on ne "casse" pas le cube ). Alors l'indice de Rub dans G est 12<ref>{{Lien web|titre=Le Rubik's cube, groupe de poche |url=http://culturemath.ens.fr/nodeimages/images/rubiks-cube-groupe-de-poche.pdf|site=culturemath.ens.fr|auteur=[[Pierre Colmez]]}}.</ref>. On obtient alors aisément que le nombre de configurations possibles du cube de Rubik est 43 252 003 274 489 856 000<ref>{{Ouvrage|langue=|auteur1=|nom1=[[André Warusfel]] .|titre=Réussir le rubik:':s cube|passage=p.15|lieu=|éditeur=France loisirs|date=1981|pages totales=|isbn=2724210301|isbn2=9782724210309|oclc=461676792|lire en ligne=https://www.worldcat.org/oclc/461676792|consulté le=2019-08-08}}</ref>.

== Réciproques partielles ==
Un groupe fini ''G ''ne vérifie pas toujours la « réciproque du théorème de Lagrange », c'est-à-dire qu'il peut exister un diviseur ''d ''de |''G''| pour lequel ''G ''n'admet aucun sous-groupe d'ordre ''d''. Le plus petit contre-exemple<ref>C'est « le plus petit » au sens où c'est le seul [[Liste des petits groupes|d'ordre inférieur ou égal à 12]].</ref> est le [[groupe alterné]] ''A''{{ind|4}}, qui est d'ordre 12 mais n'a pas de sous-groupe d'ordre 6 (car tout [[Sous-groupe normal#Exemples|sous-groupe d'indice 2]] contient les carrés du groupe, or dans ''A''{{ind|4}} il y a 9 carrés).

Le [[théorème de Cauchy (groupes)|théorème de Cauchy]], les [[théorèmes de Sylow]], le théorème démontré par [[Philip Hall]] sur les [[Sous-groupe de Hall|sous-groupes de Hall]], forment des réciproques partielles au théorème de Lagrange.

Pour qu'un groupe fini vérifie la « réciproque du théorème de Lagrange », il est nécessaire qu'il soit [[Groupe résoluble|résoluble]] (mais non suffisant : ''A''{{ind|4}} est résoluble) et suffisant qu'il soit [[Groupe super-résoluble|super-résoluble]] (mais non nécessaire : le [[groupe symétrique]] S{{ind|4}} n'est pas super-résoluble, puisqu'il admet S{{ind|3}} comme [[sous-groupe maximal]] d'indice non premier).

Un groupe fini ''G'' est [[Groupe nilpotent|nilpotent]] si et seulement s'il vérifie la « réciproque » forte suivante du théorème de Lagrange : pour tout diviseur ''d'' de |''G''|, ''G'' possède un sous-groupe [[Sous-groupe normal|normal]] d'ordre ''d''.

== Historique ==

Le mathématicien français [[Joseph-Louis Lagrange]] a démontré<ref>{{article|nom=J.-L. Lagrange|titre=Réflexions sur la résolution algébrique des équations, II|périodique=Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin|année=1771|pages=138-254}} (spéc. p. 202-203), réédité dans ''Œuvres de Lagrange'', t. 3, Paris, 1869, {{p.|305-421}}, consultable [http://math-doc.ujf-grenoble.fr/cgi-bin/oeitem?id=OE_LAGRANGE__3_205_0 en ligne] (spéc. [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k229222d.image.f370 p. 369-370])</ref> que, par [[permutation]] des {{math|''n''}} [[indéterminée]]s d'une [[Polynôme en plusieurs indéterminées|expression polynomiale]], le nombre d'expressions obtenues est un diviseur de [[Factorielle|{{math|''n''!}}]]. L'ensemble des permutations est vu aujourd'hui comme [[Groupe symétrique|un groupe à {{math|''n''!}} éléments]], agissant sur les polynômes à {{math|''n''}} variables. Le travail de Lagrange se réinterprète comme le calcul du cardinal d'une [[Action de groupe (mathématiques)|orbite de cette action]] : il apparait ainsi comme précurseur de l'[[Groupe (mathématiques)#Histoire|émergence de la notion de groupe]], dont la définition formelle n'a été donnée qu'à la fin du {{s-|XIX}}.

== Notes et références ==
<references />

{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Théorème de la théorie des groupes|Lagrange]]

[[Catégorie:Joseph-Louis Lagrange]]
[[Catégorie:Groupe fini]]