Voir la source de Théorème de factorisation de Weierstrass

{{confusion|produit eulérien}}
{{homon|Théorème de Weierstrass}}
En [[mathématiques]], et plus précisément en [[analyse (mathématiques)|analyse]], le '''théorème de factorisation de Weierstrass''', nommé en l'honneur de [[Karl Weierstrass]], affirme que les [[fonction entière|fonctions entières]] peuvent être représentées par un [[produit infini]], appelé '''produit de Weierstrass''', mettant en jeu leurs [[zéro (analyse complexe)|zéros]].

== Le théorème de factorisation de Weierstrass ==
Du développement en [[série entière]] suivant pour {{math|''u'' ∈ ]–1;1[}} :
:<math>\ln(1-u)=-\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{u^n}{n}= -u-\frac{u^2}2-\frac{u^3}3-\ldots-\frac{u^n}n-\ldots</math>
on déduit que la fonction tronquée aux {{mvar|m}} premiers termes
:<math>E(u,m)=(1-u)\mathrm{e}^{u+u^2/2+\ldots+u^m/m}</math>,
est sensiblement égale à 1 sur [–1 ; 1], sauf dans un voisinage de {{math|''u'' {{=}} 1}} où elle admet un zéro d'ordre 1. Ces facteurs {{math|''E''(''u'',''m'')}} sont appelés '''facteurs primaires''' de Weierstrass. Avec eux, Weierstrass a montré que pour toute [[fonction entière]] {{mvar|f}} [[Fonction entière#L'ordre des fonctions entières|d'ordre fini]] {{mvar|ρ}} et s'annulant sur les nombres complexes {{math|''a{{ind|n}}'' ≠ 0}}, il existe un [[polynôme]] {{math|''P''(''s'')}} de degré inférieur ou égal à {{mvar|ρ}}, et un entier {{math|''m'' < ''ρ''}} tels que l'on ait
<center><math>f(s)=s^p\exp(P(s))\prod_{n=1}^\infty E\left(\frac s{a_n},m\right)</math>.</center>
Le facteur {{mvar|s{{exp|p}}}} correspond aux fonctions ayant un zéro d'ordre {{mvar|p}} en 0.

Par la suite, Borel a précisé {{mvar|m}} et le degré du polynôme ''P''. Le degré de ''P'' est égal à la partie entière de l'ordre {{mvar|ρ}} si {{mvar|ρ}} n'est pas entier. Il peut prendre la valeur {{mvar|ρ}} ou la valeur {{math|''ρ''–1}} si l'ordre {{mvar|ρ}} est entier. L'entier {{mvar|m}} est majoré par {{mvar|ρ}}. L'un des deux entiers au moins est égal à {{mvar|ρ}} si l'ordre est entier.
Ce théorème a été généralisé par Hadamard aux [[fonction méromorphe|fonctions méromorphes]].

=== Le théorème de Hadamard ===
Le théorème de factorisation de [[Jacques Hadamard|Hadamard]] relatif aux fonctions méromorphes d'ordre fini {{mvar|ρ}} s'énonce ainsi :

{{énoncé|1=Pour toute fonction méromorphe {{math|''f''(''s'')}} d'ordre fini {{mvar|ρ}} il existe deux entiers {{math|''m''{{ind|1}}}} et {{math|''m''{{ind|2}}}} plus petits que {{mvar|ρ}}, et un polynôme {{math|''q''(''s'')}} de degré inférieur à {{mvar|ρ}} tels que
<math>f(s)=\mathrm{e}^{q(s)}\frac{p_1(s)}{p_2(s)}</math>,
où {{math|''p''{{ind|1}}(''s'')}} et {{math|''p''{{ind|2}}(''s'')}} sont des produits de fonctions canoniques d'ordres {{math|''m''{{ind|1}}}} et {{math|''m''{{ind|2}}}} bâtis sur les zéros {{mvar|a{{ind|i}}}} et les pôles {{mvar|b{{ind|i}}}} de {{mvar|f}}.
:<math>p_1(s)=\prod_{n=1}^\infty{E\left(\frac s{a_n},m_1\right)},\qquad p_2(s)=\prod_{n=1}^\infty{E\left(\frac s{b_n},m_2\right)}</math>,
avec <math>E(u,m)=(1-u)\mathrm{e}^{u+u^2/2+\ldots+u^m/m}</math>.}}

Il est une simple conséquence du théorème de factorisation de Weierstrass et du théorème suivant :
{{énoncé|1=Toute fonction méromorphe est le quotient de deux fonctions entières.}}

== Exemples de factorisations et applications ==
La forme donnée par le théorème de factorisation peut souvent se réécrire (voir la [[produit infini#Fonctions exprimées comme produits infinis|section correspondante]] de l'article « [[Produit infini]] ») :
:<math>
f(z) = z^m \; \mathrm{e}^{\phi(z)} \; \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac z{u_n}\right)
</math>, où les {{mvar|u{{ind|n}}}} sont les zéros de {{mvar|f}} ; en pratique, la difficulté est le plus souvent de déterminer la fonction {{math|''ϕ''(''z'')}}.

On a en particulier
* <math>\sin \pi z = \pi z \prod_{n\neq 0} \left(1-\frac zn\right)\mathrm{e}^{z/n} = \pi z\prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)</math>
* <math>\cos \pi z = \prod_{n\neq 0} \left(1-\frac{2z}{2n-1}\right)\mathrm{e}^{2z/(2n-1)} = \prod_{n=1}^\infty \left( 1 - \frac{4z^2}{(2n-1)^2} \right) </math>
* Pour l'inverse de la [[fonction gamma]], on a la formule analogue <math>1 / \Gamma(z) = z \; \mathrm{e}^{\gamma z} \; \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac zn\right) \; \mathrm{e}^{-z/n}</math> (formule due à [[Oscar Xavier Schlömilch|Schlömilch]])
Le produit infini correspondant à la fonction sinus a été découvert par [[Leonhard Euler]], qui s'en est servi pour résoudre le [[problème de Bâle]], et obtenir plus généralement, en identifiant le développement du produit avec celui de la fonction sinus en [[série de Taylor]], les valeurs de la [[fonction zêta de Riemann]] aux entiers pairs :
:<math> \zeta(2k)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^{2k}} \ = \ \frac{|B_{2k}| \ (2\pi)^{2k}} {2 \, (2k)!}
</math>, où les {{math|''B''{{ind|2''k''}}}} sont les [[nombres de Bernoulli]].

Notant {{mvar|x{{ind|n}}}} la solution de l'équation {{math|''x'' {{=}} tan ''x''}} comprise entre {{math|''n''π}} et {{math|''n''π  + π/2}} (pour {{mvar|n}} entier strictement positif), on peut de même obtenir le développement en produit infini<ref>Revue ''[[Tangente (magazine)|Tangente Sup]]'', {{n°|62}}, {{p.|16}}.</ref> :
:<math>\sin x-x\cos x= \frac{x^3}3\prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{x^2}{x_n^2}\right)</math>, d'où l'on tire (par identification avec le développement en série de Taylor) le résultat <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{x_n^2}=\frac1{10}</math>.

== Notes et références ==
{{Références}}

==Voir aussi==
===Article connexe===
[[Théorème de Mittag-Leffler]]
===Bibliographie===
{{en}} [[Walter Rudin]], ''Real and Complex Analysis'', {{3e|éd.}}, Boston, McGraw Hill, 1987, {{p.|301-304}}
===Liens externes===
* {{MathWorld|nom_url=WeierstrassProductTheorem|titre=Weierstrass Product Theorem}}
* {{MathWorld|nom_url=HadamardProduct|titre=Hadamard Product}}

{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Théorème d'analyse complexe|Weierstrass (theoreme de factorisation)]]