Voir la source de Théorème de la médiane

[[Image:Mediane.svg|right|thumb]]
En [[géométrie]] [[Espace euclidien|euclidienne]], le '''[[théorème]] de la médiane''', ou '''théorème d'[[Apollonius de Perga|Apollonius]]''', désigne l'une des trois [[Identité (mathématiques)|identités]] suivantes<ref>{{Ouvrage|titre=Cours de géométrie|sous-titre=Préparation au [[CAPES]] et à l'[[Agrégation de mathématiques|agrégation]]|auteur=Dany-Jack Mercier|éditeur=Publibook|year=2008|isbn=978-2-74834139-3|url=https://books.google.fr/books?id=R2sAlcWDqQEC&pg=PA185|page=185}}.</ref>, sur des [[Distance (mathématiques)|distances]] et des [[Produit scalaire|produits scalaires]], dans un [[triangle]] ''ABC'' de [[Médiane (géométrie)|médiane]] ''AI'' et de [[Hauteur d'un triangle|hauteur]] ''AH'' :
<center><math>\begin{align}AB^2+AC^2&=\frac12BC^2+2AI^2,\\
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}&=AI^2-\frac14BC^2,\\
\left|AB^2 - AC^2\right|&=2BC\times IH.\end{align}</math></center>

== Premier théorème de la médiane ou théorème d'Apollonius ==
{{Théorème|Théorème d'Apollonius|Soient (''ABC'') un triangle quelconque et ''AI'' la médiane issue de ''A''. On a alors la relation suivante :
{{Retrait|<math>AB^2 + AC^2 = 2BI^2 + 2AI^2</math>}}
ou encore : 
{{Retrait|<math>AB^2 + AC^2 = {1 \over 2} BC^2 + 2AI^2.</math>}}}}

Ce théorème est une reformulation de l'[[identité du parallélogramme]].

=== Démonstration par le produit scalaire ===

Cette propriété est un cas simple de la réduction de la [[Fonctions de Leibniz#Fonction scalaire de Leibniz|fonction scalaire de Leibniz]] : il suffit de faire intervenir le point ''I'' dans les deux [[vecteur]]s <math>\overrightarrow{AB}</math> et <math>\overrightarrow{AC}</math>, par la [[relation de Chasles]] :
{{Retrait|<math>AB^2 + AC^2 =(\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB})^2 + (\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IC})^2.</math>}}
On développe :
{{Retrait|<math>AB^2+ AC^2 = AI^2 + IB^2 + 2\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{IB} + AI^2 + IC^2 + 2\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{IC}.</math>}}
Le point ''I'' est [[Milieu d'un segment|milieu]] de [''B'', ''C''], donc <math>\overrightarrow{IB}</math> et <math>\overrightarrow{IC}</math> sont opposés, ce qui implique que les produits scalaires s'éliminent et ''IC''{{2}} = ''IB''{{2}} donc 
{{Retrait|<math>AB^2+ AC^2 = 2AI^2 + 2IB^2.</math>}}

=== Démonstration n'utilisant que les théorèmes sur les distances ===
[[Image:Mediane.svg|right|thumb]]
Une autre méthode, {{refnec|date=décembre 2014|probablement celle d'Apollonius}} (donc non vectorielle), est la suivante.

Soit ''H'' le pied de la hauteur issue de ''A''. Les trois triangles ''AHB'', ''AHC'' et ''AHI'' sont rectangles en ''H'' ; en leur appliquant le [[théorème de Pythagore]], on obtient :

{{Retrait|<math>AB^2=AH^2+HB^2,\quad AC^2=AH^2+HC^2\quad{\rm et}\quad AI^2=AH^2+HI^2.</math>}}

On en déduit :

{{Retrait|<math>AB^2+AC^2=HB^2+HC^2+2AH^2=HB^2+HC^2+2(AI^2-HI^2).</math>}}

On exprime ''HB'' et ''HC'' en fonction de ''HI'' et ''BI''. Quitte à intervertir ''B'' et ''C'' si nécessaire, on peut toujours supposer que ''B'' et ''H'' sont du même côté de ''I''. Alors,

{{Retrait|<math>HB=|HI-BI|\text{ et }HC=HI+IC=HI+BI.</math>}}

On peut donc transformer, dans l'expression ci-dessus de <math>AB^2+AC^2</math>, la sous-expression
{{Retrait|<math>\begin{align}HB^2+HC^2&=(HI-BI)^2+(HI+BI)^2\\
&=HI^2-2HI.BI+BI^2+HI^2+2HI.BI+BI^2\\
&=2HI^2+2BI^2.\end{align}</math>}}

En remplaçant, on obtient :
{{Retrait|<math>AB^2+AC^2=2HI^2+2BI^2+2(AI^2-HI^2)=2BI^2+2AI^2.</math>}}

===Généralisation à toute [[cévienne]]===
La démonstration [[#Démonstration par le produit scalaire|ci-dessus]] par le produit scalaire se généralise, ce qui permet de démontrer :

{{énoncé|1=Soient (''ABC'') un triangle, ''J'' un point de ]''B'', ''C''] et ''k'' = ''JC'' / ''JB''. Alors :
{{Retrait|<math>k~AB^2+AC^2=(k+1)(k~BJ^2+AJ^2).</math>}}}}

{{Démonstration|
Le point ''J'' est le [[Barycentre (géométrie élémentaire)|barycentre]] de (''B'', ''k'') et (''C'', 1) donc ({{cf.}} [[Fonctions de Leibniz#Fonction scalaire de Leibniz|fonction scalaire de Leibniz]])
{{Retrait|<math>\begin{align}k~AB^2+AC^2&=k~JB^2+JC^2+(k+1)JA^2\\
&=k~JB^2+(k~JB)^2+(k+1)JA^2\\
&=(k+k^2)JB^2+(k+1)JA^2\\
&=(k+1)(k~JB^2+JA^2).\end{align}</math>}}
}}

== Deuxième théorème de la médiane ==
{{Théorème|Deuxième théorème de la médiane|Soient (''ABC'') un triangle et ''I'' le milieu du segment [''B'', ''C'']. Alors
{{Retrait|<math>\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = AI^2 - \dfrac 14 BC^2.</math>}}}}

La démonstration utilise la même décomposition des vecteurs <math>\overrightarrow{AB}</math> et <math>\overrightarrow{AC}</math> que [[#Démonstration par le produit scalaire|ci-dessus]] :
{{Retrait|<math>\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB})\cdot(\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{IB})=AI^2-IB^2=AI^2-(BC/2)^2.</math>}}

===Théorème de la médiane pour un triangle rectangle===
Il existe un cas particulier relatif au [[triangle rectangle]].

'''Théorème de la médiane<ref name=GeoSitu>{{Ouvrage|auteur=COJEREM|titre=Géométrie en situations|sous-titre={{1re}}/{{4e}} notions pour l'élève|éditeur=De Boeck|year=1995|isbn=978-2-80412230-0|url=https://books.google.fr/books?id=b6MLurjEcaoC&pg=PA191|page=191-192}}.</ref> — '''Dans un triangle rectangle, la longueur de la médiane issue du sommet de l'angle droit vaut la moitié de la longueur de l'hypoténuse.

Ce théorème possède une réciproque.

'''Réciproque du théorème de la médiane<ref name=GeoSitu/> — '''Si dans un triangle, la longueur de la médiane issue d'un sommet vaut la moitié de la longueur du côté opposé, alors ce triangle est rectangle en ce sommet.

== Troisième théorème de la médiane ==
{{Théorème|Troisième théorème de la médiane| Soient (''ABC'') un triangle et ''I'' le milieu du segment [''B'', ''C'']. On note ''H'' le [[Projection orthogonale|projeté orthogonal]] de ''A'' sur (''BC''). Alors  
{{Retrait|<math>\left|AB^2-AC^2\right|=2BC\times IH.</math>}}}}
Plus précisément :
{{Retrait|<math>AB^2 - AC^2=2~\overline{BC}~\overline{IH},</math>}}
où {{Surligner|''BC''}} et {{Surligner|''IH''}} désignent des [[Mesure algébrique|mesures algébriques]] par rapport à un même [[vecteur directeur]] [[vecteur unitaire|unitaire]] de la droite (''BC'').
Il suffit d'utiliser le produit scalaire et les identités remarquables :
{{Retrait|<math>AB^2-AC^2=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\cdot(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})=2\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{IA}\cdot\overrightarrow{BC}.</math>}}
La projection de <math>\overrightarrow{IA}</math> sur (''BC'') est  <math>\overrightarrow{IH}</math> d'où 
{{Retrait|<math>AB^2-AC^2=2~\overrightarrow{IH}\cdot\overrightarrow{BC}=2~\overline{IH}~\overline{BC}.</math>}}

==Notes et références==
{{Références}}

== Voir aussi ==
[[Théorème de Stewart]]

{{Portail|géométrie}}

{{DEFAULTSORT:Theoreme mediane}}
[[Catégorie:Théorème de géométrie|Mediane]]
[[Catégorie:Géométrie du triangle]]