Voir la source de Théorème des accroissements finis

[[File:Mittelwertsatz5.svg|thumb|Il existe un point où la pente de la tangente est égale à la pente de la corde.]]

En [[analyse (mathématiques)|analyse]], le '''théorème des accroissements finis''' (en abrégé : TAF<!--https://books.google.fr/books?id=3jK2AwAAQBAJ&pg=PA174-->) est à la fois une généralisation et un [[corollaire]] du [[théorème de Rolle]]. Pour toute [[fonction dérivable]] d'une variable réelle, son [[taux d'accroissement]] entre deux valeurs est réalisable comme [[Pente (mathématiques)|pente]] d'une des [[Tangente (géométrie)|tangentes]] à son [[Graphe d'une fonction|graphe]]<ref name=V:TAF>{{Note autre projet|wikiversité|Fonctions d'une variable réelle/Dérivabilité#Théorèmes sur la dérivation|« Théorème des accroissements finis »|début=Pour une démonstration, voir par exemple}}</ref>.

== Fonction d'une variable réelle à valeurs réelles ==
=== Énoncé ===
{{énoncé||Pour toute [[fonction réelle d'une variable réelle]] {{math|''f'' : [''a'', ''b''] → ℝ}} ({{math|''a''}} et {{math|''b''}} réels tels que {{math|''a < b''}}), supposée [[Continuité (mathématiques)|continue]] sur l'intervalle fermé {{math|[''a'', ''b'']}} et [[dérivabilité|dérivable]] sur l'intervalle ouvert {{math|]''a'', ''b''[}}, il existe un réel {{math|''c''}} dans {{math|]''a'', ''b''[}} vérifiant : 
<center><math>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c).</math></center>}}

Graphiquement, le théorème des accroissements finis indique que, pour toute [[droite sécante]] en deux points à une courbe différentiable, il existe une tangente [[Droites parallèles|parallèle]] à la sécante.

On peut illustrer ainsi le théorème : « Si un véhicule parcourt une distance à la vitesse moyenne de {{Unité|60|km/h}}, alors son compteur (censé indiquer avec une précision infinie la vitesse instantanée) a indiqué au moins une fois la vitesse précise de {{Unité|60|km/h}}. »

La solution {{math|''c''}} n'est pas unique en général. Plus précisément, pour une fonction dérivable sur un intervalle {{math|''I''}}, la solution {{math|''c''}} est unique pour tous {{math|''a < b''}} dans {{math|''I''}} si et seulement si {{math|''f''}} est [[Fonction convexe#Stricte convexité|strictement convexe]] ou strictement [[Fonction concave|concave]]<ref name=Wikiversité>{{Note autre projet|wikiversité|Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Convexité#Exercice 5|exercice corrigé de la leçon « Fonctions d'une variable réelle »|début=Voir cet}}</ref>.

Deux conséquences directes du théorème des accroissements finis sont :
* le [[Fonction monotone#Monotonie et signe de la dérivée|lien entre monotonie et signe de la dérivée]] ;
* le [[Dérivabilité#Dérivabilité et prolongement|théorème « limite de la dérivée »]] (si une fonction ''f'', continue en ''a'', est dérivable sauf peut-être en ''a'', mais si sa dérivée a une limite finie au point ''a'', alors ''f'' est en fait de [[Classe de régularité|classe C{{1}}]] en ''a'').

== Théorème des accroissements finis généralisé ==
Ce théorème s'applique dans le cas de deux fonctions continues sur {{math|[''a'',''b'']}} et dérivables sur {{math|]''a'', ''b''[}}. Il assure<ref name=V:TAF/> qu'il existe un réel {{math|''c''}} de l'intervalle {{math|]''a'', ''b''[}} tel que 
<center><math>(f(b) - f(a))g'(c)=(g(b) - g(a))f'(c).</math></center>
[[File:Cauchy.svg|thumb|Il existe un point de l'[[Arc (géométrie)|arc]] [[Paramétrage|paramétré]] où la tangente est parallèle à la corde.]]
Géométriquement, il signifie que toute courbe représentative d'une fonction [[différentiable]] de ℝ dans ℝ{{2}}, {{math|''t'' ↦ (''f''(''t''), ''g''(''t''))}}, possède une tangente parallèle à l'une quelconque de ses cordes.

Dans le cas où {{math|''g'' {{'}}}} ne s'annule pas sur {{math|]''a'', ''b''[}}, l'égalité peut s'écrire<ref name=V:TAF/> :
<center><math>\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}.</math></center>
Sous cette forme, le théorème est appelé '''théorème de la moyenne de [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]]'''. Il peut être utilisé pour démontrer la [[règle de L'Hôpital]].

;Remarque
:Si ''a ''= {{math|–∞}} ou ''b ''= {{math|+∞}} et si ''f ''et ''g ''sont dérivables sur ]''a'', ''b''[ et possèdent en ''a ''et ''b ''des limites finies, notées ''f''(''a''), ''f''(''b''), ''g''(''a'') et ''g''(''b''), on obtient par la même méthode (en remplaçant le théorème de Rolle par [[Théorème de Rolle#Généralisations|une généralisation]] adaptée) une conclusion identique.
:

== Généralisation aux courbes paramétrées dans l'espace ==
[[Fichier:Taf3d.jpg|alt=|vignette|Exemple de tangente parallèle à un plan passant par ''A'' et ''B''. Par contre, ici, aucune tangente n'est parallèle à [AB].]]

=== Énoncé ===
Pour tout triplet de fonctions <math>f,g,h</math> réelles continues sur {{math|[''a'',''b'']}} et dérivables sur {{math|]''a'', ''b''[}}  il existe  <math> c \in \left]a,b\right[ </math> tel que le déterminant <math>\left\vert 
\begin{array}{ccc}
f'(c) & f(a) & f(b) \\ 
g'(c) & g(a) & g(b) \\ 
h'(c) & h(a) & h(b)
\end{array}
\right\vert </math> soit nul.

Si l'on pose <math> M(t)=(f(t),g(t),h(t)),A=M(a),B=M(b),C=M(c) </math>, le théorème énonce l'existence pour les courbes paramétrées joignant <math>A</math> à <math>B</math> d'une tangente (en un certain  <math>C</math> ),  parallèle au ''plan'' <math>(OAB)</math>, le déterminant nul indiquant la colinéarité des vecteurs <math>\overrightarrow{OA}</math> ,  <math>\overrightarrow{OB}</math> et <math>\overrightarrow{OM}'(c)</math>.

Le point <math>O</math> pouvant être choisi arbitrairement, il énonce en fait l'existence d'une corde <math>[CD]</math> parallèle à un plan donné passant par <math>A</math> et <math>B</math> . Par contre, comme on le voit ci-contre, la généralisation qui consisterait à dire qu'il existe une tangente parallèle à <math>[AB]</math> est fausse.

Notons que ce théorème contient le TAF généralisé, qui contient le TAF, lui-même contenant le théorème de Rolle.

=== Démonstration ===
Appliquer le théorème de Rolle à la fonction <math>\varphi</math> définie par <math>\varphi \left( x\right) =\left\vert 
\begin{array}{ccc}
f(x) & f(a) & f(b) \\ 
g(x) & g(a) & g(b) \\ 
h(x) & h(a) & h(b)
\end{array}
\right\vert  </math> qui vérifie <math>\varphi(a)=\varphi(b)(=0)</math>, ainsi que <math>\varphi' \left( x\right) =\left\vert 
\begin{array}{ccc}
f'(x) & f(a) & f(b) \\ 
g'(x) & g(a) & g(b) \\ 
h'(x) & h(a) & h(b)
\end{array}
\right\vert  </math> .

== Inégalité des accroissements finis ==
{{énoncé|
Soit ''f'' : [''a'', ''b''] → ℝ (avec ''a'' et ''b'' réels tels que ''a < b''). Si :
* ''f'' est continue sur l'intervalle fermé [''a'', ''b''] ;
* ''f'' est dérivable sur l'intervalle ouvert ]''a'', ''b''[ ;
* ''M'' est un réel tel que, pour tout élément ''x'' de ]''a'', ''b''[, {{!}}''f{{'}}''(''x''){{!}} ≤ ''M'' ;
alors<ref>{{Note autre projet|wikiversité|Fonctions d'une variable réelle/Dérivabilité#Théorèmes sur la dérivation|« Inégalité des accroissements finis »|début=Pour une démonstration, voir par exemple}}</ref> <math>\left|{{f(b)-f(a)} \over {b-a}}\right| \le M</math>,
}}

propriété que l'on peut illustrer par : « Si la vitesse instantanée d'un véhicule ne peut pas dépasser 120 km/h, alors sa vitesse moyenne non plus. »

Sous les mêmes hypothèses, ''f'' est donc [[Application lipschitzienne|''M''-lipschitzienne]] (car sa restriction à tout sous-intervalle de [''a'', ''b''] vérifie encore les hypothèses). Remarquons que d'après le [[théorème des bornes]], ces hypothèses sont vérifiées pour toute fonction ''f'' de classe C{{1}} sur [''a'', ''b''], avec <math>M=\sup_{x\in\left[a,b\right]}\left|f'(x)\right|</math>.

Il existe de même une « inégalité des accroissements finis généralisée » :

{{énoncé|Soient ''f ''et ''g  '': [''a'', ''b''] → ℝ continues sur [''a'',''b''] et dérivables sur ]''a'', ''b''[, avec ''g' ''de signe constant. Si ''J ''est un intervalle de ℝ tel que, pour tout ''x'' de ]''a'', ''b''[, ''f{{'}}''(''x'') ∈ ''g{{'}}''(''x'')''J'' alors, ''f''(''b'') – ''f''(''a'') ∈ (''g''(''b'') – ''g''(''a''))''J''.
}}

On peut même démontrer directement, ''sans le théorème des accroissements finis'', que cette conclusion reste vraie si la dérivabilité de ''f ''et ''g ''(et les hypothèses sur ''f{{'}}''(''x'') et ''g{{'}}''(''x'')) ne sont vérifiées que sur le complémentaire d'un [[ensemble dénombrable]]<ref>{{ouvrage|langue=en|titre=The Convenient Setting of Global Analysis|auteur=Andreas Kriegl|auteur2={{Lien|langue=de|Peter W. Michor}}|éditeur=[[American Mathematical Society|AMS]]|année=1997|isbn=978-0-82180780-4|url={{Google Livres|l-XxBwAAQBAJ|page=10}}|page=10}}.</ref>{{,}}<ref>{{Article|langue=en|auteur=Stephen D. Casey|auteur2=Richard Holzsager|titre=On Positive Derivatives and Monotonicity|revue=Missouri J. Math. Sci.|vol=17|numéro=3|année=2005|p.=161-173|url=http://cs.ucmo.edu/~mjms/2005.3/Casey-Holzsager.pdf|format=pdf}}.</ref>{{,}}<ref>{{Note autre projet|wikiversité|Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Inégalité des accroissements finis généralisée|« Inégalité des accroissements finis généralisée »|début=Démonstration dans}}</ref>.

=== Théorème des accroissements finis et intégration ===
{{Voir|Théorème de la moyenne}}
* Une version intégrale du TAF est le théorème de la moyenne :<br />Pour toute fonction ''u'' à valeurs réelles, continue sur un segment [''a'', ''b''] avec ''a ''< ''b'', il existe un réel ''c ''de ]''a'', ''b''[ tel que<center><math>u(c)=\frac1{b-a}\int_a^b u(x)~\mathrm dx.</math></center>
* L'analogue intégral du théorème des accroissements finis généralisé est un théorème de la moyenne généralisé :<br />Pour toutes fonctions ''u'' et ''v'' à valeurs réelles, continues sur un segment [''a'', ''b''] avec ''a ''< ''b'', ''v''  gardant un signe constant sur [''a'', ''b''], il existe un réel ''c'' de ]''a'', ''b''[ tel que<center><math>u(c)\int_a^b v(x)~\mathrm dx=\int_a^b u(x)v(x)~\mathrm dx.</math></center>

=== Réciproque partielle ===
[[Fichier:Reverse of mean value theorem - counterexample1.svg|thumb|Pour la [[fonction sinus]], la pente maximale des tangentes n'est pas la pente d'une corde.]]
[[Fichier:Reverse of mean value theorem - counterexample3.svg|thumb|Lorsque la valeur ''f{{'}}''(c) = λ est atteinte en des points arbitrairement proches de ''c'' (ici : ''c'' = λ = 0), il arrive qu'aucune des cordes de pente λ ne traverse l'axe ''x = c''.]]
Puisque le théorème des accroissements finis garantit que (pour une fonction <math>f</math> vérifiant les hypothèses) tout taux d'accroissement est un [[nombre dérivé]], une question naturelle est : réciproquement, tout nombre dérivé est-il un taux d'accroissement ?

La réponse est : non. Par exemple (cf. figure ci-contre), pour la fonction <math>\sin:\R\to\R</math>, le nombre dérivé <math>\sin'\left(0\right)=\cos\left(0\right)=1</math> n'est pas un taux d'accroissement. Mais la [[Cas pathologique|pathologie de ce cas]] (<math>1</math> est ici la valeur maximum de <math>f'</math>) est la seule obstruction.

Le théorème des accroissements finis possède en effet la réciproque partielle suivante (réciproque « faible<ref name=TongBrazaMortici>Propriété re<!--Je mets "re" parce que finalement ça semble être du folklore, mais ce serait mieux de donner des refs très anciennes-->démontrée par {{Article|langue=en|auteur=Jingcheng Tong|auteur2=Peter A. Braza|jstor=2974475|titre=A converse of the mean value theorem|revue=[[The American Mathematical Monthly|Amer. Math. Monthly]]|vol=104|numéro=10|année=1997|page=939-942}} et à nouveau (plus simplement) par {{Article|langue=en|auteur=Cristinel Mortici|url=https://www.researchgate.net/publication/240954212_A_converse_of_the_mean_value_theorem_made_easy|titre=A converse of the mean value theorem made easy|revue=Int. J. Math. Educ. Sci. Tech.|vol=42|numéro=1|année=2011|p.=89-91}}.</ref> ») :
{{énoncé|
Pour toute fonction <math>f</math> dérivable sur un intervalle, toute valeur ''non [[Extremum#Extrema d'une fonction|extrémale]]'' de <math>f'</math> est un taux d'accroissement de <math>f</math><ref name=V:Darboux>{{Note autre projet|wikiversité|Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Théorème de Darboux|page sur le théorème de Darboux|début=Pour une démonstration, voir par exemple la}}</ref>.
}}

Autrement dit : toute tangente au graphe de <math>f</math> dont la [[Pente (mathématiques)|pente]] <math>f'(c)</math> n'est ni maximum, ni minimum, possède une parallèle sécante au graphe en deux points. Le TAF permet en outre d'affirmer<ref name=V:Darboux/> que si la valeur <math>f'(c)</math> n'est atteinte qu'au point <math>c</math>, alors les deux extrémités de la corde sont de part et d'autre du point de tangence<ref name=TongBrazaMortici/> (réciproque « forte »).

La « réciproque faible » ci-dessus se déduit du lemme suivant, qui (joint au TAF lui-même) permet aussi de démontrer que [[Théorème de Darboux (analyse)|toute fonction dérivée vérifie la propriété des valeurs intermédiaires]] :
:Pour toute fonction <math>f</math> dérivable sur un intervalle, tout réel strictement compris entre deux nombres dérivés de <math>f</math> est un taux d'accroissement de <math>f</math><ref name=V:Darboux/>.

La « réciproque forte » se [[Propriété locale|localise]] facilement : pour toute fonction <math>f</math> dérivable sur un intervalle, si <math>\lambda=f'(c)</math> n'est pas un [[extremum local]] de <math>f'</math> et si, au [[Voisinage (mathématiques)|voisinage]] de <math>c</math>, la valeur <math>\lambda</math> n'est atteinte par <math>f'</math> qu'en {{nobr|<math>c</math>,}} alors <math>\lambda</math> est encore un taux d'accroissement de <math>f</math> entre deux points <math>x</math> et <math>y</math> tels que <math>x<c<y</math><ref name=TongBrazaMortici/>. (Pour la nécessité de la seconde hypothèse, cf. figure ci-contre.)

Pour le théorème des accroissements finis généralisés, on démontre de même des réciproques analogues<ref>{{Harvsp|Mortici|2011}}.</ref>.

== Fonction d'une variable vectorielle à valeurs réelles ==
Soient <math>\Omega</math> un [[Ouvert (topologie)|ouvert]] d'un [[espace vectoriel normé]] ''E'' (par exemple ''E'' = ℝ{{exp|''n''}}, ce qui inclut le cas ''E'' = ℂ identifié à ℝ{{2}}), <math>x</math> un point de <math>\Omega</math> et <math>h</math> un vecteur non nul de ''E '' tel que <math>[x,x+h]\subset\Omega</math>, et <math>f:\Omega\to\R</math> une fonction continue sur <math>[x,x+h]</math> et [[dérivée directionnelle|différentiable suivant le vecteur ''h'']] sur <math>]x,x+h[</math>. Alors il existe <math>\xi\in]x,x+h[</math> tel que

:<math>f(x+h)-f(x)=D_h f(\xi),</math>

par simple application du théorème des accroissements finis à la fonction composée <math>g: t\in[0,1]\mapsto f(x+th)\in\R.</math>

== Fonction à valeurs vectorielles ==
Pour une telle fonction, il n'existe pas d'analogue du théorème (avec ''égalité'') des accroissements finis, ni même de son cas particulier qu'est le théorème de Rolle (cf. [[Théorème de Rolle#Remarques|§ Remarques]] de l'article sur ce théorème).

À défaut, lorsque l'espace d'arrivée de ''f ''est ℝ{{exp|''n''}}, on peut appliquer le théorème des accroissements finis à chacune des composantes réelles ''f{{ind|k}} ''de la fonction ''f ''= (''f''{{ind|1}}, … , ''f{{ind|n}}''), mais les ''c{{ind|k}} ''que l'on construit ainsi (ou les ξ{{ind|''k''}} comme ci-dessus si la variable est vectorielle) n'ont aucune raison d'être égaux.

On peut cependant établir une inégalité des accroissements finis dans ce cadre.

=== Inégalité des accroissements finis  ===

{{énoncé|Soient {{math|''a ''< ''b''}} deux réels, ''E'' un [[espace localement convexe]] et deux fonctions
<center><math>f:[a,b]\to E\quad\text{et}\quad g:[a,b]\to\R</math></center>
supposées [[Continuité (mathématiques)|continues]] sur {{math|[''a'', ''b'']}} et [[Dérivabilité|dérivables]] sur {{math|]''a'', ''b''[}}.

Si ''{{math|g'}} ''est de signe constant alors, pour tout sous-[[ensemble convexe]] [[Fermé (topologie)|fermé]] ''A ''de ''E ''tel que
<center><math>\forall t\in]a,b[\quad f'(t)\in g'(t)A,</math></center>
on a :
<center><math>f(b)-f(a)\in (g(b)-g(a))A.</math></center>
}}

Lorsque ''{{math|g'}} ''est non seulement de signe constant mais à valeurs non nulles, la conclusion se reformule en :
<center><math>\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\in\overline{\text{Co}}\left(\left\{\frac{f'(t)}{g'(t)},~t\in]a,b[\right\}\right),</math></center>
où « {{math|{{surligner|Co}}}} » désigne l'[[enveloppe convexe fermée]].

En particulier si ''{{math|g}}''(''t'') = ''t'', on obtient<ref>Théorème 2.1 de {{ouvrage|langue=en|auteur=[http://www4.ncsu.edu/~njrose/Special/Bios/MartinR.html Robert H. Martin, Jr.]|titre=Nonlinear Operators and Differential Equations in Banach Spaces|éditeur=[[John Wiley & Sons]]|année=1976|passage=26}}, cité dans {{Ouvrage|langue=en|titre=Measures of Noncompactness in Metric Fixed Point Theory|auteur=J. M. Ayerbe Toledano|auteur2=T. Domínguez Benavides|auteur3=G. López Acedo|collection=Operator Theory: Advances and Applications|numéro dans collection=99|éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]|année=1997|isbn=978-3-76435794-8|url={{Google Livres|H6qptz-yKZcC|page=16}}|page=16}}.</ref> :  ''f''(''b'') – ''f''(''a'') ∈ (''b – a''){{surligner|Co}}({''f<nowiki>'</nowiki>''(''t''), ''t ''∈ [''a'', ''b'']}).

'''Remarques.'''
* Ce théorème est d'autant plus surprenant qu’il n'existe pas de [[théorème de Rolle]] vectoriel, ou, ce qui revient au même, il n’y a pas d'égalité des accroissements finis mais seulement une inégalité, comme en témoigne la fonction définie par {{math|''f''(''t'') {{=}} e{{exp|i''t''}}}} qui satisfait {{formule|''f''(0) {{=}} ''f''(2π)}} alors que sa dérivée ne s'annule pas sur {{math|[0, 2π]}}.
* Il en découle qu’une fonction dérivable dont la dérivée est nulle ne peut être que constante.
* Il se déduit directement de son homologue pour les fonctions à valeurs réelles, en utilisant le [[théorème de Hahn-Banach]]<ref name=KM/> ou sa version géométrique qu'est le [[Séparation des convexes#Théorème de séparation stricte|théorème d'Eidelheit]]<ref name=A/>.
* Sa conclusion reste valide, avec une démonstration identique, sous des hypothèses plus faibles :
** il suffit que ''f<nowiki>'</nowiki>''(''t'') et ''g<nowiki>'</nowiki>''(''t'') existent (et vérifient les propriétés indiquées) pour ''t ''appartenant au [[Complémentaire (théorie des ensembles)|complémentaire]] d'un [[ensemble dénombrable]]<ref name=KM>{{ouvrage|langue=en|titre=The Convenient Setting of Global Analysis|auteur1=Andreas Kriegl|auteur2={{Lien|langue=de|Peter W. Michor}}|éditeur=[[American Mathematical Society|AMS]]|année=1997|isbn=978-0-82180780-4|url={{Google Livres|s7fPYRqhXEUC|page=10}}|page=10}} : <cite lang=en>Mean value theorem</cite>.</ref> ;
** pour ''f'', la continuité et la différentiabilité peuvent être prises au sens [[Topologie faible|faible]]<ref name=A>{{Article|langue=en|titre=L'Hôpital's rule for vector-valued functions|auteur={{Lien|langue=pl|Jerzy Albrycht}}|revue=Colloquium Mathematicum|année=1951|vol=2|numéro=3-4|p.=176-177|url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/cm/cm2/cm2124.pdf}} : <cite lang=en>Cauchy's Mean Value Theorem</cite>.</ref>.

=== Corollaire ===
On en déduit immédiatement le [[corollaire]] suivant (qui se démontre aussi directement<ref>{{Ouvrage|titre=Calcul différentiel et équations différentielles|sous-titre=cours et exercices corrigés|numéro d'édition=2|prénom=Sylvie|nom=Benzoni-Gavage|éditeur=[[Dunod]]|année=2014|url={{Google Livres|TFvVAgAAQBAJ|page=29}}|page=29-31}}.</ref>{{,}}<ref>{{Note autre projet|wikiversité|Calcul différentiel/Différentiabilité#Théorèmes d'égalité et d'inégalité des accroissements finis|« Théorème : Inégalité des accroissements finis pour les fonctions à valeurs vectorielles »|début=}}</ref>{{,}}<ref>La démonstration directe ne nécessite que l'existence de dérivée à droite pour les fonctions {{math|''g''}} et {{math|''f''}} : {{Ouvrage|auteur=[[Jacqueline Lelong-Ferrand]]|auteur2=[[Jean-Marie Arnaudiès]]|titre=Cours de mathématiques|tome=2|titre volume=Analyse|éditeur=Bordas|année=1977|page=132-133}}. On peut de plus supposer seulement que ces dérivées à droite existent (et satisfont l'inégalité) sur le complémentaire d'un ensemble dénombrable : {{Ouvrage|titre=Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 2|auteur=[[Jean-Pierre Ramis]]|auteur2=[[André Warusfel]]|et al.=oui|éditeur=Dunod|année=2014|numéro d'édition=2|url={{Google Livres|FhnpAwAAQBAJ|page=602}}|page=602}}, th. 88.</ref>) :
{{énoncé|Soient {{formule|''a ''< ''b''}} deux réels, ''E'' un [[espace vectoriel normé]] et deux fonctions
<center><math>f:\left[a,b\right]\to E\quad\text{et}\quad g:[a,b]\to\R</math></center>
supposées continues sur {{math|[''a'', ''b'']}} et dérivables sur {{math|]''a'', ''b''[}}.

Si
<center><math>\forall t\in\left]a,b\right[\quad\|f'(t)\|\le g'(t)</math></center>
alors
<center><math>\|f(b)-f(a)\|\le g(b)-g(a).</math></center>
}}

En particulier si, pour une certaine constante {{math|''M''}} (nécessairement positive ou nulle), on a
<center><math>\forall t\in\left]a,b\right[\quad\|f'(t)\|\le M</math></center>
alors
<center><math>\|f(b)-f(a)\|\le M(b-a).</math></center>

=== Fonction d'une variable vectorielle à valeurs vectorielles ===
Le corollaire précédent permet de majorer l'accroissement d'une fonction différentiable si l'on connaît une majoration de sa [[différentielle]]. Plus précisément<ref>{{Harvsp|Benzoni-Gavage|2014|p=31}}.</ref> :
{{énoncé|
Soient ''E ''et ''F ''deux  espaces vectoriels normés réels, ''U ''un [[Ouvert (topologie)|ouvert]] de ''E ''et ''{{math|f}} '': ''U → F ''une application différentiable. Pour tout [[Segment (mathématiques)|segment]] {{math|[''a'',''b'']}} inclus dans ''U'', on a :
<center> <math>\| f(b) - f(a)\|_F\le\left(\sup_{x\in[a,b]} \|f \, {'}(x)\| \right)\|b-a\|_E </math></center>

où, pour  tout point ''{{math|x}} ''de ''U'', {{math|║''f ' ''(''x'')║}} est la [[norme d'opérateur]] de la différentielle de ''{{math|f}} ''au  point ''{{math|x}}.}}

Ce corollaire est une conséquence immédiate du précédent, appliqué à la fonction de la variable réelle <math>[0,1] \to F,\, t \mapsto f\left[(1-t)a+tb\right].</math>

Il n'a bien sûr d'intérêt que si le [[Borne supérieure|{{math|sup}}]] qu'il fait intervenir est fini, c'est-à-dire si la différentielle de ''{{math|f}} ''est bornée  sur {{math|[''a'', ''b'']}}. Cette condition est assurée en particulier si ''{{math|f}} ''est de [[Classe de régularité|classe C{{1}}]] sur ''U''.

Il se généralise à tout ouvert ''U ''[[Connexité (mathématiques)|connexe]] et à toute fonction dont la différentielle est bornée par ''k''. Si {{math|''d{{ind|U}}''(''a'', ''b'')}} est la [[borne inférieure]] des longueurs des [[ligne polygonale|lignes polygonales]] joignant ''{{math|a}} ''à ''{{math|b}} ''et incluses dans ''U'', on a 
<center><math>\|f(b)-f(a)\|_F\le k d_U(a,b).</math></center>

== Application en cinématique ==
[[Fichier:Mouvement parabolique construction vitesse.svg|thumb|upright=0.7|En cinématique, pour déterminer l'orientation de la tangente, on utilise la corde.<br />Il s'écoule {{unité|0.04|s}} entre le relevé de deux points.]]

En [[cinématique]], le [[vecteur vitesse]] d'un point d'un mobile est tangent à la trajectoire de ce point. À partir d'un enregistrement du mouvement (succession de positions relevées à intervalle de temps constant), on peut déterminer la direction du vecteur vitesse au point ''i'' en considérant la corde (M<sub>''i''-1</sub>M<sub>''i''+1</sub>).

En effet, sur un petit intervalle, la pente de la tangente varie peu, donc on estime que la valeur en M<sub>''i''</sub> vérifie le théorème des accroissements finis.
{{Clr}}

== Voir aussi ==
Le [[théorème de la corde universelle]], qui étudie l'existence d'une corde parallèle à la base, au lieu d'une tangente.

==Lien externe==
{{Lien web|titre=Théorème des accroissements finis|url=http://uel.unisciel.fr/mathematiques/analyse2/analyse2_ch02/co/apprendre_ch2_06.html|site=uel.unisciel.fr<!--|consulté le=2018-01-26-->}}

== Notes et références ==
{{Crédit d'auteurs|interne|Inégalité des accroissements finis pour les fonctions à valeurs vectorielles|147356805}}
{{Références}}<br />{{Autres projets
 | commons = Category:Mean value theorem
| wikiversity        = <!-- Il y en a déjà 4 en note-->
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}}

=== Bibliographie ===
* [[Joseph-Louis Lagrange]], « [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k86263h/f62.image Théorie des fonctions analytiques] contenant les principes du calcul différentiel, dégagés de toute considération d'infiniment petits ou d'évanouissants, de limites ou de fluxions et réduits à l'analyse algébrique des quantités finies », ''[[Journal de l'École polytechnique]]'', {{9e|cahier}}, {{tome|III}}, 1797, § 52, {{p.|49}}
* Hélène Gispert-Chambaz, ''[http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/jordan/gispert.pdf Camille Jordan et les fondements de l'analyse]'' {{pdf}}, Publications mathématiques d'Orsay, [[Université de Paris-Sud]], 1982. Selon cet auteur ({{p.|44}}), le premier traité d'analyse présentant une démonstration correcte du théorème des accroissements finis (et identique à la présentation moderne) est celui de [[Ulisse Dini|Dini]], paru en Italie en 1878.

<br />

{{Portail|analyse}}

{{DEFAULTSORT:Theoreme Accroissements finis}}
[[Catégorie:Analyse réelle]]
[[Catégorie:Théorème d'analyse|Accroissements finis]]
[[Catégorie:Augustin Louis Cauchy]]
[[Catégorie:Analyse vectorielle]]
[[Catégorie:Inégalité]]