Voir la source de Théorème du point fixe de Kakutani

{{Confusion|Théorème du point fixe de Markov-Kakutani}}
[[Fichier:Kakutani.gif|vignette|Exemple animé montrant des points x, et leurs images ''φ''(''x'') par la fonction ''φ''. L'animation finit par montrer un point x contenu dans ''φ''(''x'').]]
En [[Analyse (mathématiques)|analyse]] [[mathématique]], le '''théorème du point fixe de Kakutani''' est un [[Théorèmes de point fixe|théorème de point fixe]] qui généralise [[Théorème du point fixe de Brouwer|celui de Brouwer]] à des [[Fonction multivaluée|fonctions à valeurs ensemblistes]]. Il fournit une condition suffisante pour qu'une telle fonction, définie sur un [[Compacité (mathématiques)|compact]] [[Ensemble convexe|convexe]] d'un [[espace euclidien]], possède un [[point fixe]], c'est-à-dire dans ce contexte : un point qui appartient à son [[Image (mathématiques)|image]] par cette fonction.

Ce théorème a été démontré par [[Shizuo Kakutani]] en 1941<ref>
{{article|lang=en|nom=Kakutani|prénom=Shizuo|titre=A generalization of Brouwer’s fixed point theorem|lien périodique=Liste des journaux scientifiques en mathématiques#D|revue=Duke Math. J.|volume=8|p.=457-459|issue=3|year=1941|doi=10.1215/S0012-7094-41-00838-4}}.</ref> et popularisé par [[John Forbes Nash]], qui l'a utilisé dans sa description de l'[[équilibre de Nash]]<ref name=Nash>{{article|lang=en|nom=Nash, Jr.|prénom=J. F.|titre=Equilibrium Points in N-Person Games|revue=[[Proceedings of the National Academy of Sciences|PNAS]]|volume=36|p.=48-49|year=1950|doi = 10.1073/pnas.36.1.48|pmid=16588946|issue=1}}.</ref>. Depuis, il a de nombreuses applications en [[théorie des jeux]] et en [[Sciences économiques|économie]]<ref>{{Ouvrage|lang=en|titre=Fixed Point Theorems with Applications to Economics and Game Theory|prénom=Kim C.|nom=Border|lien éditeur=Cambridge University Press|éditeur=CUP|année=1989|isbn=978-0-521-38808-5|numéro chapitre=15|titre chapitre=Fixed point theorems for correspondences|url={{Google Livres|6MUzEjqNI_EC|page=71}}}}{{commentaire biblio|Référence standard sur la théorie du point fixe pour les économistes. Inclut une preuve du théorème de Kakutani {{p.|71 et s.}}.}}</ref>.

== Énoncé ==
L'énoncé du théorème de Kakutani est le suivant<ref name=Osborne>{{ouvrage|lang=en|nom1=Osborne|prénom1=Martin J.|nom2=[[Ariel Rubinstein]]|titre=A Course in Game Theory|lieu=Cambridge, MA|éditeur=[[MIT]]|année=1994|url={{Google Livres|5ntdaYX4LPkC|page=20}}|passage=20}}.</ref> :

:''Soient S un [[Compacité (mathématiques)|compact]] [[Ensemble convexe|convexe]] non vide d'un [[espace euclidien]] et φ une application de S dans l’''[[Ensemble des parties d'un ensemble#Notation exponentielle|''ensemble'' 2<sup>''S</sup> des parties de S'']]. ''Si le graphe de φ est [[Fermé (topologie)|fermé]] dans'' [[Topologie produit|''S''×''S'']] ''et si, pour tout point x de S, φ''(''x'') ''est un convexe non vide, alors φ possède un [[point fixe]].''
Dans cet énoncé, par définition :
* le graphe de ''φ'' est l'ensemble des couples (''x'', ''y'') de ''S''×''S'' tels que ''y'' ∈ ''φ''(''x'') ;
* un point fixe de ''φ'' est un élément ''x'' de ''S'' tel que ''x'' ∈ ''φ''(''x'').

== Énoncé équivalent ==
Certaines sources, dont l'article original de Kakutani, font intervenir la notion d'[[hémicontinuité]] supérieure, définie par<ref name=Dugundji>{{ouvrage|lang=en|auteur=[[James Dugundji]]|auteur2=Andrzej Granas|titre=Fixed Point Theory|année=2003|éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]|isbn=978-0-38700173-9|url={{Google Livres|4_iJAoLSq3cC|page=169}}|numéro chapitre=II, § 7}}{{commentaire biblio SRL|Traitement mathématique complet et de haut niveau de la théorie du point fixe, incluant les analogues en dimension infinie du théorème de Kakutani.}}</ref> :

:Une application ''φ : X'' → 2<sup>''Y''</sup> est hémicontinue supérieurement si pour tout [[Ouvert (topologie)|ouvert]] ''W'' de ''Y'', l'ensemble des points ''x'' pour lesquels ''φ''(''x'') est inclus dans ''W'' est un ouvert de ''X''.

Le théorème peut alors se reformuler en :
:''Soient S un compact convexe non vide d'un espace euclidien et φ : S'' → 2<sup>''S</sup> une application hémicontinue supérieurement. Si, pour tout point x de S, φ''(''x'') ''est un convexe fermé non vide, alors φ possède un point fixe.''
Cette variante est équivalente à l'énoncé précédent car, d'après le [[Hémicontinuité#Théorème du graphe fermé|théorème du graphe fermé pour les fonctions à valeurs ensemblistes]], pour tout compact ''Y'', le graphe d'une application ''φ : X'' → 2<sup>''Y''</sup> est fermé si et seulement si ''φ'' est hémicontinue supérieurement et tous les ''φ''(''x'') sont fermés.

== Exemple et contre-exemples ==
Le compact convexe ''S'' considéré est ici l'[[Intervalle (mathématiques)|intervalle]] [0, 1].
=== Exemple ===
L'application ''φ'' définie par ''φ''(''x'') = [1 – ''x''/2, 1 – ''x''/4] vérifie les hypothèses du théorème, donc doit posséder des points fixes. On peut le vérifier par résolution directe : {{nobr|1 – ''x''/2 ≤ ''x'' ≤ 1 – ''x''/4}} équivaut à {{nobr|2/3 ≤ ''x'' ≤ 4/5.}}
 
[[Image:Kakutani non.svg|vignette|Une [[fonction multivaluée]] sans point fixe]]
=== Contre-exemple sur le cas non convexe ===
L'hypothèse que les ''φ''(''x'') sont convexes est essentielle dans ce théorème : soit ''φ'' définie par
:<math>\varphi(x)=\begin{cases}\{3/4\}&\text{si}\quad0\le x<1/2\\\{3/4,1/4\}&\text{si}\quad x=1/2\\\{1/4\}&\text{si}\quad1/2< x\le1.\end{cases}</math>
Cette fonction n'a aucun point fixe. Elle vérifie toutes les hypothèses du théorème, sauf la convexité de ''φ''(1/2).

=== Contre-exemple sur le cas non fermé ===

L'application ''φ'' définie par ''φ''(''x'') = [''x''/3, 2''x''/3] si ''x'' > 0 et ''φ''(0) = ]0, 1] n'a pas de point fixe. Elle est hémicontinue supérieurement et à valeurs convexes non vides mais son graphe n'est pas fermé car ''φ''(0) ne l'est pas.

== Applications ==
<!--{{voir|Économathématiques}} : indigent en l'état, oct 2013-->

=== Théorie des jeux ===
Le mathématicien [[John Forbes Nash]] a utilisé le théorème du point fixe de Kakutani pour démontrer un théorème majeur de la [[théorie des jeux]]<ref name=Nash/>, dont une conséquence est l'existence d'un [[équilibre de Nash]] dans tout jeu infini à [[Jeu sous forme normale#Stratégies mixtes en forme normale|stratégies mixtes]], quel que soit le nombre ''n'' de joueurs. Ce travail lui a valu un « [[prix Nobel d'économie]] ».

Dans ce cas ''S'' est l'ensemble des [[n-uplet|''n''-uplets]] des stratégies que les ''n'' joueurs peuvent choisir et ''φ''(''x'') est l'ensemble des ''n''-uplets de stratégies optimales (non nécessairement uniques) pour chaque joueur, en réponse au choix des autres joueurs dans la stratégie mixte ''x''. L'équilibre de Nash d'un jeu est un point fixe de ''φ'', i.e. un ''n''-uplet de stratégies dont chaque composante est une réponse optimale du joueur correspondant au choix des autres composantes par les autres joueurs. Le théorème de Kakutani assure l'existence d'un tel point fixe.

=== Équilibre général ===
En théorie économique de l'[[équilibre général]], le théorème de Kakutani a été utilisé pour démontrer l'existence de prix qui mettent en adéquation [[offre et demande]] dans tous les marchés d'une économie<ref>
{{ouvrage|lang=en|auteur={{Lien|Ross Starr|texte=Ross M. Starr}}|titre=General Equilibrium Theory|année=1997|éditeur=CUP|url={{Google Livres|Lv3VtS9CcAoC}}|isbn=9780521564731}}.</ref>. La question de l'existence de tels prix remontait au moins à [[Léon Walras]]. La première preuve en fut apportée par [[Lionel McKenzie]].
Le théorème de Kakutani est un fondement essentiel de la « théorie de la valeur » de [[Gérard Debreu]] (économiste franco-américain dont les travaux ont été récompensés par le « [[prix Nobel d'économie]] »).

Dans ce cas, ''S'' est l'ensemble des ''n''-uplets des prix de marchandises. La fonction ''φ'' est choisie de telle sorte que le résultat ''φ''(''x'') diffère de l'argument ''x'' dès que le ''n''-uplet ''x'' de prix n'égalise pas l'offre et demande partout. Le défi est ici de construire une application ''φ'' vérifiant à la fois cette propriété et les hypothèses du théorème de Kakutani. Un tel ''φ'', s'il existe, possèdera alors un point fixe qui, par construction, égalisera partout l'offre avec la demande.

== Plan de la preuve ==
(Pour une autre preuve, voir section suivante.)
=== Cas d'un segment ===
La preuve est bien plus simple lorsque ''S'' est un [[Intervalle (mathématiques)|segment]] de la droite réelle, mais ce cas particulier est instructif car sa stratégie générale s'adapte aux dimensions supérieures.

Soit ''φ'' : [0, 1] → 2<sup>[0, 1]</sup> une application vérifiant les hypothèses du théorème.
* Première étape. On construit dans [0, 1] deux [[suites adjacentes]] (''a{{ind|i}}''), (''b{{ind|i}}'') (''i'' = 0, 1, …) telles que ''b{{ind|i}} – a{{ind|i}}'' ≤ 2<sup>–''i''</sup> et telles qu'il existe ''p{{ind|i}}'' ∈ ''φ''(''a{{ind|i}}'') et ''q{{ind|i}}'' ∈ ''φ''(''b{{ind|i}}'') vérifiant : ''p{{ind|i}} ≥ a{{ind|i}}'' et ''q{{ind|i}} ≤ b{{ind|i}}''. Cette construction s'effectue par [[raisonnement par récurrence|récurrence]]. On pose ''a''{{ind|0}} = 0, ''b''{{ind|0}} = 1, ''p''{{ind|0}} = n'importe quel point de ''φ''(0) et ''q''{{ind|0}} = n'importe quel point de ''φ''(1). Puis, supposant ''a{{ind|k}}, b{{ind|k}}, p{{ind|k}}, q{{ind|k}}'' déjà construits, on pose {{nobr|1=''m'' = (''a{{ind|k}} + b{{ind|k}}'') / 2}}.
** S'il existe un ''r ∈ φ''(''m'') tel que ''r ≥ m'', on peut choisir
*** <math>a_{k+1}=m,~b_{k+1}=b_k,~p_{k+1}=r,~q_{k+1}=q_k.</math>
** Sinon, comme ''φ''(''m'') est non vide, il existe nécessairement un ''s'' ∈ ''φ''(''m'') tel que ''s ≤ m''. Dans ce cas, on choisit
*** <math>a_{k+1}=a_k,~b_{k+1}=m,~p_{k+1}=p_k,~q_{k+1}=s.</math>
* Seconde étape. On se concentre sur une [[valeur d'adhérence]] (''a, b, p, q'') de cette suite de quadruplets (''a{{ind|i}}, b{{ind|i}}, p{{ind|i}}, q{{ind|i}}'') (il en existe, d'après le sens direct du [[théorème de Bolzano-Weierstrass]], appliqué au [[théorème de Borel-Lebesgue|compact [0, 1]{{4}}]]). Par construction, on a ''q ≤ b = a ≤ p''. De plus ([[#Énoncé|comme le graphe de ''φ'' est fermé]]), ''p'' ∈ ''φ''(''a'') et ''q'' ∈ ''φ''(''b''). En notant ''x'' l'élément ''a = b'' on peut résumer ainsi la situation :
:<math>q,p\in\varphi(x)\quad\text{et}\quad q\le x\le p.</math>
Par convexité de ''φ''(''x''), on en déduit que ''x'' appartient à ''φ''(''x''), c'est-à-dire que ''x'' est un point fixe de ''φ''.

=== Cas d'un simplexe ===
En dimension ''n'' > 1, la méthode est essentiellement la même si ''S'' est un ''n''-[[simplexe]]. La seule adaptation réside dans la première étape :
* au lieu de couper en deux un intervalle par son milieu comme en dimension 1, on utilise une {{Lien|langue=en|trad=Barycentric subdivision|fr=subdivison barycentrique}} pour découper le simplexe en sous-simplexes plus petits.
* au lieu des arguments élémentaires qui permettaient, en dimension 1, de choisir l'un des demi-intervalles de telle façon que les extrémités forment deux suites l'une croissante et l'autre décroissante, en dimension supérieure c'est le [[lemme de Sperner]]<ref>{{ouvrage|lang=en|url=http://www.math.hmc.edu/seniorthesis/archives/2008/msondjaja/msondjaja-2008-thesis.pdf|titre=Sperner’s Lemma Implies Kakutani's Fixed Point Theorem|prénom=Mutiara|nom1=Sondjaja|lieu=[[Claremont (Californie)|Claremont]]|année=2008|éditeur=[[Claremont Colleges|Harvey Mud College]], Thesis}}.</ref> qui va garantir l'existence d'un sous-simplexe approprié.

=== Cas général ===
Si ''S'' (non vide) est un compact [[dimension d'un convexe|convexe de dimension ''n'']] d'un espace euclidien, [[Sans perte de généralité|on peut toujours supposer]] que la [[Dimension d'un espace affine|dimension de l'espace]] est aussi ''n'' et que 0 est [[Intérieur (topologie)|intérieur]] à ''S''. On choisit alors un ''n''-simplexe ''S’ '' contenant ''S'', et on étend l'application ''φ : S'' → 2<sup>''S''</sup> en une application ''φ’ : S’'' → 2<sup>''S’''</sup>, en choisissant ''φ’'' radialement constante sur le complémentaire de l'intérieur de ''S''. Alors, si (''S, φ'') vérifiait les hypothèses du théorème de Kakutani, (''S’, φ’ '') les vérifiera aussi, donc (d'après le cas précédent appliqué au simplexe ''S’ '') ''φ’ '' possèdera un point fixe ''x'' ∈ ''φ’ ''(''x''). Mais comme toutes les images par ''φ’'' sont incluses dans ''S'', ''x'' appartient alors à ''S'', donc ''φ’ ''(''x'') = ''φ''(''x'') et ''x'' est un point fixe pour ''φ''.

== Généralisations en dimension infinie ==
Le théorème du point fixe de Kakutani a été étendu aux [[Espace localement convexe|espaces localement convexes]] [[Espace séparé|séparés]] de dimension infinie par [[Ky Fan]]<ref>
{{article|lang=en|nom=Fan|prénom=Ky|titre=Fixed-point and Minimax Theorems in Locally Convex Topological Linear Spaces|revue=PNAS|volume =38|issue=2|p.=121-126|year=1952|doi=10.1073/pnas.38.2.121|pmid = 16589065}}.</ref> et Irving Glicksberg<ref>{{article|lang=en|url=http://www.ams.org/journals/proc/1952-003-01/S0002-9939-1952-0046638-5/S0002-9939-1952-0046638-5.pdf|titre=A further generalization of the Kakutani fixed point theorem with application to Nash equilibrium points|prénom=I. L.|nom=Glicksberg|revue=[[Proceedings of the American Mathematical Society|Proc. Amer. Math. Soc.]]|volume=3|issue=1|year=1952|p.=170-174}}.</ref>.

Le théorème de Kakutani-Fan-Glicksberg peut s'énoncer ainsi<ref name=Dugundji/> :
:''Soient S un convexe compact non vide d'un espace localement convexe séparé et φ : S'' → 2<sup>''S</sup> une application hémicontinue supérieurement. Si, pour tout point x de S, φ''(''x'') ''est un convexe fermé non vide, alors φ possède un point fixe.''

C'est une généralisation aux fonctions multivaluées du [[théorème du point fixe de Tychonoff]] selon lequel, pour tout convexe compact non vide ''S'' d'un espace localement convexe séparé, toute application [[continue]] de ''S'' dans ''S'' possède un point fixe. Le cas des fonctions multivaluées peut, comme celui des applications, se déduire du [[théorème du point fixe de Brouwer]] :

{{Démonstration|Pour tout [[Voisinage (mathématiques)|voisinage]] convexe ''V'' de 0, [[Théorème de sélection approchée#Théorème de Repovš-Semenov-Ščepin|un théorème de sélection approchée]] fournit un [[sous-espace vectoriel]] ''G{{ind|V}}'' [[Topologie d'un espace vectoriel de dimension finie|de dimension finie]] et une application continue ''f{{ind|V}}'' : ''S'' → ''S''∩''G{{ind|V}}'' telle que pour tout point ''z'' de ''S'', (''z'', ''f{{ind|V}}''(''z'')) appartienne à Gr(φ)+(''V''×''V''). Le théorème du point fixe de Brouwer prouve l'existence dans ''S''∩''G{{ind|V}}'' d'un point ''x{{ind|V}}'' fixe par ''f{{ind|V}}''. Soit ''x'' une [[valeur d'adhérence]] dans ''S'' de la [[suite généralisée]] (''x{{ind|V}}''). Le couple (''x'', ''x'') est alors [[Point adhérent|adhérent]] au graphe de φ donc lui appartient, puisque ce graphe est fermé. Par conséquent, ''x'' est un point fixe de φ.}}

De même que dans le cas euclidien, une formulation équivalente est<ref name=Aliprantis>{{ouvrage|lang=en|auteur=[[Charalambos D. Aliprantis]]|auteur2=Kim C. Border|titre=Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide|année première édition=1999|year=2007|éditeur=Springer|numéro d'édition=3|url={{Google Livres|<!--4hIq6ExH7NoC--><!--4vyXtR3vUhoC-->4vyXtR3vUhoC|page=583}}|page=583}}.</ref> :
:''Soient S un convexe compact non vide d'un espace localement convexe séparé et φ une application de S'' dans 2<sup>''S</sup>. Si le graphe de φ est fermé et si, pour tout point x de S, φ''(''x'') ''est un convexe non vide, alors l'ensemble (compact) des points fixes de φ est non vide.''

ou encore :
:''Soient S un convexe compact non vide d'un espace localement convexe séparé E et φ : S'' → 2<sup>''E</sup> une application hémicontinue supérieurement. Si, pour tout point x de S, φ''(''x'') ''est un convexe fermé [[Ensembles disjoints|rencontrant]] S, alors φ possède un point fixe<ref>Le théorème 4 de {{Article|lang=en|lien auteur=Felix Browder|first=Felix E.|nom=Browder|titre=The fixed-point theory of multi-valued mappings in topological vector spaces|lien périodique=Mathematische Annalen|revue=Math. Ann.|vol=177|year=1968|p.=283-301|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/en/dms/loader/img/?PPN=PPN235181684_0177&DMDID=DMDLOG_0071}} fournit la même conclusion sous des hypothèses plus faibles et sa preuve — contrairement à celles de Fan et de Glicksberg — ne s'appuie pas sur le théorème de Kakutani, qui devient alors un [[corollaire]].</ref>.''

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Kakutani fixed-point theorem|461266141|type=note}}
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Groupe compact]]
* [[Théorème du minimax de von Neumann]]
* [[Modèle Arrow-Debreu]]

=== Bibliographie ===
* {{ouvrage|lang=en|nom1=Arrow|prénom1=Kenneth J.|lien auteur=Kenneth Arrow|prénom2=F. H.|nom2=Hahn|lien auteur2=Frank Horace Hahn|titre=General Competitive Analysis|année=1971|éditeur=Holden-Day}}{{commentaire biblio|Référence standard sur la théorie de l'[[équilibre général]]. Le chapitre 5 utilise le théorème de Kakutani pour prouver l'existence de prix d'équilibre. L'appendice C inclut une preuve du théorème de Kakutani et discute de ses relations avec d'autres résultats mathématiques utilisés en économie.}}
* {{Article|lang=en|first=Felix E.|nom=Browder|titre=On a sharpened form of the Schauder fixed-point theorem|revue=PNAS|vol=74|issue=11|mois=11|year=1977|p.=4749-4751|url=http://www.pnas.org/content/74/11/4749.full.pdf}}
* {{Ouvrage|lang=en|prénom=Efe A.|nom=Ok|titre=Real Analysis with Economics Applications|page=331|url={{Google Livres|f2V7ppFuE7oC|page=331}}|année=2007|éditeur=[[Princeton University Press]]|isbn=978-0-691-11768-3|titre chapitre=[https://files.nyu.edu/eo1/public/Book-PDF/chapterE.pdf Continuity II] – Kakutani's Fixed Point Theorem|numéro chapitre=E.5.1}} et {{Lire en ligne|url={{Google Livres|f2V7ppFuE7oC|page=623}}}}, chap. J.3.1 (« [https://files.nyu.edu/eo1/public/Book-PDF/chapterJ.pdf Normed Linear Spaces] – The Glicksberg-Fan Fixed Point Theorem »), {{p.|623}}
* {{Article|lang=en|titre=Fixed points and selections of set-valued maps on spaces with convexity|first=Peter|nom=Saveliev|url=http://users.marshall.edu/~saveliev/research/FPT/fps.pdf|lien périodique=Liste des journaux scientifiques en mathématiques#I|revue=Internat. J. Math. & Math. Sci.|vol=24|year=2000|issue=9|p.=595-612}}
<!--* {{MneimnéTestard}} je ne l'ai pas sous la main : si qqn le juge pertinent ici, qu'il le démasque-->

=== Lien externe ===
{{Lien web|langue=en|titre=Fixed Point Theorems|auteur=John Hillas|site=[[Université d'Auckland]]|url=http://homes.eco.auckland.ac.nz/jhil044/public_html/econ781/fpb_01.pdf}}

{{Portail|mathématiques}}

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