Voir la source de Transformation de Mellin

{{Voir homonymes|Mellin}}
En [[mathématiques]], la '''transformation de Mellin''' est une [[Opérateur intégral|transformation intégrale]] qui peut être considérée comme la version {{Lien|trad=Multiplicative group|groupe multiplicatif|texte=multiplicative}} de la [[transformation de Laplace bilatérale]]. Cette transformation intégrale est fortement reliée à la théorie des [[Série de Dirichlet|séries de Dirichlet]], et est souvent utilisée en [[théorie des nombres]] et dans la théorie des [[Développement asymptotique|développements asymptotiques]] ; elle est également fortement reliée à la [[transformation de Laplace]], à la [[transformation de Fourier]], à la théorie de la [[fonction gamma]] et aux [[fonction spéciale|fonctions spéciales]].

La transformation de Mellin a été nommée ainsi en l'honneur du [[mathématicien]] [[Finlande|finlandais]] {{Lien|Hjalmar Mellin}}.

== Définition ==
La '''transformée de Mellin''' d'une fonction {{mvar|f}} définie et continue par morceaux sur <math>\left]0,+\infty\right[</math> est la fonction notée <math>\mathcal M_f</math> ou <math>\mathcal M\left\{f(x)\right\}</math> et définie par l'[[intégrale généralisée]] :

<center><math>\mathcal M_f(s)=\int_0^{\infty} x^{s-1}f(x)\,\mathrm dx</math>.</center>

Une condition suffisante d'existence de la transformée est donnée par le résultat suivant<ref name=Cohen107>{{Ouvrage|lang=en|auteur=[[Henri Cohen (mathématicien)|Henri Cohen]]|titre=Number Theory|vol=II|titre volume=Analytic and Modern Tools|collection=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]]|numéro dans collection=240|éditeur=Springer|year=2007|url={{Google Livres|5Lp-tGZR25sC|page=107}}|page=107}}.</ref> :
{{théorème|On suppose que :
*{{mvar|f}} est continue sur <math>\left]0,+\infty\right[</math> ;
* pour un nombre réel <math>\alpha,\qquad f(x)=O(x^{-\alpha})</math> quand <math>x \to 0</math> ;
* <math>\forall\beta\in\R_+\,  f(x)=O(x^{-\beta})</math> quand <math>x\to+\infty</math> ({{mvar|f}}&nbsp; tend vers 0 plus vite que toute puissance (négative) de {{mvar|x}} quand <math>x\to+\infty</math>).
Alors l'[[intégrale généralisée]] <math>\int_0^{\infty}x^{s-1}f(x)\,\mathrm dx</math> converge absolument pour {{math|Re (''s'') > α}} et définit une fonction holomorphe sur le demi-plan {{math|Re (''s'') > α}}.
|style=display:table}}

Plus généralement, si
*{{mvar|f}} est continue sur <math>\left]0,+\infty\right[</math> ;
* pour des nombres réels {{math|α < β}},
**<math> f(x)=O(x^{-\alpha})</math> quand <math>x \to 0</math> et
**<math>f(x)=O(x^{-\beta})</math> quand <math>x\to+\infty</math>,
alors l'intégrale généralisée <math>\int_0^{\infty} x^{s-1}f(x)\,\mathrm dx</math> converge absolument pour {{math|α < Re (''s'') < β }} et définit une fonction holomorphe sur la bande {{math|α < Re (''s'') < β}}.

== Exemples ==
*La transformée d'une [[distribution de Dirac]] <math>\delta(x-a)</math>, avec ''a'' > 0, est une fonction exponentielle <math>s \mapsto a^{s-1}</math>.
*La transformée de Mellin de la fonction <math>f\,:\,x\mapsto\mathrm H(a-x)</math>, avec {{math|''a'' > 0}}, est la fonction <math>s \mapsto \frac{a^{s}}{s}</math>  sur le demi-plan {{math|Re (''s'') > 0}}<br>(où {{math|H}} est la [[fonction de Heaviside]], {{math|1=''f'' (''x'') = 1}} si {{math|0 < ''x'' < ''a''}} et {{math|1=''f'' (''x'') = 0}} si {{math|''x'' > ''a''}}).
*La transformée de Mellin de la fonction <math>x\mapsto\mathrm e^{-ax}</math>, avec {{math|''a'' > 0}}, est la fonction <math>s\mapsto\frac{\Gamma(s)}{a^s}</math> sur le demi-plan {{math|Re (''s'') > 0}}<br>(<math>\Gamma</math> est la [[fonction gamma|fonction gamma d'Euler]]).
*La transformée de Mellin de la fonction <math>\mathrm e^{-x^2}</math> est la fonction <math>s\mapsto\frac{\Gamma(s/2)}2</math> sur le demi-plan {{math|Re (''s'') > 0}}.
*La transformée de Mellin de la fonction <math>\sin</math> est la fonction <math>s\mapsto{\Gamma(s)}\sin\left(\frac{\pi s}2\right)</math> sur la bande {{math|–1 < Re (''s'') < 1}}<br>(l'intégrale généralisée est semi-convergente si {{math|Re (''s'') ≥ 0}}).
*La transformée de Mellin de la fonction <math>\cos</math> est la fonction <math>s\mapsto{\Gamma(s)}\cos\left(\frac{\pi s}2\right)</math> sur la bande {{math|0 < Re (''s'') < 1}}<br>(l'intégrale généralisée est semi-convergente).
*La transformée de Mellin de la fonction <math>x\mapsto \frac1{1+x}</math> est la fonction <math>s\mapsto \frac{\pi}{\sin(\pi s)}</math> sur la bande {{math|0 < Re (''s'') < 1}}<ref name=Cohen150>{{Harvsp|Cohen|2007|p=150}}.</ref>.
*[[Formule des compléments|Plus généralement]], la transformée de Mellin de la fonction <math>x\mapsto\frac1{(1+x)^a}</math> est la fonction <math>s\mapsto\Beta(s,a-s)</math> sur la bande {{math|0 < Re (''s'') < Re (''a'')}}<br>(<math>\Beta(x,y)=\frac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}</math> est la [[fonction bêta]]).
*La transformée de Mellin de la fonction <math>x\mapsto\frac1{1+x^2}</math> est la fonction <math>s\mapsto \frac{\pi/2}{\sin(\pi s/2)}</math> sur la bande {{math|0 < Re (''s'') < 2}}<ref name=Cohen145>{{Harvsp|Cohen|2007|p=145}}.</ref>.
*La transformée de Mellin de la fonction <math>x\mapsto\ln (1+x)</math> est la fonction <math>s\mapsto\frac{\pi}{s\sin(\pi s)}</math> sur la bande {{math|–1 < Re (''s'') < 0}}<ref name=Cohen150/>.
*La transformée de Mellin de la fonction <math>x\mapsto\frac1{\mathrm e^x-1}</math> est la fonction <math>s\mapsto\Gamma(s)\zeta(s)</math> sur le demi-plan {{math|Re (''s'') > 1}}<br>(<math>\zeta</math> est la [[fonction zêta de Riemann]]).

== Transformation de Mellin inverse ==
La transformation inverse est
<center><math>\mathcal M^{-1}\left\{\varphi\right\}(x)=\frac1{2\pi\mathrm i}\int_{c-\mathrm i\infty}^{c+\mathrm i\infty}x^{-s}\varphi(s)\,\mathrm ds</math>.</center>

La notation suppose que c'est une [[intégrale curviligne]] s'appliquant sur une droite verticale dans le plan complexe.
{{théorème|On suppose que<ref name=Cohen107/> :
*{{mvar|f}} est continue sur <math>\left]0,+\infty\right[</math> ;
* pour un nombre réel <math>\alpha,\qquad f(x)=O(x^{-\alpha})</math> quand <math>x \to 0</math> ;
* <math>\forall \beta \in \R_+\,  f(x)=O(x^{-\beta})</math> quand <math>x\to+\infty</math> ({{mvar|f}}&nbsp; tend vers 0 plus vite que toute puissance (négative) de {{mvar|x}} quand <math>x\to+\infty</math>).

On a la formule d'inversion de Mellin valide pour tout <math>c>\alpha</math> et tout {{math|''x'' > 0}} :
<center><math>f(x)=\mathcal M^{-1}\left\{\mathcal M_f\right\}(x)=\frac1{2\pi\mathrm i}\int_{c-\mathrm i\infty}^{c+\mathrm i\infty}x^{-s}\mathcal M_f(s)\,\mathrm ds</math>.</center>
|style=display:table}}

==Relations avec les autres transformations==
=== Avec la transformation de Laplace bilatérale ===
La [[transformation bilatérale de Laplace]] (<math>\mathcal B\{f\}(s)=\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm e^{-st} f(t)\,\mathrm dt</math>) peut être définie en termes de transformation de Mellin par
:<math> \mathcal B\left\{f\right\}(s)=\mathcal M\left\{f(-\ln x)\right\}(s)</math>.

Inversement, on peut obtenir la transformation de Mellin à partir de la transformation de Laplace bilatérale par
:<math>\mathcal M_f(s)=\mathcal B\left\{f(\mathrm e^{-x})\right\}(s)</math>.

La transformation de Mellin peut être vue comme une intégration utilisant un noyau {{mvar|x<sup>s</sup>}} qui respecte la [[mesure de Haar]] multiplicative, 
<math>\frac{\mathrm dx}x</math>, qui est invariante sous la dilatation <math>x\mapsto ax</math>, c'est-à-dire <math>\frac{\mathrm d(ax)}{ax}=\frac{\mathrm dx}x</math>.

La transformation de Laplace bilatérale intègre en respectant la mesure de Haar additive <math>\mathrm dx</math>, qui est invariante par translation, c'est-à-dire <math>\mathrm d(x+a)=\mathrm dx</math>.

=== Avec la transformation de Fourier ===
On peut aussi définir la [[transformation de Fourier]] en termes de transformation de Mellin et vice-versa ; si nous définissons la transformation de Fourier comme ci-dessus, alors
:<math>\mathcal Ff(s)=\mathcal Bf(\mathrm is)=\mathcal M\left\{f(-\ln x)\right\}(\mathrm is)</math>.

On peut aussi inverser le processus et obtenir
:<math>\mathcal M_f(s)=\mathcal B\left\{f(\mathrm e^{-x})\right\}(s)=\mathcal F\left\{f(\mathrm e^{-x})\right\}(-\mathrm is)</math>.

La transformation de Mellin est aussi reliée aux [[Différence finie#Séries de Newton|séries de Newton]] ou aux [[transformation binomiale|transformations binomiales]] avec la [[fonction génératrice]] de la [[loi de Poisson]], au moyen du [[Méthode de Rice|cycle de Poisson-Mellin-Newton]].

==Intégrale de Cahen-Mellin==
Pour <math>c>0</math>, <math>\Re(y)>0</math> et <math>y^{-s}</math> sur la [[branche principale (mathématiques)|branche principale]], on a

:<math>\mathrm e^{-y}=\frac1{2\pi\mathrm i}\int_{c-\mathrm i\infty}^{c+\mathrm i\infty}\Gamma(s) y^{-s}\;\mathrm ds</math>.

Cette intégrale est connue sous le nom d'intégrale de [[Eugène Cahen|Cahen]]-Mellin<ref name="Hard16">{{en}} [[G. H. Hardy]] et [[John Edensor Littlewood|J. E. Littlewood]], « [http://www.ift.uni.wroc.pl/~mwolf/Hardy_Littlewood%20zeta.pdf Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes] », ''[[Acta Mathematica]]'', vol. 41, 1916, p. 119-196 (voir les notes dans cet article pour plus de références sur le travail de Cahen et Mellin, dont la thèse de Cahen).</ref>.

==Applications==
* La [[formule de Perron]] décrit la transformation de Mellin inverse appliquée aux [[Série de Dirichlet|séries de Dirichlet]].
* La transformation de Mellin est utilisée dans certaines preuves de la [[fonction de compte des nombres premiers]] et apparaît dans les discussions de la [[fonction zêta de Riemann]].
* La transformation de Mellin inverse apparaît communément dans la [[moyenne de Riesz]].
*On utilise souvent les transformées de Mellin pour le calcul analytique de toute une variété de sommes de réseaux, qui s'expriment sous forme de diverses fonctions spéciales comme les [[Fonction thêta#Fonction thêta de Jacobi|fonctions thêta de Jacobi]] ou la [[fonction zêta de Riemann]]<ref>{{Article|lang=en|auteur=M. L. Glasser|titre=The evaluation of lattice sums. I. Analytic procedures|revue=[[Journal of Mathematical Physics|J. Math. Phys.]]|vol=14|issue=3|year=1973|p.=409-413}}.</ref>.

==Notes et références==
{{Traduction/Référence|en|Mellin transform|65363659|type=n}}
{{Références}}

==Voir aussi==
===Articles connexes===
*[[Fonction de Bickley-Naylor]]
*[[Master theorem de Ramanujan|{{Lang|en|''Master theorem''}}]] de [[Srinivasa Ramanujan|Ramanujan]]
===Bibliographie===
*{{Ouvrage|lang=en|auteur=R. B. Paris|auteur2=D. Kaminsky|titre=Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals|éditeur=[[Cambridge University Press]]|year=2001|url={{Google Livres|LtOfHnClUSEC}}}}
*{{Ouvrage|lang=en|auteur={{Lien|Andrei Polyanin|texte=A. D. Polyanin}}|auteur2=A. V. Manzhirov|titre=Handbook of Integral Equations|éditeur=[[CRC Press]]|numéro d'édition=2|année première édition=1998|year=2008|isbn=978-0-2038-8105-7|url={{Google Livres|M4JjK9OvVqkC|page=510}}}}
===Liens externes===
*{{Lien web|lang=en|url=http://eqworld.ipmnet.ru/en/auxiliary/aux-inttrans.htm|titre=Tables of Integral Transforms|site=EqWorld: The World of Mathematical Equations}}
*{{MathWorld|nom_url=MellinTransform|titre=Mellin Transform}}

{{Portail|analyse}}

{{DEFAULTSORT:Transformation Mellin}}
[[Catégorie:Transformée|Mellin]]
[[Catégorie:Analyse complexe]]