Voir la source de Triplet pythagoricien

[[File:Pythagorean theorem - Ani.gif|thumb|Animation démontrant le plus simple triplet pythgoricien : 3<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;4<sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;5<sup>2</sup>.]]
En [[arithmétique]], un '''triplet pythagoricien''' est un [[n-uplet|triplet]] (''x'', ''y'', ''z'') d'[[entier naturel|entiers naturels]] non nuls vérifiant la [[Théorème de Pythagore|relation de Pythagore]] : ''x''{{2}} + ''y''{{2}} = ''z''{{2}}.

==Historique==

La plus ancienne trace découverte de la connaissance de triplets pythagoriciens remonte à la tablette [[Plimpton 322]]<ref>{{lien web|url=http://www.univ-irem.fr/spip.php?article1265|titre=Tablette Plimpton 322|site=Le Portail des [[IREM]]}}</ref>, un document écrit vers [[-1800|1800 {{av JC}}]] dans l'ancien [[Irak]], qui fait apparaître 15 couples de nombres qui peuvent être complétés pour former des triplets pythagoriciens.

== Cas général ==
Il existe une méthode pour générer l'ensemble des triplets pythagoriciens. 
Le triplet {{math| (''x'', ''y'', ''z'')}} est pythagoricien si et seulement il existe deux entiers {{math| 0 < ''p'' < ''q''}} tels que 
:<math> \frac xz = \frac{q^2-p^2}{q^2+p^2}</math> et <math>\frac yz= \frac{2pq}{q^2+p^2}</math>
Une démonstration algébrique grâce à une paramétrisation du cercle unité est souvent présentée<ref>Voir par exemple, Pierre Guillot, ''Cours de mathématiques L1'', TheBookEdition, [https://books.google.fr/books?id=Khc9lisTJiYC&pg=PA229#v=onepage&q&f=false p. 229]</ref>.
{{Démonstration|contenu=
Il est possible de paramétriser le cercle unité d'équation {{math|''u''² + ''v''² {{=}} 1}}, privé du point ''A'' (-1 , 0), à l'aide de la pente {{math|''t''}} de la droite  passant par A et rencontrant le cercle en ''M ''{{math|(''u'', ''v'')}}. Les coordonnées de ''M'' sont alors :
: <math> u=\frac{1-t^2}{1+t^2}</math> et <math> v=\frac{2t}{1+t^2}</math>
En effet, la pente de (AM) étant {{math|''t''}},  on a {{math|''v'' {{=}} ''t''(''u'' + 1)}} et l'équation du cercle s'écrit alors 
:<math> u^2-1 + t^2(u+1)^2=0</math>
puis, après simplification par {{math|''u'' + 1}}, non nul, et regroupement des termes on obtient :
:<math> u=\frac{1-t^2}{1+t^2}</math> puis <math> v=\frac{2t}{1+t^2}</math>
Un triplet {{math| (''x'', ''y'', ''z'')}} d'entiers strictement positifs est pythagoricien si et seulement le point M de coordonnées {{math|(''x''/''z'', ''y''/''z'')}} est un point du cercle unité de coordonnées rationnelles strictement positives.  Cela se traduit par les conditions:
:<math> \frac xz = u=\frac{1-t^2}{1+t^2}</math> et <math>\frac yz= v=\frac{2t}{1+t^2}</math>
où {{math|''t''}} , pente de la droite (AM), est un rationnel {{math|''p/q''}} strictement compris entre 0 et 1.

Le triplet {{math| (''x'', ''y'', ''z'')}} est pythagoricien si et seulement il existe deux entiers {{math| 0 < ''p'' < ''q''}} tels que :
:<math> \frac xz = \frac{q^2-p^2}{q^2+p^2}</math> et <math>\frac yz=\frac{2pq}{q^2+p^2}</math>}}

== Cas des triplets primitifs ==
Un triplet pythagoricien (''x'', ''y'', ''z'') est dit '''primitif''' si les trois entiers ''x'', ''y'' et ''z'' sont [[premiers entre eux]] dans leur ensemble. Il suffit pour cela que deux d'entre eux le soient (puisqu'un diviseur premier commun à deux des nombres divisera le troisième).

Tout triplet pythagoricien (''x'', ''y'', ''z'') est, de manière unique, produit d'un triplet pythagoricien primitif par un entier strictement positif : le [[pgcd]] de (''x'', ''y'', ''z'').

Si l'on divise par ''z''{{2}}, on obtient :
:<math>
\frac{x^2}{z^2} + \frac{y^2}{z^2} = 1 
</math>
c'est-à-dire que les triplets pythagoriciens primitifs permettent de trouver les points du [[cercle unité]] à [[Coordonnées cartésiennes|coordonnées]] [[Nombre rationnel|rationnelles]] donnés sous forme [[Fraction irréductible|irréductible]] par <math>\left(\frac xz,\frac yz\right)</math>.

Liste des triplets primitifs dont tous les termes sont inférieurs à 100 :

{|align="center" cellspacing="0" cellpadding="0"
|- align="justify"
|style="padding: 0 1em"| (3,  4,  5)
|style="padding: 0 1em"| (20, 21, 29)
|style="padding: 0 1em"| (11, 60, 61)
|style="padding: 0 1em"| (13, 84, 85)
|- align="right"
|style="padding: 0 1em"| (5, 12, 13)
|style="padding: 0 1em"| (12, 35, 37)
|style="padding: 0 1em"| (16, 63, 65)
|style="padding: 0 1em"| (36, 77, 85)
|- align="right"
|style="padding: 0 1em"| (8, 15, 17)
|style="padding: 0 1em"| (9, 40, 41)
|style="padding: 0 1em"| (33, 56, 65)
|style="padding: 0 1em"| (39, 80, 89)
|- align="right"
|style="padding: 0 1em"| (7, 24, 25)
|style="padding: 0 1em"| (28, 45, 53)
|style="padding: 0 1em"| (48, 55, 73)
|style="padding: 0 1em"| (65, 72, 97)
|}

=== Théorème fondamental ===
Si (''x'', ''y'', ''z'') est un triplet pythagoricien primitif alors (''y'', ''x'', ''z'') aussi, et ''x'' ou ''y'' est impair. Le théorème suivant caractérise donc tous ces triplets.
{{Énoncé|1=
Il y a équivalence<ref>{{Ouvrage|auteur=[[Jean Dieudonné]]|titre=Pour l'honneur de l'esprit humain|sous-titre=les mathématiques aujourd'hui|éditeur=[[Hachette Livre|Hachette]]|date=1988|isbn=978-2-01011950-7|oclc=20000703|page=94}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|lang=en|auteur=[[Wacław Sierpiński]]|url={{Google Livres|6vOfpjmCd7sC|page=4}}|titre=Pythagorean triangles|éditeur=[[Dover Publications|Dover]]|year=2003|page=4-7}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|lang=en|auteur=[[John Stillwell]]|year=2003|url={{Google Livres|LiAlZO2ntKAC|page=112}}|titre=Elements of Number Theory|collection=Undergraduate Texts in Mathematics|éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]|page=112}}.</ref> entre
* ''(i)'' <math>(x,y,z)</math> est un triplet pythagoricien primitif avec <math>x</math> impair.
* ''(ii)'' Il existe <math> (p,q) \in\N^{*2} </math> avec ''p'' > ''q'' ,  ''p'' et ''q'' premiers entre eux et de parités différentes, tels que<center><math>x=p^2-q^2,\quad y=2pq\quad\text{et}\quad z=p^2+q^2.</math></center>
}}

{{Démonstration|contenu=
* ''(i)'' ⇒ ''(ii)''
Supposons (i). On démontre d'abord que ''y'' est pair<ref>Pour une démonstration, voir par exemple {{Harvsp|Sierpiński|2003|p=4}} ou {{Note autre projet|wikiversité|Arithmétique/Exercices/Multiples et diviseurs#Exercice 2-6|exercice corrigé de la leçon d'arithmétique|début=cet}}</ref>.
Posons ensuite ''u'' = ''y''/2, ''s'' = (''z'' + ''x'')/2 et ''t'' = (''z – x'')/2. Comme ''y'' est pair et ''x'', ''z'' impairs, ''u'', ''s'' et ''t'' sont entiers (strictement positifs), et l'on a
{{Retrait|1=''x'' = ''s – t'', ''z'' = ''s'' + ''t'', ''st = u''{{2}}.}}

Les entiers ''s'' et ''t'' sont premiers entre eux. En effet, leur pgcd divise ''s + t = z'' et ''s – t = x'', qui sont premiers entre eux. Soit ''p''/''q'' l'écriture du rationnel ''u''/''t'' sous forme d'une [[fraction irréductible]]. Alors, par [[Lemme d'Euclide#Unicité de la forme irréductible d'une fraction|unicité de la forme irréductible]] de ''p''{{2}}/''q''{{2}} = ''u''{{2}}/''t''{{2}} = ''s''/''t'', on a ''s = p''{{2}}, ''t = q''{{2}} et ''u'' = ''pt''/''q'' = ''pq''.

On a donc bien ''x = p''{{2}} – ''q''{{2}}, ''z = p''{{2}} + ''q''{{2}} et ''y'' = 2''pq'' pour des entiers strictement positifs ''p'' et ''q'' premiers entre eux. Comme ''x'' > 0 on a ''p'' > ''q''. Enfin, ''p'' et ''q'' sont de parités différentes puisque ''p''{{2}} – ''q''{{2}} = ''x'' est impair.

* ''(ii)'' ⇒ ''(i)''

''(ii)'' entraîne immédiatement par un simple calcul que ''x''{{2}} + ''y''{{2}} = ''z''{{2}}. D'autre part, comme ''p'' et ''q'' sont de parités différentes, ''x'' est nécessairement impair, si bien que le pgcd de ''x'' et ''z'' est impair. Or il divise pgcd(''z + x'', ''z – x'') = pgcd(2''p''{{2}}, 2''q''{{2}}) = 2. Il est donc égal à 1.
}}

Une reformulation de ce théorème est : <math>(x,y,z)</math> est un triplet pythagoricien primitif avec <math>x</math> impair si et seulement s'il existe deux entiers impairs premiers entre eux <math>m>n\ge1</math> tels que<center><math>x=mn,\quad y=\frac{m^2-n^2}2\quad\text{et}\quad z=\frac{m^2+n^2}2.</math></center> Le cas <math>n=1</math> implique que tout nombre impair > 1 fait partie d'au moins un triplet primitif.

=== Génération algébrique et géométrique  ===

Berggren<ref> « Pytagoreiska trianglar », ''Tidskrift för elementär matematik, fysik och kemi'', vol. 17, {{p.|129-139}}.</ref> a montré en 1934 que tout triplet pythagoricien primitif peut être obtenu à partir du triplet (3,4,5) par application répétée de <math>\mathcal R_1</math>, <math>\mathcal R_2</math> et <math>\mathcal R_3</math>, avec :

<center>
<math>
  \mathcal R_1 =\begin{pmatrix}
     1 & -2 & 2 \\ 
     2 & -1 & 2 \\
     2 & -2 & 3 \\
  \end{pmatrix}
\quad
  \mathcal R_2 =\begin{pmatrix} 
    1 & 2 & 2 \\ 
    2 & 1 & 2 \\ 
    2 & 2 & 3 \\
      \end{pmatrix}
\quad
  \mathcal R_3 =\begin{pmatrix} 
    -1 & 2 & 2 \\ 
    -2 & 1 & 2 \\ 
    -2 & 2 & 3 \\
      \end{pmatrix}
</math>
</center>

De plus cette décomposition est unique<ref>{{article|lire en ligne=https://mathinfo.unistra.fr/fileadmin/upload/IREM/Publications/L_Ouvert/n100-101/o_100-101.pdf|format=pdf|auteur=André Stoll|périodique=L’Ouvert|numéro=100-101|date=septembre 2000|titre=Générations géométrique et algébrique des triplets pythagoriciens|passage=1}}.</ref>.

Géométriquement, le produit de <math>\mathcal R_i</math> par un triplet (''x'', ''y'', ''z'') correspond à la construction Φ <math>\circ </math> <math>\mathcal S_i</math> effectuée pour le point <math>\left(\frac xz,\frac yz\right)</math>, où :

* <math>\mathcal S_1</math> est la symétrie par rapport à l’axe des ordonnées ;
* <math>\mathcal S_2</math> est la symétrie de centre O ;
* <math>\mathcal S_3</math> la symétrie par rapport à l'axe des abscisses ;
* et Φ l'application du cercle unité <math>\mathcal (C)</math> dans lui-même qui à tout point M associe M’ le deuxième point d’intersection de <math>\mathcal (C)</math> avec la droite passant par M et P(1,1).

==== Exemples ====
* <math>(77,36,85) =\mathcal R_3 \circ \mathcal R_2(3,4,5)</math>
* <math>(85,132,157) =\mathcal R_1 \circ \mathcal R_3\circ \mathcal R_3(3,4,5)</math>

== Une visualisation des triplets pythagoriciens ==
[[Fichier:Triplets pythagoriciens.png|vignette|left|Visualisation des triplets associée à la fonction carré.]]
[[File:Pythagorean triple scatterplot.svg|thumb|Nuage de points de tous les couples d'entiers <math>(a,b)</math> tels que <math>(a,b,\sqrt{a^2+b^2})</math> soit pythagoricien avec <math>a</math> et <math>b</math> inférieurs à {{nombre|4500}}.]]
La [[Fonction carré|fonction complexe <math>z\mapsto z^2</math>]] laisse stable l'[[Anneau unitaire|anneau]] '''Z'''[{{math|i}}] des [[Entier de Gauss|entiers de Gauss]]. À chaque point de l'[[Image directe|image]] de '''Z'''[{{math|i}}] par cette fonction correspond un triplet pythagoricien (en effet, <math>(a+b\mathrm i)^2=a^2-b^2+2ab\mathrm i</math>, et <math>(a^2-b^2)^2+ (2ab)^2=(a^2+b^2)^2</math>). Cette remarque fournit une visualisation des triplets pythagoriciens<ref>{{Lien web|langue=en|titre=All possible pythagorean triples visualized|url=https://www.youtube.com/watch?v=QJYmyhnaaek|site=[[YouTube]]|date=|consulté le=}}.</ref> et une explication de la présence des [[parabole]]s dans le nuage de points ci-contre.
{{clr}}

== Notes et références ==
{{Références}}

==Voir aussi==
{{Autres projets|commons:Category:Pythagorean triples}}
* Le [[dernier théorème de Fermat]] montre que de tels triplets n'existent pas quand l'exposant est un entier supérieur à 2.
*[[Théorème de Fermat sur les triangles rectangles]]
*{{Lien|trad=Niven's theorem|Théorème de Niven}}

{{Portail|nombre}}

[[Catégorie:Équation diophantienne]]
[[Catégorie:Pythagorisme]]

[[no:Pythagoras’ læresetning#Pytagoreiske tripler]]