Voir la source de Coordonnées barycentriques

{{ébauche|géométrie}}
En [[géométrie affine]], les '''coordonnées barycentriques''' d'un point par rapport à un '''repère barycentrique''' sont une [[Famille (mathématiques)|famille]] de ''poids'' permettant de définir ce point comme un [[barycentre (géométrie affine)|barycentre]].

== Définitions ==
=== Base affine ===
Une [[n-uplet|famille finie]] {{math|(''P''{{ind|0}},…,''P{{ind|k}}'')}} de points d'un [[espace affine]] ''E'' est dite ''affinement libre'', ou encore ces points sont dits ''affinement indépendants'', quand aucun des points {{mvar|P{{ind|i}}}} n'appartient au sous-espace affine engendré par les ''k'' autres points. Dans le cas contraire il est dit ''affinement lié''. Par exemple deux points distincts forment une famille affinement libre, de même 3 points non alignés, et 4 points non coplanaires<ref>Par exemple {{harvsp|Ladegaillerie|2003|p=27-28}}, et pour l'ensemble du paragraphe.</ref>.

De façon équivalente une famille finie {{math|(''P''{{ind|0}},…,''P{{ind|k}}'')}} est affinement libre quand l'une des conditions suivantes est réalisée :
* aucun des points {{mvar|P{{ind|i}}}} n'est [[barycentre (géométrie élémentaire)|barycentre]] des autres points ;
* la famille de vecteurs <math>\left(\overrightarrow{P_0P_1},\overrightarrow{P_0P_2},\dots,\overrightarrow{P_0P_k}\right)</math> est libre (ou la condition analogue en prenant n'importe lequel des {{mvar|P{{ind|i}}}} comme origine).

Il suit de la seconde condition et des propriétés des [[famille libre|familles libres]] des [[espace vectoriel|espaces vectoriels]] qu'une famille affinement libre d'un espace affine de dimension finie ''n'' est d'ordre au plus ''n'' + 1. On appelle alors ''base affine'' (et très souvent ''repère affine'') une famille affinement libre maximale, et la seconde condition devient :
{{énoncé|{{math|(''P''{{ind|0}},…,''P{{ind|n}}'')}} est une base affine de l'espace affine ''E'' si et seulement si <math>\left(\overrightarrow{P_0P_1},\overrightarrow{P_0P_2},\dots,\overrightarrow{P_0P_n}\right)</math> est une base vectorielle de la direction de ''E'', c'est-à-dire si et seulement si {{math|''P''{{ind|0}}}} muni de cette famille de vecteurs est un [[repère affine]] (très souvent appelé un ''repère cartésien'') de ''E''.}}

Une ''base affine'' d'un espace affine ''E'' de dimension finie ''n'' est donc une famille affine libre {{math|(''P''{{ind|0}},…,''P{{ind|k}}'')}} de ''n'' + 1 points. Ainsi 2 points distincts d'une droite forment une base affine de celle-ci, 3 points non alignés d'un plan forment une base affine de ce plan, 4 points non coplanaires d'un espace de dimension 3 une base de celui-ci, etc.

L'espace affine engendré par {{math|(''P''{{ind|0}},…,''P{{ind|n}}'')}}, c'est-à-dire le plus petit sous-espace affine contenant ces points, est l'espace affine ''E'' tout entier si ces points forment une base affine de ''E''.

[[Fichier:Triangle barycentre.png|vignette|L'isobarycentre ''G'' des 3 points non alignés (''A'',''B'',''C'') a pour coordonnées barycentriques dans ce repère du plan (1,1,1) ou, en coordonnées normalisées, {{nobr|(1/3, 1/3, 1/3).}}]]

=== Coordonnées barycentriques ===
Soit {{math|(''P''{{ind|0}},…,''P{{ind|n}}'')}} une base affine, encore appelée ''repère barycentrique'' ou encore ''repère affine'' d'un espace affine ''E''. Alors, tout point ''M'' de l'espace affine peut s'écrire comme un barycentre des points du repère, c'est-à-dire qu'il existe ''n'' + 1 scalaires <math>(\lambda_0,\dots,\lambda_n)</math> vérifiant :

:<math>\lambda_0\overrightarrow{MP_0}+\lambda_1\overrightarrow{MP_1}+\dots+\lambda_n\overrightarrow{MP_n}=\overrightarrow 0</math>
:avec <math>\lambda_0+\lambda_1+\dots+\lambda_n\ne0</math>
et de plus deux systèmes de scalaires vérifiant ceci sont multiples l'un de l'autre.

On appelle alors ''coordonnées barycentriques'', ou ''coefficients barycentriques'', du point ''M'' un tel système de « poids » <math>(\lambda_0,\dots,\lambda_n)</math>, et les coordonnées barycentriques de ''M'' ne sont pas uniques, mais seulement ''uniques à un coefficient multiplicateur non nul près''. Elles peuvent être définies de manière unique en fixant la somme des coordonnées à 1 : de telles coordonnées sont dites ''normalisées''.

== Dans le plan ==
Dans le plan, les trois sommets d'un triangle ''ABC'' non aplati constituent un repère barycentrique. Son centre de gravité ''G'' est le point de coordonnées barycentriques (1,1,1) par rapport au repère (''A'',''B'',''C'').

En notant ''I'' le milieu de [''BC''], ''G'' a pour coordonnées barycentriques (1,2) par rapport au repère (''A'',''I'') de la droite (''AI'').

Dans ce triangle, le point ''I'' est de coordonnées (0,1,1) par rapport au repère (''A'',''B'',''C'').

[[Fichier:Areal coordinates.png|vignette|upright=2.3|Interprétation des coordonnées barycentriques en termes de rapports d'aires.]]

La notion d'aire, bien que souvent introduite en géométrie euclidienne, est une notion affine. Plus précisément, c'est l'aire algébrique d'un triangle orienté dans le plan que l'on définit, rapportée à l'aire d'un triangle orienté choisi comme unité (ou du parallélogramme d'une base constitué de deux vecteurs, l'ordre des vecteurs n'étant pas indifférent)<ref>{{harvsp|Ladegaillerie|2003|p=24}}.</ref>. C'est en fait le rapport d'aires algébriques dans un même plan qui se définit par le [[déterminant (mathématiques)|déterminant]].

Il est alors possible d'interpréter les coordonnées barycentriques dans le plan en terme d'aire<ref>{{harvsp|Ladegaillerie|2003|p=49}}.</ref>.

=== Coordonnées barycentriques, déterminant et aire ===
Soit ''ABC'' un triangle non plat, c'est-à-dire que (''A'',''B'',''C'') est un repère barycentrique. Alors un point quelconque du plan du triangle ''P'', a pour coordonnées les trois déterminants suivants (relatifs à une base quelconque du plan) :
:<math>\alpha=\left|\overrightarrow{PB},\overrightarrow{PC}\right|,\ \beta=\left|\overrightarrow{PC},\overrightarrow{PA}\right|,\ \gamma=\left|\overrightarrow{PA},\overrightarrow{PB}\right|</math>
c'est-à-dire que :
:<math>\alpha\overrightarrow{PA} + \beta\overrightarrow{PB} + \gamma\overrightarrow{PC} =\overrightarrow0</math>
avec :
:<math>\alpha+\beta+\gamma =\left|\overrightarrow{PB},\overrightarrow{PC}\right|+\left|\overrightarrow{PC},\overrightarrow{PA}\right|+\left|\overrightarrow{PA},\overrightarrow{PB}\right|=\left|\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right|\ne0</math>.
Si la base choisie est <math>\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)</math>, ce sont donc les coordonnées normalisées {{math|(α, β, γ)}} vérifiant
:<math>\alpha + \beta + \gamma = 1</math>
et ces coordonnées ''normalisées'' s'interprètent comme des rapports d'aires algébriques de la façon suivante :
:<math>\begin{cases} \alpha = \frac{Aire(PBC)}{Aire(ABC)} \\  \beta = \frac{Aire(APC)}{Aire(ABC)}  \\  \gamma = \frac{Aire(ABP)}{Aire(ABC)}.\end{cases} </math>

En géométrie réelle, l'aire géométrique usuelle est la valeur absolue de l'aire algébrique. Le résultat vaut pour l'aire géométrique si le point est à l'intérieur du triangle. S'il est à l'extérieur, les signes des coefficients dépendent de l'orientation des triangles considérés (positif si l'orientation est la même que celle du triangle ''ABC'', négative dans le cas contraire, voir schéma).

== Convexité ==
L'[[enveloppe convexe]] d'un ensemble de points ''E'' rassemble tous les points admettant des coordonnées barycentriques à coefficients tous positifs par rapport à une famille de points de ''E''<ref>{{Berger2}}, Prop. 11.1.8.4, tome 3, p. 26 dans l'édition de 1978.</ref>.

== Lien avec les coordonnées cartésiennes ==
Dans un [[espace vectoriel]] muni d'une [[base (algèbre linéaire)|base]] <math>(e_1,\dots,e_n)</math>, la famille de vecteurs <math>(0,e_1,\dots,e_n)</math> constitue un repère barycentrique pour la structure d'espace affine canonique et tout vecteur de coordonnées <math>(\lambda_1,\dots,\lambda_n)</math> relativement à la base <math>(e_1,\dots,e_n)</math>, correspond au point affine de coordonnées barycentriques <math>(1-s,\lambda_1,\dots,\lambda_n)</math>, où {{mvar|s}} est la somme des coefficients <math>\lambda_i</math>.
== Lien avec les coordonnées projectives ==
{{...}}
Les [[coordonnées projectives]] peuvent être interprétées comme des coordonnées barycentriques dans un repère formé de l'origine et des points à l'infini des axes.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Bibliographie ==
* {{ouvrage|auteur=Yves Ladegaillerie|titre=Géométrie affine, projective, euclidienne et anallagmatique|éditeur=[[Éditions Ellipses|Ellipses]]|année=2003|isbn=2-7298-1416-7}}.
* Jean-Denis Eiden, ''Géométrie analytique classique'', Calvage & Mounet, 2009 {{ISBN|978-2-916352-08-4}}
* ''Petite encyclopédie de mathématique'', éd. Didier
*Jean Fresnel, ''Méthodes modernes en géométrie''

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Coordonnées barycentriques (astronomie)]]
* [[Diagramme ternaire]]

=== Liens externes ===
* [http://jellevy.yellis.net/Classes/terminale/Barycentres/Exercices/exo19_bary_term.html Les coordonnées barycentriques des points remarquables dans un triangle] sur le site Math Web.
* [https://www.eleves.ens.fr/home/budzinsk/polys/G%C3%A9om%C3%A9trie/Avanc%C3%A9/2014_geomD_jeanlouis.pdf Cours sur les coordonnées barycentriques] par Jean-Louis Tu, dans le cadre de la préparation aux [[Olympiades de mathématiques]].
* [https://oxymeos.shost.ca/article.php?a_propos=determiner_facilement_si_un_point_appartient_a_un_triangle Méthodes de détermination d'appartenance d'un point à un triangle avec les coordonnées barycentriques].

{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Système de coordonnées|Barycentriques]]