Coordonnées barycentriques

Modèle:Ébauche En géométrie affine, les coordonnées barycentriques d'un point par rapport à un repère barycentrique sont une famille de poids permettant de définir ce point comme un barycentre.

Définitions

Base affine

Une famille finie Modèle:Math de points d'un espace affine E est dite affinement libre, ou encore ces points sont dits affinement indépendants, quand aucun des points Modèle:Mvar n'appartient au sous-espace affine engendré par les k autres points. Dans le cas contraire il est dit affinement lié. Par exemple deux points distincts forment une famille affinement libre, de même 3 points non alignés, et 4 points non coplanaires.

De façon équivalente une famille finie Modèle:Math est affinement libre quand l'une des conditions suivantes est réalisée :

• aucun des points Modèle:Mvar n'est barycentre des autres points ;
• la famille de vecteurs $\left({\overrightarrow {P_{0}P_{1}}},{\overrightarrow {P_{0}P_{2}}},\dots ,{\overrightarrow {P_{0}P_{k}}}\right)$ est libre (ou la condition analogue en prenant n'importe lequel des Modèle:Mvar comme origine).

Il suit de la seconde condition et des propriétés des familles libres des espaces vectoriels qu'une famille affinement libre d'un espace affine de dimension finie n est d'ordre au plus n + 1. On appelle alors base affine (et très souvent repère affine) une famille affinement libre maximale, et la seconde condition devient : Modèle:Énoncé

Une base affine d'un espace affine E de dimension finie n est donc une famille affine libre Modèle:Math de n + 1 points. Ainsi 2 points distincts d'une droite forment une base affine de celle-ci, 3 points non alignés d'un plan forment une base affine de ce plan, 4 points non coplanaires d'un espace de dimension 3 une base de celui-ci, etc.

L'espace affine engendré par Modèle:Math, c'est-à-dire le plus petit sous-espace affine contenant ces points, est l'espace affine E tout entier si ces points forment une base affine de E.

L'isobarycentre G des 3 points non alignés (A,B,C) a pour coordonnées barycentriques dans ce repère du plan (1,1,1) ou, en coordonnées normalisées, Modèle:Nobr

Coordonnées barycentriques

Soit Modèle:Math une base affine, encore appelée repère barycentrique ou encore repère affine d'un espace affine E. Alors, tout point M de l'espace affine peut s'écrire comme un barycentre des points du repère, c'est-à-dire qu'il existe n + 1 scalaires $(\lambda _{0},\dots ,\lambda _{n})$ vérifiant :

$\lambda _{0}{\overrightarrow {MP_{0}}}+\lambda _{1}{\overrightarrow {MP_{1}}}+\dots +\lambda _{n}{\overrightarrow {MP_{n}}}={\overrightarrow {0}}$

avec $\lambda _{0}+\lambda _{1}+\dots +\lambda _{n}\neq 0$

et de plus deux systèmes de scalaires vérifiant ceci sont multiples l'un de l'autre.

On appelle alors coordonnées barycentriques, ou coefficients barycentriques, du point M un tel système de « poids » $(\lambda _{0},\dots ,\lambda _{n})$, et les coordonnées barycentriques de M ne sont pas uniques, mais seulement uniques à un coefficient multiplicateur non nul près. Elles peuvent être définies de manière unique en fixant la somme des coordonnées à 1 : de telles coordonnées sont dites normalisées.

Dans le plan

Dans le plan, les trois sommets d'un triangle ABC non aplati constituent un repère barycentrique. Son centre de gravité G est le point de coordonnées barycentriques (1,1,1) par rapport au repère (A,B,C).

En notant I le milieu de [BC], G a pour coordonnées barycentriques (1,2) par rapport au repère (A,I) de la droite (AI).

Dans ce triangle, le point I est de coordonnées (0,1,1) par rapport au repère (A,B,C).

Interprétation des coordonnées barycentriques en termes de rapports d'aires.

La notion d'aire, bien que souvent introduite en géométrie euclidienne, est une notion affine. Plus précisément, c'est l'aire algébrique d'un triangle orienté dans le plan que l'on définit, rapportée à l'aire d'un triangle orienté choisi comme unité (ou du parallélogramme d'une base constitué de deux vecteurs, l'ordre des vecteurs n'étant pas indifférent). C'est en fait le rapport d'aires algébriques dans un même plan qui se définit par le déterminant.

Il est alors possible d'interpréter les coordonnées barycentriques dans le plan en terme d'aire.

Coordonnées barycentriques, déterminant et aire

Soit ABC un triangle non plat, c'est-à-dire que (A,B,C) est un repère barycentrique. Alors un point quelconque du plan du triangle P, a pour coordonnées les trois déterminants suivants (relatifs à une base quelconque du plan) :

$\alpha =\left|{\overrightarrow {PB}},{\overrightarrow {PC}}\right|,\ \beta =\left|{\overrightarrow {PC}},{\overrightarrow {PA}}\right|,\ \gamma =\left|{\overrightarrow {PA}},{\overrightarrow {PB}}\right|$

c'est-à-dire que :

$\alpha {\overrightarrow {PA}}+\beta {\overrightarrow {PB}}+\gamma {\overrightarrow {PC}}={\overrightarrow {0}}$

avec :

$\alpha +\beta +\gamma =\left|{\overrightarrow {PB}},{\overrightarrow {PC}}\right|+\left|{\overrightarrow {PC}},{\overrightarrow {PA}}\right|+\left|{\overrightarrow {PA}},{\overrightarrow {PB}}\right|=\left|{\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {AC}}\right|\neq 0$.

Si la base choisie est $\left({\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {AC}}\right)$, ce sont donc les coordonnées normalisées Modèle:Math vérifiant

$\alpha +\beta +\gamma =1$

et ces coordonnées normalisées s'interprètent comme des rapports d'aires algébriques de la façon suivante :

${\begin{cases}\alpha ={\frac {Aire(PBC)}{Aire(ABC)}}\\\beta ={\frac {Aire(APC)}{Aire(ABC)}}\\\gamma ={\frac {Aire(ABP)}{Aire(ABC)}}.\end{cases}}$

En géométrie réelle, l'aire géométrique usuelle est la valeur absolue de l'aire algébrique. Le résultat vaut pour l'aire géométrique si le point est à l'intérieur du triangle. S'il est à l'extérieur, les signes des coefficients dépendent de l'orientation des triangles considérés (positif si l'orientation est la même que celle du triangle ABC, négative dans le cas contraire, voir schéma).

Convexité

L'enveloppe convexe d'un ensemble de points E rassemble tous les points admettant des coordonnées barycentriques à coefficients tous positifs par rapport à une famille de points de E.

Lien avec les coordonnées cartésiennes

Dans un espace vectoriel muni d'une base $(e_{1},\dots ,e_{n})$, la famille de vecteurs $(0,e_{1},\dots ,e_{n})$ constitue un repère barycentrique pour la structure d'espace affine canonique et tout vecteur de coordonnées $(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})$ relativement à la base $(e_{1},\dots ,e_{n})$, correspond au point affine de coordonnées barycentriques $(1-s,\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})$, où Modèle:Mvar est la somme des coefficients $\lambda _{i}$.

Lien avec les coordonnées projectives

Modèle:... Les coordonnées projectives peuvent être interprétées comme des coordonnées barycentriques dans un repère formé de l'origine et des points à l'infini des axes.

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage.
• Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009 Modèle:ISBN
• Petite encyclopédie de mathématique, éd. Didier
• Jean Fresnel, Méthodes modernes en géométrie

Voir aussi

Articles connexes

• Coordonnées barycentriques (astronomie)
• Diagramme ternaire

Liens externes

• Les coordonnées barycentriques des points remarquables dans un triangle sur le site Math Web.
• Cours sur les coordonnées barycentriques par Jean-Louis Tu, dans le cadre de la préparation aux Olympiades de mathématiques.
• Méthodes de détermination d'appartenance d'un point à un triangle avec les coordonnées barycentriques.