Voir la source de Coordonnées sphériques

{{Attention|Ne pas essayer de modifier les formules données ici sans passer par la [[Discussion:Coordonnées_sphériques|page de discussion]] : cet article utilise la convention {{math|P(''ρ'',''θ'',''φ'')}} des [[physique|physiciens]], décrite [[#Conventions|ci-dessous]].}}
[[Fichier:Spherical Coordinates (Colatitude, Longitude) (b).svg|vignette|Illustration de la convention de l'article. La position du point ''P'' est définie par la distance ''{{vert|ρ}}'' et par les angles ''{{rouge|θ}}'' (colatitude) et  {{bleu|{{math|''φ''}}}} (longitude).|alt=]]
On appelle '''coordonnées sphériques''' divers [[système de coordonnées|systèmes de coordonnées]] [[Coordonnées orthogonales|orthogonales]] de l'[[espace (notion)|espace]] analogues aux [[coordonnées polaires]] du plan. Un point de l'espace est repéré dans ces systèmes par la [[distance (mathématiques)|distance]] à une origine (le pôle) et par deux [[angle]]s. Ils sont d'emploi courant pour le repérage géographique : l'[[altitude]], la [[latitude]], et la [[longitude]] sont une variante de ces coordonnées. Plusieurs [[système de coordonnées célestes|systèmes de coordonnées sphériques]] sont également employés en [[astrométrie]]

Il existe [[Coordonnées sphériques#Conventions|différentes conventions]] concernant la définition des angles. Cet article utilise partout (sauf mention explicite contraire) la convention {{math|P(''ρ'',''θ'',''φ'')}}, la plus fréquente en particulier en [[physique]] et en technologie, où {{mvar|ρ}} désigne la distance radiale, {{mvar|θ}} la [[colatitude]] (comprise entre 0 et {{math|π}}) et {{mvar|φ}} la [[longitude]] (comprise entre 0 et {{math|2π}}).

== Histoire ==

{{Article détaillé|Histoire des fonctions trigonométriques}}
{{Section vide ou incomplète}}

== Définitions et propriétés élémentaires ==

=== Conventions ===

====Définitions des termes====

Étant donné un [[Base orthonormée|repère cartésien orthonormé]] (O, '''''x''''', '''''y''''', '''''z'''''), les coordonnées sphériques  d'un point ''P'' (distinct de ''O,'' pour lequel longitude et latitude ne sont pas définis, et des points de l'axe ''Oz'', qui n'ont pas de longitude) sont définies par :
* le '''rayon''', le plus souvent noté {{math|''ρ''}} (mais parfois ''r'') ; c’est la distance du point ''P'' au centre ''O'' et donc {{math|''ρ'' > 0}} (ou  {{math|''ρ''}} = 0 pour le point ''O'') ;
* la '''[[longitude]]''' ; c’est l'angle orienté formé par les demi-plans ayant pour frontière l'axe vertical et contenant respectivement la demi-droite [''O'', '''''x''''') et le point ''P''. Si on note ''H'' le projeté orthogonal de ''P'' dans le plan (''O'', '''''x''''', '''''y'''''), la longitude est l'angle formé par les vecteurs '''''x''''' et '''''OH''''' ;
* la '''[[colatitude]]''' (ou angle zénithal) ; c’est l'angle non orienté formé par les vecteurs '''''z''''' et '''''OP'''''  ;
*on utilise parfois la '''[[latitude]]''' ; c’est l’[[Angles complémentaires|angle complémentaire]] de la colatitude, et donc (sauf pour les points de l’axe ''Oz'') l’angle orienté formé par les vecteurs '''''OH''''' et '''''OP'''''.

La colatitude et la longitude seront désignées désormais respectivement par les lettres {{math|''θ''}} et {{math|''φ''}} (mais on verra plus bas que ces lettres sont parfois interverties). La latitude est le plus souvent notée δ.

En mathématiques et en physique, les angles sont le plus souvent mesurés en [[Radian|radians]], mais dans les applications pratiques, en particulier en géographie et en astronomie, ils sont mesurés en [[Degré (angle)|degrés]]. Par convention, et pour assurer l'unicité des coordonnées, la longitude est comprise entre 0 et {{math|2π}}&nbsp;radians (0[[degré (angle)|°]] et 360° ; ou parfois, en géographie en particulier, entre -180° et 180°) et la colatitude est comprise entre 0 et {{math|π}}&nbsp;[[radian]]s (0° et 180°)<ref name="mathworld">{{MathWorld|titre=Spherical Coordinates|nom_url=SphericalCoordinates}}.</ref>. Cette convention vaut pour le repérage mais {{math|''θ''}} et {{math|''φ''}} peuvent parcourir un intervalle plus important pour une [[courbe paramétrée]] {{math|''ρ''(''θ'',''φ'')}}, et le rayon peut alors être négatif.

==== La convention rayon-colatitude-longitude ====

Cette convention (revenant à écrire {{math|''P''(''ρ'',''θ'',''φ'')}}, où {{math|''θ''}} désigne la colatitude et {{math|''φ''}} la longitude) est la plus utilisée en pratique, et est celle définie par le standard [[ISO 80000-2]]<ref>{{citation|Signes et symboles mathématiques à utiliser en sciences physiques et en technologie}} :   [http://www4.ncsu.edu/~jwilson/files/mathsigns.pdf ISO 80000-2 (1ère ed., 1/12/2009)] (p.24) {{PDF}}.</ref>. La distance au centre est parfois notée ''r''<ref name="mathworld" />.

La relation de passage aux [[coordonnées cartésiennes]] s'écrit :

:<center><math> \begin{cases}  x &= \rho  \sin \theta  \cos \varphi \\ y &= \rho  \sin \theta  \sin \varphi \\ z &= \rho  \cos \theta \end{cases} </math><br /></center>Inversement, connaissant les coordonnées cartésiennes, on a : 
::<center><math> \begin{cases}

\rho &= \sqrt {x^2+y^2+z^2}  \\
\theta &= \arccos  (z/ \rho)\\
\varphi&= \arctan (y/x) 
\end{cases} </math><br />(cette dernière formule n’étant valable que pour ''x'' positif ; dans le cas général, on peut utiliser la fonction [[atan2]](''y,x''))<br />   </center>

====Convention rayon-longitude-colatitude====

En mathématiques, la convention précédente est le plus souvent inversée, {{math|''φ''}} désignant la colatitude et {{math|''θ''}} la longitude. 

La relation de passage aux [[coordonnées cartésiennes]] s'écrit dans ce cas :

:<center><math> \begin{cases}

x &= \rho  \sin \varphi  \cos \theta \\
y &= \rho  \sin \varphi  \sin \theta \\
z &= \rho  \cos \varphi
\end{cases} </math></center>

====Convention rayon-longitude-latitude====
[[Image:Spherical Coordinates (Latitude, Longitude).svg|vignette|droite|Un point repéré en coordonnées sphériques, avec la convention rayon/longitude/latitude.]]
Les mathématiciens emploient parfois ce système, dérivé des [[Coordonnées sphériques#Repérage géographique|conventions utilisées par les géographes]]. On nomme les coordonnées {{math|(''ρ'', ''θ'', ''δ'')}}, où :
* {{math|''ρ''}} désigne la distance du point au centre du repère&nbsp;;
* {{math|''θ''}} désigne la longitude, mesurée depuis l'axe des ''x'' généralement entre –180° et 180° ({{math|-π ≤ ''θ'' ≤ π}})&nbsp;;
* {{math|''δ''}} désigne la latitude, l'angle depuis le plan équatorial, entre –90° et 90° ({{math|-π/2 ≤ ''δ'' ≤ π/2}}).

L'échange entre les coordonnées cartésiennes et les coordonnées sphériques se fait alors par les formules :

:<center><math> \begin{cases}

x &= \rho  \cos \delta  \cos \theta \\
y &= \rho  \cos \delta  \sin \theta \\
z &= \rho  \sin \delta
\end{cases} </math></center>

Il est aisé de passer d'un système à un autre car latitude et colatitude sont liées par :
:<math>\delta=90^\circ-\varphi</math> (ou, en radians, <math>\delta=\frac \pi 2- \varphi</math>)

{{Encart|important|Il est d'usage courant que la latitude soit également désignée par {{math|''φ''}}, comme la colatitude.}}

=== Lien avec les coordonnées polaires ===

{{Article détaillé|Coordonnées polaires}}

Dans le plan vertical (''O'', '''''z''''', '''''OP'''''), le système de coordonnées {{math|(ρ, θ)}} est polaire. Dans le plan horizontal (''O'', '''''x''''', '''''y'''''), {{math|(ρ sin(θ),φ)|§=(ρsinθ,φ)}} est aussi un système de coordonnées polaires. En effet, soit <math>\overrightarrow{r} = \overrightarrow{OP}</math>, on a <math>\theta = \widehat{(\overrightarrow{Oz},\overrightarrow{OP})}</math>, et si ''H'' est le projeté de ''P'' sur le plan ''xOy'', <math>\overrightarrow{OH} = \overrightarrow{r} \sin\theta</math> et <math>\varphi = \widehat{(\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{OH})}</math> ; les coordonnées sphériques du point ''P'' vérifient bien :
:<math>
\left\{
\begin{matrix}
 z &=& \rho \cos\theta&&\\
 x &=& OH \cos\varphi &=& \rho \cos\varphi\sin\theta\\
 y &=& OH \sin \varphi &=& \rho \sin\varphi\sin\theta
\end{matrix}
\right.
</math>
==Relation avec les autres systèmes de coordonnées usuels ==
<gallery>
Fichier:Rectangular coordinates.svg|Coordonnées cartésiennes (x,y,z)
Fichier:Cylindrical coordinates2.svg|Coordonnées cylindriques (''r'',θ,''z'')
Fichier:Spherical Coordinates (Colatitude, Longitude) (b).svg|Coordonnées sphériques (ρ,θ,{{math|''φ''}})
</gallery>
{{message galerie}}
Les coordonnées cartésiennes (''x'', ''y'', ''z''), cylindriques (''r'',  θ, ''z'') et sphériques (ρ, θ, {{math|''φ''}}), lorsqu'elles sont définies par rapport au même repère cartésien (O, '''''x''''', '''''y''''', '''''z'''''), sont reliées par les formules données ci-dessous.

{{Encart|important|Ne pas confondre l'angle θ des coordonnées sphériques (la colatitude) avec l'angle θ des coordonnées cylindriques.}}
{| class="wikitable" style="width: 100%"
! scope="col" |[[Système de coordonnées]]
! scope="col" | Depuis les coordonnées sphériques
! scope="col" | Vers les coordonnées sphériques
|---
! scope="row" | [[Coordonnées cartésiennes]]
|<math> \begin{align}
x &= \rho  \sin\theta \cos\varphi  \\
y &= \rho  \sin\theta \sin\varphi  \\
z &= \rho  \cos\theta  
\end{align}</math>
|<math> \begin{align}
\rho   &= \sqrt{x^2+y^2+z^2}\\
\theta &= \arccos(z/\rho)\\
\varphi&= \begin{cases}\arccos\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} & \mathrm{si}\ y\geq{0} \\ 2\pi-\arccos\frac x{\sqrt{x^2+y^2}} & \mathrm{si}\ y < 0\end{cases}\\
\varphi &= {\rm atan2} (y,x)
\end{align}</math>
|---
! scope="row" | [[Coordonnées cylindriques]]
| <math> \begin{align}
r             &= \rho  \sin\theta\\
\theta &= \varphi\\
z             &= \rho  \cos\theta
\end{align}</math>
| <math> \begin{align}
\rho         &= \sqrt{r^2+z^2}\\
\theta         &= \arctan(r/z)\\
\varphi       &= \theta
\end{align}</math>
|}

Dans le tableau ci-dessus [[atan2]](''y'', ''x'') est le prolongement classique sur les différents quadrants de arctan(''y''/''x'') pour ''x'' et ''y'' positifs.

== Utilisation ==

Un certain nombre de problèmes possèdent des symétries ; l'utilisation de coordonnées sphériques avec certaines symétries peut simplifier grandement l'expression du problème et sa résolution.

Par ailleurs, de nombreuses données peuvent se représenter par des points sur une sphère. Il est donc important d'avoir un système de coordonnées permettant :
* de relever la position d'un point (mesure) ;
* de décrire la position d'un point (résultat d'un calcul par exemple) ;
* d'effectuer une analyse statistique sur une population de points.
De telles données sont appelées '''données sphériques'''. Il peut s'agir de position sur un objet sphéroïdal, comme des emplacements sur le globe terrestre. Mais un point sur une sphère peut aussi représenter une direction — le rayon de la sphère n'a alors pas d'importance, et l'on peut se ramener à une sphère de rayon unité.

=== Repérage géographique ===

[[Fichier:Geographic coordinates sphere.svg|vignette|Coordonnées géographiques {{math|''φ''}} (latitude) et ''λ'' (longitude).]]

{{Article détaillé|Coordonnées géographiques|Géoïde}}

Les coordonnées géographiques, utilisées pour se repérer sur la surface de la [[Terre]], sont une variante des coordonnées sphériques. Elles utilisent comme repère cartésien l'origine au centre de la Terre, l’axe Oz passant par le pôle Nord, l’axe Ox dans le demi-plan du méridien de Greenwich, et l’axe Oy à l’Est de l’axe Ox.  Les coordonnées utilisées sont ''h'' (altitude), ''l'' (latitude) et ''λ'' (longitude), qui sont reliées aux coordonnées sphériques (mesurées en degrés) par :
:<math> \begin{align}
h       &= \rho - \rho_\text{g}(l, \lambda)\\
l       &= 90^\text{o} - \theta\\
\lambda &= \varphi      \text{ si } \varphi \le 180^\text{o}\\
        &= \varphi-360^\text{o}   \text{ sinon}
\end{align} </math>
où ''ρ''{{sub|g}}(''l'', ''λ'') est la distance au centre de la Terre du point du [[géoïde]] situé dans la direction (''l'', ''λ''). Lorsque l'[[ellipsoïde de révolution]] est utilisé à la place du géoïde, ''h'' est alors la hauteur géodésique ou hauteur ellipsoïdale, encore nommée hauteur au-dessus de l'ellipsoïde; elle diffère de l'altitude d'environ +/-100 m au plus. La hauteur ellipsoïdale est une grandeur purement géométrique, l'altitude est une grandeur physique. La grandeur ''h'' est la distance mesurée le long de la normale à l'ellipsoïde entre ce dernier et le point considéré.

=== Coordonnées célestes ===

[[Fichier:Coordonnees equatoriales.svg|vignette|Coordonnées équatoriales : déclinaison et ascension droite.]]

{{Article détaillé|Système de coordonnées célestes|}}

Les coordonnées célestes, utilisées pour repérer les [[Objet céleste|astre]]s sur le [[ciel]], utilisent cette même variante avec ''ρ'' fixé (projection sur la [[sphère céleste]]). Par exemple, le [[système de coordonnées équatoriales]], servant à repérer les objets hors du [[système solaire]], utilise la [[Déclinaison (astronomie)|déclinaison]] (correspondant à ''l'', exprimée en degrés) et l'[[ascension droite]] (correspondant à ''λ'', exprimée en heures, avec 1 h = 15°).

=== Calculs ===

Les coordonnées sphériques sont d'emploi courant dans trois cas :
* mouvement à distance fixe d'un point donné, comme dans le cas d'un pendule ;
* mouvement à force centrale, notamment dans le [[Loi_de_Coulomb_(électrostatique)|potentiel de Coulomb]] ;
* problèmes présentant une symétrie sphérique.

==== Exemple du pendule ====

{{Article détaillé|Pendule (physique)}}

==== Exemple de l'attraction coulombienne ====

{{loupe|Équation de Schrödinger|Harmonique sphérique}}

=== Données sphériques ===

Les données sphériques sont donc des relevés de directions d'une droite dans l'espace. Si cette droite est orientée, on parle de [[vecteur unitaire]] (puisque l'on suppose une sphère de rayon unité), ou simplement vecteur ; si elle n'est pas orientée, on parle d'[[Axe (mathématiques)|axe]]. Un vecteur est un rayon de la sphère unité et peut être représenté par un point P de la sphère. Un axe est un diamètre de la sphère et peut être représenté par un des deux points diamétralement opposés, P ou Q.

Exemple de données<ref>{{ouvrage
 | prénom1 = N. I. | nom1 = Fisher
 | prénom2 = T. | nom2 = Lewis
 | prénom3 = B. J. J. | nom3 = Lembleton
 | langue = en
 | titre = Statistical Analysis of Spherical Data
 | éditeur=[[Cambridge University Press]]
 | année = 1987
 | isbn=978-0-521-24273-8
 | passage = 1|url=https://books.google.fr/books?id=yK4Quuq9tRgC&pg=PA1
}}.</ref> :
* vectorielles :
** [[astrophysique]] : directions d'arrivée de [[rayonnements cosmiques]],
** [[géologie structurale]] : normales à la surface en différents points d'un [[pli (géologie)|pli]] conique ou cylindrique,
** [[paléomagnétisme]] : rémanence magnétique dans des roches,
** [[météorologie]] : direction des [[vent]]s à un emplacement donné,
** [[océanographie physique]] : mesure des directions des [[courant marin|courants marins]] ;
* axiales :
** [[cristallographie]] : orientation d'un [[cristallite]] (voir ''[[Texture (minéralogie)]]''), direction des axes optiques d'un cristal de quartz dans un galet de [[quartzite]],
** [[astronomie]] : [[Normale à une surface|normale]] au plan de l'[[orbite]] d'une [[comète]],
** [[physiologie]] animale : orientation des champs dendritiques sur la [[rétine]] d'un œil de chat.

== Calculs de distances ==
[[Fichier:Triangle sphérique2.svg|vignette|Triangle sphérique avec ses grands cercles et ses angles au centre]]
{{Article détaillé|Géométrie sphérique|Trigonométrie sphérique}}
Dans des applications pratiques telles que la navigation, on est souvent amené à calculer des distances entre points donnés par leurs coordonnées sphériques (à ''r'' constant), ces distances étant mesurées sur la sphère (on dit que ce sont des distances [[Orthodromie|orthodromiques]]). Pour deux points ''A'' et ''B'', on définit donc <math>d_{AB}=r\lambda</math>, où <math>\lambda</math> est l'angle (en radians) entre les deux rayons ''OA'' et ''OB''. La « [[Trigonométrie_sphérique#Formule_des_cosinus_et_relation_duale|formule des cosinus]] » <math>\cos c = \cos a\, \cos b + \sin a\, \sin b\, \cos\gamma</math>, donnant une relation entre côtés et angles du triangle sphérique représenté à droite, permet d'en déduire <math>\lambda</math> connaissant les coordonnées sphériques ''A''(''r'', θ, {{math|''φ''}}) et ''B''(''r'', θ', {{math|''φ''}}') ; en plaçant ''C'' en (''r'',0,0), on obtient finalement<ref>[http://geodesie.ign.fr/contenu/fichiers/Distance_longitude_latitude.pdf Comment obtenir la distance entre deux points connus en longitude et latitude sur la sphère] sur le site géodésie.ign.fr</ref> :  
:<math>d_{AB}=r \arccos{ \left( \cos \theta \cos \theta' + \sin \theta \sin \theta' \cos (\varphi'-\varphi) \right)}.</math>

== Propriétés différentielles ==
{{section à sourcer|date=avril 2017}}
[[Fichier:Repere sphere wiki.pdf|vignette|Repère local pour le calcul différentiel.]]

<!-- Dans cette section, la convention citée en début d'article n'est pas respectée : tetha est la colatitude et phi la longitude. -->
Les formules de changement de repère, correspondant au passage en coordonnées sphériques (dans le système rayon-colatitude-longitude) sont : 

:<center><math> \begin{cases}  x &= \rho  \sin \theta  \cos \varphi \\ y &= \rho  \sin \theta  \sin \varphi \\ z &= \rho  \cos \theta \end{cases} </math> </center>

d’où la [[matrice jacobienne]]
<center><math>M=
\begin{pmatrix} 
\sin\theta\cos\varphi & \rho  \cos \theta  \cos \varphi & -\rho  \sin \theta  \sin \varphi \\
\sin \theta  \sin \varphi & \rho  \cos \theta  \sin \varphi & \rho  \sin \theta  \cos \varphi \\
\cos\theta & -\rho  \sin \theta & 0
\end{pmatrix}.
</math></center>
On construit à partir de ces formules un nouveau repère <math>(P, \overrightarrow{u_\rho}, \overrightarrow{u_\theta}, \overrightarrow{u_\varphi})</math>, dit '''repère local''', pour lequel les vecteurs <math>\overrightarrow{u_\rho}</math>, <math>\overrightarrow{u_\theta}</math> et <math>\overrightarrow{u_\varphi}</math> sont  colinéaires aux vecteurs colonnes de la matrice ''M'' et forment un repère orthonormal direct (en effet, en divisant les deux dernières colonnes par {{mvar|ρ}}, on obtient une [[matrice orthogonale]] directe) ; on démontre qu’ils sont respectivement porté par OP, tangent au [[méridien]] passant par ''P'', et tangent au [[Parallèle (géographie)|parallèle]] passant par ''P'' ; c'est pour cette raison qu'on dit que ce système de coordonnées est [[coordonnées orthogonales|orthogonal]].
===Différentielles ===
Le volume infinitésimal s'écrit {{math|d{{3}} ''V'' {{=}} det ''M'' d''ρ'' d''θ'' d''φ''{{=}} ''ρ''{{2}} sin ''θ'' d''ρ'' d''θ'' d''φ''}}. Ainsi, l'[[intégrale multiple|intégrale triple]] sur tout l'espace de la fonction <math>f(\rho,\theta,\varphi)</math>  s'écrira :
: <math>\ \int\limits_{\varphi=0}^{2 \pi}\ \int\limits_{\theta=0}^{\pi}\ \int\limits_{\rho=0}^{\infty} f(\rho,\theta,\varphi) \rho^2 \sin \theta \,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi.</math>

* L'[[Surface (physique)#Surface élémentaire|élément de surface]] pour {{mvar|ρ}} constant s'écrit {{math|d{{2}} ''S{{ind|ρ}}'' {{=}} ''ρ''{{2}} sin ''θ'' d''θ'' d''φ''}}
* On en déduit l'élément d'[[angle solide]] (en [[stéradian]]s) : <math>\mathrm{d}\Omega=\frac{\mathrm{d}S_\rho}{r^2}=\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi.</math>
* L'élément de surface pour {{mvar|φ}} constant s'écrit {{math|d{{2}} ''S{{ind|φ}}'' {{=}} ''ρ'' d''ρ'' d''θ''}}
* L'élément de surface pour {{mvar|θ}} constant s'écrit {{math|d{{2}} ''S{{ind|θ}}'' {{=}} ''ρ'' sin ''θ'' d''ρ'' d''φ''}}

Les vecteurs <math>(\overrightarrow{u_\rho}, \overrightarrow{u_\theta}, \overrightarrow{u_\varphi})</math> ont pour différentielles :
:<math>\begin{align}
  \text{d}\overrightarrow{u_\rho}&=\text{d}\theta\,\vec{u}_\theta+\sin\theta\,\text{d}\varphi\,\vec{u}_\varphi\\
  \text{d}\overrightarrow{u_\theta}&=-\text{d}\theta\,\vec{u}_\rho+\cos\theta\,\text{d}\varphi\,\vec{u}_\varphi\\
  \text{d}\overrightarrow{u_\varphi}&=-\sin\theta\,\text{d}\varphi\,\vec{u}_\rho-\cos\theta\,\text{d}\varphi\,\vec{u}_\theta
\end{align}</math>

=== Cinématique ===
Les calculs de ce paragraphe correspondent à l'étude cinématique d'une [[courbe paramétrée]] par le temps ''t'' : <math>t\mapsto M(\rho (t) , \theta(t),  \varphi(t))</math>.

On déduit des différentielles précédentes les dérivées par rapport au temps :
:<math>\begin{align}
  \dot{\overrightarrow{u_\rho}}&=\dot\theta\,\vec{u}_\theta+ \dot\varphi\,\sin\theta\,\vec{u}_\varphi\\
  \dot{\overrightarrow{u_\theta}}&=\dot\varphi\,\cos\theta\,\vec{u}_\varphi-\dot\theta\,\vec{u}_\rho\\
  \dot{\overrightarrow{u_\varphi}}&=-\dot\varphi\,\sin\theta\,\vec{u}_\rho-\dot\varphi\,\cos\theta\,\vec{u}_\theta
\end{align}</math>,
puis les quantités cinématiques [[vitesse]] et [[accélération]] :
:<math>\begin{align}
  \overrightarrow{OM}      &= \rho\,\overrightarrow{u_\rho}\\
  \dot{\overrightarrow{OM}}  &= \dot\rho\,\overrightarrow{u_\rho} + \rho\dot\theta\,\overrightarrow{u_\theta} + \rho\sin\theta\,\dot\varphi\,\overrightarrow{u_\varphi}\\
  \ddot{\overrightarrow{OM}} &= (\ddot\rho-\rho\dot\theta^2-\rho\dot\varphi^2\sin^2\theta)\,\overrightarrow{u_\rho}
                   + (\rho\ddot\theta + 2\dot\rho\dot\theta - \rho\dot\varphi^2\sin \theta\,\cos\theta) \,\overrightarrow{u_\theta}
                   + (\rho\ddot\varphi\sin\theta + 2\dot\rho\dot\varphi\sin\theta + 2\rho\dot\theta\dot\varphi\cos \theta) \,\overrightarrow{u_\varphi}
\end{align}</math>

===Opérateurs différentiels ===
{{Article détaillé|Nabla}}

L'opérateur [[nabla]] s'écrit
:<math>
  \overrightarrow{\nabla} =  \left(\frac\partial{\partial\rho}, \frac1\rho \frac\partial{\partial\theta}, \frac1{\rho\sin\theta} \frac\partial{\partial\varphi}\right)
</math>

On en déduit les expressions du [[gradient]], du [[rotationnel]], de la [[Divergence (analyse vectorielle)|divergence]] et du [[laplacien]] :

:<math>
\begin{align}
\overrightarrow{\mathrm{grad}}~f=\overrightarrow\nabla  \vec{\mathrm{A}} = {}  &{\partial f \over \partial r}\hat{\mathbf r}
  + {1 \over r}{\partial f \over \partial \theta}\hat{\boldsymbol\theta}
  + {1 \over r\sin\theta}{\partial f \over \partial \varphi}\hat{\boldsymbol\varphi}, \\[8pt]
\overrightarrow{\operatorname{rot}}\ \vec{\mathrm{A}}=\overrightarrow\nabla \wedge \vec{\mathrm{A}} = {} & \frac{1}{r\sin\theta}\left({\partial \over \partial \theta} \left( A_\varphi\sin\theta \right)
    - {\partial A_\theta \over \partial \varphi}\right) \hat{\mathbf r} \\[8pt]
& {} + \frac 1 r \left({1 \over \sin\theta}{\partial A_r \over \partial \varphi}
    - {\partial \over \partial r} \left( r A_\varphi \right) \right) \hat{\boldsymbol\theta} \\[8pt]
& {} + \frac 1 r \left({\partial \over \partial r} \left( r A_\theta \right)
    - {\partial A_r \over \partial \theta}\right) \hat{\boldsymbol\varphi}, \\[8pt]
{\mathrm{div}}~f=\overrightarrow\nabla \cdot \vec{\mathrm{A}} = {} & \frac{1}{r^2}{\partial \over \partial r}\left( r^2 A_r \right) + \frac{1}{r \sin\theta}{\partial \over \partial\theta} \left( \sin\theta A_\theta \right) + \frac{1}{r \sin \theta} {\partial A_\varphi \over \partial \varphi}, \\[8pt]
\Delta f = \overrightarrow\nabla^2 f= {} & {1 \over r^2}{\partial \over \partial r} \left(r^2 {\partial f \over \partial r}\right) + {1 \over r^2 \sin\theta}{\partial \over \partial \theta} \left(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}\right)
+ {1 \over r^2 \sin^2\theta}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2} \\[8pt]
= {} & \left(\frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{2}{r} \frac{\partial}{\partial r}\right)f + {1 \over r^2 \sin\theta}{\partial \over \partial \theta} \left(\sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta}\right)f + \frac{1}{r^2 \sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}f.
\end{align}
</math>

=== Tenseurs usuels ===

{{Article détaillé|Tenseur métrique|Symboles de Christoffel}}

Le [[tenseur métrique]] s'écrit
:<math>g_{ij} = \left(\begin{matrix}
  1 & 0 & 0\\
  0 & \rho^2 & 0\\
  0 & 0 & \rho^2 \sin^2\theta
\end{matrix}\right)</math>
et l'[[relativité restreinte#L'intervalle d'espace-temps entre deux événements|intervalle]]
:<math>\text{d}s^2 = c^2\text{d}t^2 - \text{d}\rho^2 - \rho^2\text{d}\theta^2 - \rho^2\sin^2\theta\,\text{d}\varphi^2.</math>

Les éléments non nuls du [[Symboles de Christoffel|symbole de Christoffel]] sont
:<math>\begin{align}
\Gamma^{\rho}_{\theta\theta}                                    &= -\rho\\
\Gamma^{\rho}_{\varphi\varphi}                                &= -\rho \sin^2\theta\\
\Gamma^{\theta}_{\rho\theta} = \Gamma^{\theta}_{\theta\rho}         &= \rho^{-1}\\
\Gamma^{\theta}_{\varphi\varphi}                                &= -\cos\theta\,\sin\theta\\
\Gamma^{\varphi}_{\rho\varphi} = \Gamma^{\varphi}_{\varphi\rho} &= \rho^{-1}\\
\Gamma^{\varphi}_{\varphi\theta} = \Gamma^{\varphi}_{\theta\varphi} &= \cot\theta
\end{align}</math>
== Généralisation en dimension ''n''==

Dans l'[[espace euclidien]] de dimension ''n'', pour un point de coordonnées cartésiennes (''x''{{sub|1}}, …, ''x{{sub|n}}''), on définit les '''coordonnées hypersphériques''' (''r'', ''θ''{{sub|1}}, …, ''θ''{{sub|''n''–1}}) par<ref>{{Ouvrage|lang=en|titre=Generalized Calculus with Applications to Matter and Forces
Mathematics and Physics for Science and Technology|auteur=Luis Manuel Braga de Costa Campos|éditeur=[[CRC Press]]|year=2014|url=https://books.google.fr/books?id=AJnSBQAAQBAJ&pg=PA686|page=686-687}}.</ref>
:<math> \begin{matrix}
r   &=&\|x\|\\
x_1 &=&r\cos\theta_1\\
x_2 &=&r\sin\theta_1 \cos \theta_2\\
\cdots&&\\
x_{n-1} &=&r\sin\theta_1\,\cdots\,\sin\theta_{n-2}\cos\theta_{n-1}\\
x_n     &=&r\sin\theta_1\,\cdots\,\sin\theta_{n-2}\sin\theta_{n-1}
\end{matrix}</math>
avec
{{Retrait|<math>\theta_1,\ldots,\theta_{n-2}\in[0,\pi]\quad{\rm et}\quad\theta_{n-1}\in[0,2\pi].</math>}}

Les coordonnées sphériques constituent le cas particulier ''n'' = 3 (avec un choix convenable de numérotation des axes) et les polaires ''n'' = 2 ; on pourra consulter [[3-sphère#Coordonnées hypersphériques|la section correspondante de l'article 3-sphère]] pour le cas ''n'' = 4.

== Notes et références ==
{{Références}}

{{Palette|Systèmes de coordonnées orthogonales}}
{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Système de coordonnées]]

[[fi:Koordinaatisto#Pallokoordinaatisto]]
[[it:Sistema di riferimento#Il sistema sferico]]