Coordonnées sphériques

Illustration de la convention de l'article. La position du point P est définie par la distance Modèle:Vert et par les angles Modèle:Rouge (colatitude) et Modèle:Bleu (longitude).

On appelle coordonnées sphériques divers systèmes de coordonnées orthogonales de l'espace analogues aux coordonnées polaires du plan. Un point de l'espace est repéré dans ces systèmes par la distance à une origine (le pôle) et par deux angles. Ils sont d'emploi courant pour le repérage géographique : l'altitude, la latitude, et la longitude sont une variante de ces coordonnées. Plusieurs systèmes de coordonnées sphériques sont également employés en astrométrie

Il existe différentes conventions concernant la définition des angles. Cet article utilise partout (sauf mention explicite contraire) la convention Modèle:Math, la plus fréquente en particulier en physique et en technologie, où Modèle:Mvar désigne la distance radiale, Modèle:Mvar la colatitude (comprise entre 0 et Modèle:Math) et Modèle:Mvar la longitude (comprise entre 0 et Modèle:Math).

Définitions et propriétés élémentaires

Conventions

Définitions des termes

Étant donné un repère cartésien orthonormé (O, x, y, z), les coordonnées sphériques d'un point P (distinct de O, pour lequel longitude et latitude ne sont pas définis, et des points de l'axe Oz, qui n'ont pas de longitude) sont définies par :

• le rayon, le plus souvent noté Modèle:Math (mais parfois r) ; c’est la distance du point P au centre O et donc Modèle:Math (ou Modèle:Math = 0 pour le point O) ;
• la longitude ; c’est l'angle orienté formé par les demi-plans ayant pour frontière l'axe vertical et contenant respectivement la demi-droite [O, x) et le point P. Si on note H le projeté orthogonal de P dans le plan (O, x, y), la longitude est l'angle formé par les vecteurs x et OH ;
• la colatitude (ou angle zénithal) ; c’est l'angle non orienté formé par les vecteurs z et OP  ;
• on utilise parfois la latitude ; c’est l’angle complémentaire de la colatitude, et donc (sauf pour les points de l’axe Oz) l’angle orienté formé par les vecteurs OH et OP.

La colatitude et la longitude seront désignées désormais respectivement par les lettres Modèle:Math et Modèle:Math (mais on verra plus bas que ces lettres sont parfois interverties). La latitude est le plus souvent notée δ.

En mathématiques et en physique, les angles sont le plus souvent mesurés en radians, mais dans les applications pratiques, en particulier en géographie et en astronomie, ils sont mesurés en degrés. Par convention, et pour assurer l'unicité des coordonnées, la longitude est comprise entre 0 et Modèle:Math radians (0° et 360° ; ou parfois, en géographie en particulier, entre -180° et 180°) et la colatitude est comprise entre 0 et Modèle:Math radians (0° et 180°). Cette convention vaut pour le repérage mais Modèle:Math et Modèle:Math peuvent parcourir un intervalle plus important pour une courbe paramétrée Modèle:Math, et le rayon peut alors être négatif.

La convention rayon-colatitude-longitude

Cette convention (revenant à écrire Modèle:Math, où Modèle:Math désigne la colatitude et Modèle:Math la longitude) est la plus utilisée en pratique, et est celle définie par le standard ISO 80000-2. La distance au centre est parfois notée r.

La relation de passage aux coordonnées cartésiennes s'écrit :

${\begin{cases}x&=\rho \sin \theta \cos \varphi \\y&=\rho \sin \theta \sin \varphi \\z&=\rho \cos \theta \end{cases}}$
Inversement, connaissant les coordonnées cartésiennes, on a :

${\begin{cases}\rho &={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\theta &=\arccos(z/\rho )\\\varphi &=\arctan(y/x)\end{cases}}$
(cette dernière formule n’étant valable que pour x positif ; dans le cas général, on peut utiliser la fonction atan2(y,x))

Convention rayon-longitude-colatitude

En mathématiques, la convention précédente est le plus souvent inversée, Modèle:Math désignant la colatitude et Modèle:Math la longitude.

La relation de passage aux coordonnées cartésiennes s'écrit dans ce cas :

${\begin{cases}x&=\rho \sin \varphi \cos \theta \\y&=\rho \sin \varphi \sin \theta \\z&=\rho \cos \varphi \end{cases}}$

Convention rayon-longitude-latitude

Un point repéré en coordonnées sphériques, avec la convention rayon/longitude/latitude.

Les mathématiciens emploient parfois ce système, dérivé des conventions utilisées par les géographes. On nomme les coordonnées Modèle:Math, où :

• Modèle:Math désigne la distance du point au centre du repère ;
• Modèle:Math désigne la longitude, mesurée depuis l'axe des x généralement entre –180° et 180° (Modèle:Math) ;
• Modèle:Math désigne la latitude, l'angle depuis le plan équatorial, entre –90° et 90° (Modèle:Math).

L'échange entre les coordonnées cartésiennes et les coordonnées sphériques se fait alors par les formules :

${\begin{cases}x&=\rho \cos \delta \cos \theta \\y&=\rho \cos \delta \sin \theta \\z&=\rho \sin \delta \end{cases}}$

Il est aisé de passer d'un système à un autre car latitude et colatitude sont liées par :

$\delta =90^{\circ }-\varphi$ (ou, en radians, $\delta ={\frac {\pi }{2}}-\varphi$)

Lien avec les coordonnées polaires

Dans le plan vertical (O, z, OP), le système de coordonnées Modèle:Math est polaire. Dans le plan horizontal (O, x, y), Modèle:Math est aussi un système de coordonnées polaires. En effet, soit ${\overrightarrow {r}}={\overrightarrow {OP}}$, on a $\theta ={\widehat {({\overrightarrow {Oz}},{\overrightarrow {OP}})}}$, et si H est le projeté de P sur le plan xOy, ${\overrightarrow {OH}}={\overrightarrow {r}}\sin \theta$ et $\varphi ={\widehat {({\overrightarrow {Ox}},{\overrightarrow {OH}})}}$ ; les coordonnées sphériques du point P vérifient bien :

$\left\{{\begin{matrix}z&=&\rho \cos \theta &&\\x&=&OH\cos \varphi &=&\rho \cos \varphi \sin \theta \\y&=&OH\sin \varphi &=&\rho \sin \varphi \sin \theta \end{matrix}}\right.$

Relation avec les autres systèmes de coordonnées usuels

• 
  Coordonnées cartésiennes (x,y,z)
• 
  Coordonnées cylindriques (r,θ,z)
• 
  Coordonnées sphériques (ρ,θ,Modèle:Math)

Modèle:Message galerie Les coordonnées cartésiennes (x, y, z), cylindriques (r, θ, z) et sphériques (ρ, θ, Modèle:Math), lorsqu'elles sont définies par rapport au même repère cartésien (O, x, y, z), sont reliées par les formules données ci-dessous.

Système de coordonnées	Depuis les coordonnées sphériques	Vers les coordonnées sphériques
Coordonnées cartésiennes	${\begin{aligned}x&=\rho \sin \theta \cos \varphi \\y&=\rho \sin \theta \sin \varphi \\z&=\rho \cos \theta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}\rho &={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\theta &=\arccos(z/\rho )\\\varphi &={\begin{cases}\arccos {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&\mathrm {si} \ y\geq {0}\\2\pi -\arccos {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&\mathrm {si} \ y<0\end{cases}}\\\varphi &={\rm {atan2}}(y,x)\end{aligned}}$
Coordonnées cylindriques	${\begin{aligned}r&=\rho \sin \theta \\\theta &=\varphi \\z&=\rho \cos \theta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}\rho &={\sqrt {r^{2}+z^{2}}}\\\theta &=\arctan(r/z)\\\varphi &=\theta \end{aligned}}$

Dans le tableau ci-dessus atan2(y, x) est le prolongement classique sur les différents quadrants de arctan(y/x) pour x et y positifs.

Utilisation

Un certain nombre de problèmes possèdent des symétries ; l'utilisation de coordonnées sphériques avec certaines symétries peut simplifier grandement l'expression du problème et sa résolution.

Par ailleurs, de nombreuses données peuvent se représenter par des points sur une sphère. Il est donc important d'avoir un système de coordonnées permettant :

• de relever la position d'un point (mesure) ;
• de décrire la position d'un point (résultat d'un calcul par exemple) ;
• d'effectuer une analyse statistique sur une population de points.

De telles données sont appelées données sphériques. Il peut s'agir de position sur un objet sphéroïdal, comme des emplacements sur le globe terrestre. Mais un point sur une sphère peut aussi représenter une direction — le rayon de la sphère n'a alors pas d'importance, et l'on peut se ramener à une sphère de rayon unité.

Repérage géographique

Coordonnées géographiques Modèle:Math (latitude) et λ (longitude).

Les coordonnées géographiques, utilisées pour se repérer sur la surface de la Terre, sont une variante des coordonnées sphériques. Elles utilisent comme repère cartésien l'origine au centre de la Terre, l’axe Oz passant par le pôle Nord, l’axe Ox dans le demi-plan du méridien de Greenwich, et l’axe Oy à l’Est de l’axe Ox. Les coordonnées utilisées sont h (altitude), l (latitude) et λ (longitude), qui sont reliées aux coordonnées sphériques (mesurées en degrés) par :

${\begin{aligned}h&=\rho -\rho _{\text{g}}(l,\lambda )\\l&=90^{\text{o}}-\theta \\\lambda &=\varphi {\text{ si }}\varphi \leq 180^{\text{o}}\\&=\varphi -360^{\text{o}}{\text{ sinon}}\end{aligned}}$

où ρModèle:Sub(l, λ) est la distance au centre de la Terre du point du géoïde situé dans la direction (l, λ). Lorsque l'ellipsoïde de révolution est utilisé à la place du géoïde, h est alors la hauteur géodésique ou hauteur ellipsoïdale, encore nommée hauteur au-dessus de l'ellipsoïde; elle diffère de l'altitude d'environ +/-100 m au plus. La hauteur ellipsoïdale est une grandeur purement géométrique, l'altitude est une grandeur physique. La grandeur h est la distance mesurée le long de la normale à l'ellipsoïde entre ce dernier et le point considéré.

Coordonnées célestes

Coordonnées équatoriales : déclinaison et ascension droite.

Les coordonnées célestes, utilisées pour repérer les astres sur le ciel, utilisent cette même variante avec ρ fixé (projection sur la sphère céleste). Par exemple, le système de coordonnées équatoriales, servant à repérer les objets hors du système solaire, utilise la déclinaison (correspondant à l, exprimée en degrés) et l'ascension droite (correspondant à λ, exprimée en heures, avec 1 h = 15°).

Calculs

Les coordonnées sphériques sont d'emploi courant dans trois cas :

• mouvement à distance fixe d'un point donné, comme dans le cas d'un pendule ;
• mouvement à force centrale, notamment dans le potentiel de Coulomb ;
• problèmes présentant une symétrie sphérique.

Données sphériques

Les données sphériques sont donc des relevés de directions d'une droite dans l'espace. Si cette droite est orientée, on parle de vecteur unitaire (puisque l'on suppose une sphère de rayon unité), ou simplement vecteur ; si elle n'est pas orientée, on parle d'axe. Un vecteur est un rayon de la sphère unité et peut être représenté par un point P de la sphère. Un axe est un diamètre de la sphère et peut être représenté par un des deux points diamétralement opposés, P ou Q.

Exemple de données :

• vectorielles :
  • astrophysique : directions d'arrivée de rayonnements cosmiques,
  • géologie structurale : normales à la surface en différents points d'un pli conique ou cylindrique,
  • paléomagnétisme : rémanence magnétique dans des roches,
  • météorologie : direction des vents à un emplacement donné,
  • océanographie physique : mesure des directions des courants marins ;
• axiales :
  • cristallographie : orientation d'un cristallite (voir Texture (minéralogie)), direction des axes optiques d'un cristal de quartz dans un galet de quartzite,
  • astronomie : normale au plan de l'orbite d'une comète,
  • physiologie animale : orientation des champs dendritiques sur la rétine d'un œil de chat.

Calculs de distances

Triangle sphérique avec ses grands cercles et ses angles au centre

Modèle:Article détaillé Dans des applications pratiques telles que la navigation, on est souvent amené à calculer des distances entre points donnés par leurs coordonnées sphériques (à r constant), ces distances étant mesurées sur la sphère (on dit que ce sont des distances orthodromiques). Pour deux points A et B, on définit donc $d_{AB}=r\lambda$, où $\lambda$ est l'angle (en radians) entre les deux rayons OA et OB. La « formule des cosinus » $\cos c=\cos a\,\cos b+\sin a\,\sin b\,\cos \gamma$, donnant une relation entre côtés et angles du triangle sphérique représenté à droite, permet d'en déduire $\lambda$ connaissant les coordonnées sphériques A(r, θ, Modèle:Math) et B(r, θ', Modèle:Math') ; en plaçant C en (r,0,0), on obtient finalement :

$d_{AB}=r\arccos {\left(\cos \theta \cos \theta '+\sin \theta \sin \theta '\cos(\varphi '-\varphi )\right)}.$

Propriétés différentielles

Repère local pour le calcul différentiel.

Les formules de changement de repère, correspondant au passage en coordonnées sphériques (dans le système rayon-colatitude-longitude) sont :

${\begin{cases}x&=\rho \sin \theta \cos \varphi \\y&=\rho \sin \theta \sin \varphi \\z&=\rho \cos \theta \end{cases}}$

d’où la matrice jacobienne

$M={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\rho \cos \theta \cos \varphi &-\rho \sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \sin \varphi &\rho \sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-\rho \sin \theta &0\end{pmatrix}}.$

On construit à partir de ces formules un nouveau repère $(P,{\overrightarrow {u_{\rho }}},{\overrightarrow {u_{\theta }}},{\overrightarrow {u_{\varphi }}})$, dit repère local, pour lequel les vecteurs ${\overrightarrow {u_{\rho }}}$, ${\overrightarrow {u_{\theta }}}$ et ${\overrightarrow {u_{\varphi }}}$ sont colinéaires aux vecteurs colonnes de la matrice M et forment un repère orthonormal direct (en effet, en divisant les deux dernières colonnes par Modèle:Mvar, on obtient une matrice orthogonale directe) ; on démontre qu’ils sont respectivement porté par OP, tangent au méridien passant par P, et tangent au parallèle passant par P ; c'est pour cette raison qu'on dit que ce système de coordonnées est orthogonal.

Différentielles

Le volume infinitésimal s'écrit Modèle:Math. Ainsi, l'intégrale triple sur tout l'espace de la fonction $f(\rho ,\theta ,\varphi )$ s'écrira :

$\ \int \limits _{\varphi =0}^{2\pi }\ \int \limits _{\theta =0}^{\pi }\ \int \limits _{\rho =0}^{\infty }f(\rho ,\theta ,\varphi )\rho ^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .$

• L'élément de surface pour Modèle:Mvar constant s'écrit Modèle:Math
• On en déduit l'élément d'angle solide (en stéradians) : $\mathrm {d} \Omega ={\frac {\mathrm {d} S_{\rho }}{r^{2}}}=\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .$
• L'élément de surface pour Modèle:Mvar constant s'écrit Modèle:Math
• L'élément de surface pour Modèle:Mvar constant s'écrit Modèle:Math

Les vecteurs $({\overrightarrow {u_{\rho }}},{\overrightarrow {u_{\theta }}},{\overrightarrow {u_{\varphi }}})$ ont pour différentielles :

${\begin{aligned}{\text{d}}{\overrightarrow {u_{\rho }}}&={\text{d}}\theta \,{\vec {u}}_{\theta }+\sin \theta \,{\text{d}}\varphi \,{\vec {u}}_{\varphi }\\{\text{d}}{\overrightarrow {u_{\theta }}}&=-{\text{d}}\theta \,{\vec {u}}_{\rho }+\cos \theta \,{\text{d}}\varphi \,{\vec {u}}_{\varphi }\\{\text{d}}{\overrightarrow {u_{\varphi }}}&=-\sin \theta \,{\text{d}}\varphi \,{\vec {u}}_{\rho }-\cos \theta \,{\text{d}}\varphi \,{\vec {u}}_{\theta }\end{aligned}}$

Cinématique

Les calculs de ce paragraphe correspondent à l'étude cinématique d'une courbe paramétrée par le temps t : $t\mapsto M(\rho (t),\theta (t),\varphi (t))$.

On déduit des différentielles précédentes les dérivées par rapport au temps :

${\begin{aligned}{\dot {\overrightarrow {u_{\rho }}}}&={\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }+{\dot {\varphi }}\,\sin \theta \,{\vec {u}}_{\varphi }\\{\dot {\overrightarrow {u_{\theta }}}}&={\dot {\varphi }}\,\cos \theta \,{\vec {u}}_{\varphi }-{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\rho }\\{\dot {\overrightarrow {u_{\varphi }}}}&=-{\dot {\varphi }}\,\sin \theta \,{\vec {u}}_{\rho }-{\dot {\varphi }}\,\cos \theta \,{\vec {u}}_{\theta }\end{aligned}}$,

puis les quantités cinématiques vitesse et accélération :

${\begin{aligned}{\overrightarrow {OM}}&=\rho \,{\overrightarrow {u_{\rho }}}\\{\dot {\overrightarrow {OM}}}&={\dot {\rho }}\,{\overrightarrow {u_{\rho }}}+\rho {\dot {\theta }}\,{\overrightarrow {u_{\theta }}}+\rho \sin \theta \,{\dot {\varphi }}\,{\overrightarrow {u_{\varphi }}}\\{\ddot {\overrightarrow {OM}}}&=({\ddot {\rho }}-\rho {\dot {\theta }}^{2}-\rho {\dot {\varphi }}^{2}\sin ^{2}\theta )\,{\overrightarrow {u_{\rho }}}+(\rho {\ddot {\theta }}+2{\dot {\rho }}{\dot {\theta }}-\rho {\dot {\varphi }}^{2}\sin \theta \,\cos \theta )\,{\overrightarrow {u_{\theta }}}+(\rho {\ddot {\varphi }}\sin \theta +2{\dot {\rho }}{\dot {\varphi }}\sin \theta +2\rho {\dot {\theta }}{\dot {\varphi }}\cos \theta )\,{\overrightarrow {u_{\varphi }}}\end{aligned}}$

Opérateurs différentiels

L'opérateur nabla s'écrit

${\overrightarrow {\nabla }}=\left({\frac {\partial }{\partial \rho }},{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \theta }},{\frac {1}{\rho \sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\right)$

On en déduit les expressions du gradient, du rotationnel, de la divergence et du laplacien :

${\begin{aligned}{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}~f={\overrightarrow {\nabla }}{\vec {\mathrm {A} }}={}&{\partial f \over \partial r}{\hat {\mathbf {r} }}+{1 \over r}{\partial f \over \partial \theta }{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+{1 \over r\sin \theta }{\partial f \over \partial \varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}},\\[8pt]{\overrightarrow {\operatorname {rot} }}\ {\vec {\mathrm {A} }}={\overrightarrow {\nabla }}\wedge {\vec {\mathrm {A} }}={}&{\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\partial \over \partial \theta }\left(A_{\varphi }\sin \theta \right)-{\partial A_{\theta } \over \partial \varphi }\right){\hat {\mathbf {r} }}\\[8pt]&{}+{\frac {1}{r}}\left({1 \over \sin \theta }{\partial A_{r} \over \partial \varphi }-{\partial \over \partial r}\left(rA_{\varphi }\right)\right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}\\[8pt]&{}+{\frac {1}{r}}\left({\partial \over \partial r}\left(rA_{\theta }\right)-{\partial A_{r} \over \partial \theta }\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}},\\[8pt]{\mathrm {div} }~f={\overrightarrow {\nabla }}\cdot {\vec {\mathrm {A} }}={}&{\frac {1}{r^{2}}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}A_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta A_{\theta }\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial A_{\varphi } \over \partial \varphi },\\[8pt]\Delta f={\overrightarrow {\nabla }}^{2}f={}&{1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}\\[8pt]={}&\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)f+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)f+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}f.\end{aligned}}$

Tenseurs usuels

Le tenseur métrique s'écrit

$g_{ij}=\left({\begin{matrix}1&0&0\\0&\rho ^{2}&0\\0&0&\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \end{matrix}}\right)$

et l'intervalle

${\text{d}}s^{2}=c^{2}{\text{d}}t^{2}-{\text{d}}\rho ^{2}-\rho ^{2}{\text{d}}\theta ^{2}-\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \,{\text{d}}\varphi ^{2}.$

Les éléments non nuls du symbole de Christoffel sont

${\begin{aligned}\Gamma _{\theta \theta }^{\rho }&=-\rho \\\Gamma _{\varphi \varphi }^{\rho }&=-\rho \sin ^{2}\theta \\\Gamma _{\rho \theta }^{\theta }=\Gamma _{\theta \rho }^{\theta }&=\rho ^{-1}\\\Gamma _{\varphi \varphi }^{\theta }&=-\cos \theta \,\sin \theta \\\Gamma _{\rho \varphi }^{\varphi }=\Gamma _{\varphi \rho }^{\varphi }&=\rho ^{-1}\\\Gamma _{\varphi \theta }^{\varphi }=\Gamma _{\theta \varphi }^{\varphi }&=\cot \theta \end{aligned}}$

Généralisation en dimension n

Dans l'espace euclidien de dimension n, pour un point de coordonnées cartésiennes (xModèle:Sub, …, xModèle:Sub), on définit les coordonnées hypersphériques (r, θModèle:Sub, …, θModèle:Sub) par

${\begin{matrix}r&=&\|x\|\\x_{1}&=&r\cos \theta _{1}\\x_{2}&=&r\sin \theta _{1}\cos \theta _{2}\\\cdots &&\\x_{n-1}&=&r\sin \theta _{1}\,\cdots \,\sin \theta _{n-2}\cos \theta _{n-1}\\x_{n}&=&r\sin \theta _{1}\,\cdots \,\sin \theta _{n-2}\sin \theta _{n-1}\end{matrix}}$

avec Modèle:Retrait

Les coordonnées sphériques constituent le cas particulier n = 3 (avec un choix convenable de numérotation des axes) et les polaires n = 2 ; on pourra consulter la section correspondante de l'article 3-sphère pour le cas n = 4.