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En [[géométrie euclidienne]] ou [[Espace de Hilbert|hilbertienne]], le '''déterminant de Gram''' permet de calculer des [[volume]]s et de tester l'[[indépendance linéaire]] d'une famille de vecteurs. Il associe des calculs de [[produit scalaire|produits scalaires]] et d'un [[déterminant (mathématiques)|déterminant]]. Son nom est un hommage au mathématicien danois [[Jørgen Pedersen Gram]] ([[1850]]-[[1916]]).

L'article [[déterminant (mathématiques)|déterminant]] montre comment définir le ''volume orienté'' d'un [[parallélotope]] formé par {{mvar|n}} vecteurs dans un espace de dimension {{mvar|n}}, sans nécessité de munir cet espace d'un [[produit scalaire]]. Les déterminants de Gram demandent de définir un tel [[produit scalaire]], permettent le calcul des volumes des parallélotopes de toutes dimensions, mais sans notion d'orientation.

Plus généralement, il est possible de calculer des déterminants de Gram sur un [[espace quadratique]]. En dimension finie, le [[discriminant]] d'une forme bilinéaire symétrique est un cas particulier de déterminant de Gram.

== Définition ==

Soit {{mvar|E}}, un [[espace préhilbertien]] réel. Si {{math|''x''{{ind|1}}, ..., ''x{{ind|n}}''}} sont {{mvar|n}} vecteurs de {{mvar|E}}, la '''[[Matrice (mathématiques)|matrice]] de Gram''' associée est la [[matrice symétrique]] de terme général {{math|(''x{{ind|i}}''{{!}}''x{{ind|j}}'')}} (le produit scalaire des vecteurs {{math|''x{{ind|i}}''}} et {{math|''x{{ind|j}}''}}). Le '''déterminant de Gram''' est le déterminant de cette matrice, soit
<center><math>G(x_1,\dots, x_n)=\begin{vmatrix} (x_1|x_1) & (x_1|x_2) &\dots & (x_1|x_n)\\
 (x_2|x_1) & (x_2|x_2) &\dots & (x_2|x_n)\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
 (x_n|x_1) & (x_n|x_2) &\dots & (x_n|x_n)\end{vmatrix}.</math></center>

== Matrice de Gram ==
Les vecteurs colonnes de la matrice de Gram admettent les mêmes relations de dépendance linéaire (dans l'espace <math>\mathbb{R}^n</math> des ''n''-uplets de réels) que les vecteurs {{math|''x{{ind|i}}''}} dans {{mvar|E}} : si on note {{math|(''C''{{ind|1}}, ..., ''C{{ind|n}}'')}} la famille des vecteurs colonnes de la matrice de Gram, on a pour toute famille de réels {{math|(''a''{{ind|1}}, ..., ''a{{ind|n}}'')}}
:<math>\sum_{i=1}^n a_ix_i=0_E</math> si et seulement si <math>\sum_{i=1}^n a_i C_i = 0_{\mathbb{R^n}}</math>.
Il s'ensuit que la famille de vecteurs {{math|(''x''{{ind|1}}, ..., ''x{{ind|n}}'')}} et sa matrice de Gram ont le même rang.

== Déterminant de Gram ==
=== Propriétés ===

;Écriture à l'aide d'une matrice représentative

Soit <math>\mathcal{B}</math>, une [[Base orthonormée|base orthonormale]] de l'espace engendré par la famille {{math|(''x{{ind|i}}'')}}, et {{mvar|X}}, la matrice représentative de {{math|(''x{{ind|i}}'')}} dans <math>\mathcal{B}</math>. Autrement dit, {{mvar|X}} est la matrice de taille {{math|''d'' × ''n''}} dont la {{mvar|i}}-ème colonne contient les coordonnées du vecteur {{mvar|x{{ind|i}}}} dans <math>\mathcal{B}</math>, {{math|''d''{{=}} rg (''x''{{ind|1}},…,''x{{ind|n}}'') ≤ ''n''}} étant la dimension de <math>\mathcal{B}</math>.

La matrice de Gram de {{math|(''x{{ind|i}}'')}} est alors {{mvar|{{exp|t}}XX}}. Elle est donc [[Matrice autoadjointe positive|autoadjointe positive]], et elle est [[Matrice définie positive|définie positive]] si et seulement si les {{mvar|x{{ind|i}}}} sont linéairement indépendants.

;Effet d'[[opération élémentaire|opérations élémentaires]]

* la multiplication d'un des vecteurs par le réel {{mvar|a}} provoque une multiplication du déterminant de Gram par {{math|''a''{{2}}}}
* le déterminant de Gram est invariant par permutation des {{mvar|x{{ind|i}}}}
* l'ajout à un vecteur d'une combinaison linéaire des autres vecteurs laisse invariant le déterminant de Gram

;Propriétés

* si {{math|''x''{{ind|1}} ⊥ ''x{{ind|i}}''}} pour tout {{math|''i'' ∈ {2, ... , ''n''} }}, alors on a <math>G(x_1,\dotsc, x_n)=||x_1||^2\;G(x_2,\dotsc, x_n)</math>
* le déterminant de Gram d'une famille de ''n'' vecteurs est toujours positif
* il est nul si et seulement si la famille est liée (ce qui est un cas particulier de l'énoncé sur le rang de la famille de Gram). 
{{Démonstration|contenu=
*Si la famille est liée, il existe un indice {{mvar|k}} tel que {{mvar|x{{ind|k}}}} est combinaison linéaire des autres {{mvar|x{{ind|i}}}}, d'où
<center><math>G(x_1,\dotsc, x_n)=G(x_1,\dotsc,x_{k-1},0,x_{k+1},\dotsc, x_n)=0.</math></center>
* Si la famille est libre, alors c'est une base de son sous-espace engendré et {{mvar|X}} est une matrice de passage entre deux bases de même dimension. {{mvar|X}} est donc inversible, et le déterminant de Gram est {{math|det({{exp|''t''}}''XX'') {{=}} det(''X''){{2}}}}, qui est strictement positif.}}

=== Application à la distance d'un vecteur à un sous-espace vectoriel ===

Soit {{mvar|F}}, un sous-espace vectoriel de dimension finie {{mvar|n}} de {{mvar|E}} muni d'une [[Base (algèbre linéaire)|base]] {{math|(''x''{{ind|1}}, ..., ''x{{ind|n}}'')}}, et {{math|''x'' ∈ ''E''}}. {{mvar|x}} admet un [[projection orthogonale|projeté orthogonal]] {{math|''p''(''x'')}} sur {{mvar|F}} et on a 
:<math>G(x,x_1,\dotsc, x_n) = \|x-p(x)\|^2 \cdot G(x_1, \dotsc, x_n)=d(x,F)^2 \cdot G(x_1, \dotsc, x_n)</math>

{{Démonstration|contenu=On a {{math|''x'' {{=}} ''x'' – ''p''(''x'') + ''p''(''x'')}}, et {{math|''p''(''x'')}} est combinaison linéaire des {{mvar|x{{ind|i}}}}, donc
:<math>\begin{align}
    G(x, x_1, \dotsc, x_n)
        &= G(x-p(x),  x_1, \dotsc, x_n) + G(p(x), x_1, \dotsc, x_n)\\
        &= G(x-p(x), x_1, \dotsc, x_n)\\
        &=
            \begin{vmatrix}
                (x-p(x)|x-p(x)) & (x-p(x)|x_1) & \dots & (x-p(x)|x_n)\\
                (x_1|x-p(x))    & (x_1|x_1)    & \dots & (x_1|x_n)\\
                \vdots          & \vdots       &       & \vdots\\
                (x_n|x-p(x))    & (x_n|x_1)    & \dots & (x_n|x_n)
            \end{vmatrix}
\end{align}</math>

Mais  {{math|''x'' {{=}} ''x'' – ''p''(''x'')}} est par définition orthogonal aux {{mvar|x{{ind|i}}}} donc :
:<math>\begin{align}
    G(x,x_1,\dots, x_n)
        &=
            \begin{vmatrix}
                (x-p(x)|x-p(x)) & 0         & \dots & 0\\
                0               & (x_1|x_1) & \dots & (x_1|x_n)\\
                \vdots          & \vdots    &       & \vdots\\
                0               & (x_n|x_1) & \dots & (x_n|x_n)
            \end{vmatrix}\\
        &= \lVert x-p(x) \rVert^2~G(x_1, \dotsc, x_n)
\end{align}</math>}}

=== Application au calcul des composantes d'un vecteur dans une base quelconque ===

Soit {{mvar|F}}, un sous-espace vectoriel de dimension finie {{mvar|n}} de {{mvar|E}} muni d'une base {{math|(''x''{{ind|1}}, ..., ''x{{ind|n}}'')}}, et {{math|''x'' ∈ ''F''}}. 

On pose <math> x = \sum_{i=1}^n p_i x_i</math> . Alors pour tout {{math|''j'' ∈ {1, ... , ''n''} }} on a la relation
:<math>p_j^2\,{G(x_1, \dotsc, x_n)} = G(x_1, \dotsc, x_{j-1},x,x_{j+1}, \dotsc, x_n)</math>
Il ne reste plus qu'à trouver le signe de chaque {{mvar|p{{ind|j}}}} pour déterminer les coordonnées de {{mvar|x}} dans {{math|(''x''{{ind|1}}, ..., ''x{{ind|n}}'')}}.

== Interprétation géométrique ==

=== Calcul des volumes de parallélotopes ===

Le calcul de la distance à un sous-espace permet de montrer par récurrence que le déterminant de Gram d'une famille de {{mvar|n}} vecteurs est égal au carré du volume euclidien du [[parallélotope]] correspondant. 

Pour {{math|''n'' {{=}} 1}}, c'est bien le cas, car {{math|''G''(''x'') {{=}} {{!!}}''x''{{!!}}{{2}}}}.

En supposant la propriété vraie pour toute famille de {{mvar|n}} vecteurs, on l'établit pour {{math|''n'' + 1}} : la distance de {{math|''x''{{ind|''n''+1}}}} à {{mvar|F}}, l'espace engendré par les {{mvar|n}} premiers vecteurs, est le carré de la hauteur du parallélotope, et {{math|''G''(''x''{{ind|1}}, ..., ''x{{ind|n}}'')}} est le carré du volume de la base par hypothèse de récurrence.

Le volume s'obtient donc en prenant la racine carrée du déterminant de Gram, sans qu'il soit possible de lui donner un signe (pour plus de détails sur cette dernière question, consulter l'article [[orientation (mathématiques)|orientation]]).

== Liens externes ==
{{MathWorld|titre=Gram Determinant|nom_url=GramDeterminant}}

{{Palette|Matrices|Algèbre bilinéaire}}
{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Algèbre bilinéaire]]
[[Catégorie:Déterminant|Gram]]