Déterminant de Gram

En géométrie euclidienne ou hilbertienne, le déterminant de Gram permet de calculer des volumes et de tester l'indépendance linéaire d'une famille de vecteurs. Il associe des calculs de produits scalaires et d'un déterminant. Son nom est un hommage au mathématicien danois Jørgen Pedersen Gram (1850-1916).

L'article déterminant montre comment définir le volume orienté d'un parallélotope formé par Modèle:Mvar vecteurs dans un espace de dimension Modèle:Mvar, sans nécessité de munir cet espace d'un produit scalaire. Les déterminants de Gram demandent de définir un tel produit scalaire, permettent le calcul des volumes des parallélotopes de toutes dimensions, mais sans notion d'orientation.

Plus généralement, il est possible de calculer des déterminants de Gram sur un espace quadratique. En dimension finie, le discriminant d'une forme bilinéaire symétrique est un cas particulier de déterminant de Gram.

Définition

Soit Modèle:Mvar, un espace préhilbertien réel. Si Modèle:Math sont Modèle:Mvar vecteurs de Modèle:Mvar, la matrice de Gram associée est la matrice symétrique de terme général Modèle:Math (le produit scalaire des vecteurs Modèle:Math et Modèle:Math). Le déterminant de Gram est le déterminant de cette matrice, soit

$G(x_{1},\dots ,x_{n})={\begin{vmatrix}(x_{1}|x_{1})&(x_{1}|x_{2})&\dots &(x_{1}|x_{n})\\(x_{2}|x_{1})&(x_{2}|x_{2})&\dots &(x_{2}|x_{n})\\\vdots &\vdots &&\vdots \\(x_{n}|x_{1})&(x_{n}|x_{2})&\dots &(x_{n}|x_{n})\end{vmatrix}}.$

Matrice de Gram

Les vecteurs colonnes de la matrice de Gram admettent les mêmes relations de dépendance linéaire (dans l'espace $\mathbb {R} ^{n}$ des n-uplets de réels) que les vecteurs Modèle:Math dans Modèle:Mvar : si on note Modèle:Math la famille des vecteurs colonnes de la matrice de Gram, on a pour toute famille de réels Modèle:Math

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}=0_{E}$ si et seulement si $\sum _{i=1}^{n}a_{i}C_{i}=0_{\mathbb {R^{n}} }$.

Il s'ensuit que la famille de vecteurs Modèle:Math et sa matrice de Gram ont le même rang.

Déterminant de Gram

Propriétés

Écriture à l'aide d'une matrice représentative

Soit ${\mathcal {B}}$, une base orthonormale de l'espace engendré par la famille Modèle:Math, et Modèle:Mvar, la matrice représentative de Modèle:Math dans ${\mathcal {B}}$. Autrement dit, Modèle:Mvar est la matrice de taille Modèle:Math dont la Modèle:Mvar-ème colonne contient les coordonnées du vecteur Modèle:Mvar dans ${\mathcal {B}}$, Modèle:Math étant la dimension de ${\mathcal {B}}$.

La matrice de Gram de Modèle:Math est alors Modèle:Mvar. Elle est donc autoadjointe positive, et elle est définie positive si et seulement si les Modèle:Mvar sont linéairement indépendants.

Effet d'opérations élémentaires

• la multiplication d'un des vecteurs par le réel Modèle:Mvar provoque une multiplication du déterminant de Gram par Modèle:Math
• le déterminant de Gram est invariant par permutation des Modèle:Mvar
• l'ajout à un vecteur d'une combinaison linéaire des autres vecteurs laisse invariant le déterminant de Gram

Propriétés

• si Modèle:Math pour tout Modèle:Math, alors on a $G(x_{1},\dotsc ,x_{n})=||x_{1}||^{2}\;G(x_{2},\dotsc ,x_{n})$
• le déterminant de Gram d'une famille de n vecteurs est toujours positif
• il est nul si et seulement si la famille est liée (ce qui est un cas particulier de l'énoncé sur le rang de la famille de Gram).

Application à la distance d'un vecteur à un sous-espace vectoriel

Soit Modèle:Mvar, un sous-espace vectoriel de dimension finie Modèle:Mvar de Modèle:Mvar muni d'une base Modèle:Math, et Modèle:Math. Modèle:Mvar admet un projeté orthogonal Modèle:Math sur Modèle:Mvar et on a

$G(x,x_{1},\dotsc ,x_{n})=\|x-p(x)\|^{2}\cdot G(x_{1},\dotsc ,x_{n})=d(x,F)^{2}\cdot G(x_{1},\dotsc ,x_{n})$

Application au calcul des composantes d'un vecteur dans une base quelconque

Soit Modèle:Mvar, un sous-espace vectoriel de dimension finie Modèle:Mvar de Modèle:Mvar muni d'une base Modèle:Math, et Modèle:Math.

On pose $x=\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}$ . Alors pour tout Modèle:Math on a la relation

$p_{j}^{2}\,{G(x_{1},\dotsc ,x_{n})}=G(x_{1},\dotsc ,x_{j-1},x,x_{j+1},\dotsc ,x_{n})$

Il ne reste plus qu'à trouver le signe de chaque Modèle:Mvar pour déterminer les coordonnées de Modèle:Mvar dans Modèle:Math.

Interprétation géométrique

Calcul des volumes de parallélotopes

Le calcul de la distance à un sous-espace permet de montrer par récurrence que le déterminant de Gram d'une famille de Modèle:Mvar vecteurs est égal au carré du volume euclidien du parallélotope correspondant.

Pour Modèle:Math, c'est bien le cas, car Modèle:Math.

En supposant la propriété vraie pour toute famille de Modèle:Mvar vecteurs, on l'établit pour Modèle:Math : la distance de Modèle:Math à Modèle:Mvar, l'espace engendré par les Modèle:Mvar premiers vecteurs, est le carré de la hauteur du parallélotope, et Modèle:Math est le carré du volume de la base par hypothèse de récurrence.

Le volume s'obtient donc en prenant la racine carrée du déterminant de Gram, sans qu'il soit possible de lui donner un signe (pour plus de détails sur cette dernière question, consulter l'article orientation).