Voir la source de Formule d'Euler

{{Confusion|texte=Ne doit pas être confondue avec [[Liste_de_sujets_nommés_d%27après_Leonhard_Euler#Formules|d'autres formules dues à Euler]], comme [[Graphe_planaire#Formule_d'Euler_et_cons%C3%A9quences|celle concernant les graphes planaires]].}}
[[Image:Euler's formula.svg|droite|vignette|<center>Formule d'Euler</center> <math>\mathrm e^{\mathrm i\varphi}=\cos(\varphi)+\mathrm i\sin(\varphi)</math>]]
La '''formule d'Euler''' est une [[Identité remarquable|égalité]] [[Mathématiques|mathématique]], attribuée au [[mathématicien]] [[suisse]] [[Leonhard Euler]]. Elle s'écrit, pour tout [[nombre réel]] {{math|''x''}},
<center><math>\mathrm e^{\mathrm i\,x} = \cos x+ \mathrm i\,\sin x</math></center>
et se généralise aux {{mvar|x}} [[Nombre complexe|complexes]].

Ici, le [[e (nombre)|nombre {{math|e}}]] est la [[Logarithme|base]] des [[Logarithme naturel|logarithmes naturels]], {{math|i}} est l'[[unité imaginaire]], {{math|sin}} et {{math|cos}} sont des [[fonction trigonométrique|fonctions trigonométriques]].

== Description ==
Cette formule peut être interprétée en disant que la fonction {{math|''x ''↦ e{{exp|i''x''}}}}, appelée '''fonction cis'''<ref>{{en}} Alan Sultan et Alice F. Artzt, ''The mathematics that every secondary school math teacher needs to know'', Studies in Mathematical Thinking and Learning, Taylor & Francis, 2010, [https://books.google.fr/books?id=N16lz_AsU4AC&pg=PA326 p. 326].</ref>, [[Paramétrage|décrit]] le [[cercle]] unité dans le [[plan complexe]] lorsque {{math|''x''}} varie dans l'ensemble des nombres réels.<br/>
{{math|''x''}} représente la mesure de l'[[Angle#Angles orientés dans le plan|angle orienté]] que fait la demi-droite d'extrémité l'origine et passant par un point du cercle unité avec la demi-droite des réels positifs. La formule n'est valable que si {{math|sin}} et {{math|cos}} ont des arguments exprimés en radians plutôt qu'en degrés.

La démonstration est fondée sur les développements de la fonction [[exponentielle complexe|exponentielle]] {{math|''z ''↦ e{{exp|''z''}}}} de la variable complexe {{math|''z''}} et des fonctions {{math|sin}} et {{math|cos}} considérées à variables réelles.<br/>
En fait, la même démonstration montre que la formule d'[[Leonhard Euler|Euler]] est encore valable pour tous les nombres complexes {{math|''x''}}.

La formule établit un puissant lien entre l'[[Analyse (mathématiques)|analyse]] et la [[trigonométrie]]. Selon [[Richard Feynman]], c'est {{citation|l'une des formules les plus remarquables […] de toutes les mathématiques<ref>{{Feynman Lectures on Physics}}, vol. 1, p. 22, d'après {{en}} « [[q:en:Euler's identity|Euler's identity]] » sur [[Wikiquote]].</ref>.}} Elle est utilisée pour représenter les nombres complexes sous forme trigonométrique et permet la définition du [[logarithme]] pour les arguments complexes. En utilisant les propriétés de l'exponentielle
: <math>{\rm e}^{a + b}={\rm e}^a{\rm e}^b</math>
et
: <math>({\rm e}^a)^k={\rm e}^{a k}</math>
(qui sont aussi valables pour tous les nombres complexes {{math|''a'', ''b''}} et pour tout entier {{math|''k''}}), il devient facile de dériver plusieurs [[identité trigonométrique|identités trigonométriques]] ou d'en déduire la [[formule de Moivre]]. La formule d'Euler permet une interprétation des fonctions cosinus et sinus comme [[combinaison linéaire|combinaisons linéaires]] de fonctions exponentielles :
: <math>\cos(x) = \displaystyle\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,x} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\,x}}{2}</math>
: <math>\sin(x) = \displaystyle\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,x} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\,x}}{2\mathrm{i}\,}</math>
Ces formules (aussi appelées '''formules d'Euler''') constituent la définition moderne des fonctions <math>\cos</math> et <math>\sin</math> (y compris [[Trigonométrie complexe|lorsque {{math|''x''}} est une variable complexe]])<ref>{{Ouvrage|titre=Cours d'analyse|titre volume=Analyse complexe|vol=2|auteur=Srishti D. Chatterji|éditeur=[[PPUR]]|year=1997|url={{Google Livres|oMbaI618xmMC|page=96}}|page=96}}.</ref> et [[Système d'équations linéaires|sont équivalentes]]<ref>{{Harvsp|Chatterji|1997|p=97}}.</ref> à la formule d'Euler (appliquée à {{math|''x''}} et à {{math|–''x''}}), ''qui devient alors une [[tautologie]]''.

Dans les équations différentielles, la fonction {{math|''x ''↦ e{{exp|i''x''}}}}, est souvent utilisée pour simplifier les dérivations, même si le problème est de déterminer les solutions réelles exprimées à l'aide de sinus et cosinus. L'[[identité d'Euler]] est une conséquence immédiate de la formule d'Euler.

En [[électrotechnique]] et dans d'autres domaines, les signaux qui varient périodiquement en fonction du temps sont souvent décrits par des combinaisons linéaires des fonctions sinus et cosinus (voir [[analyse de Fourier]]), et ces dernières sont plus commodément exprimées comme parties réelles de fonctions exponentielles avec des exposants imaginaires, en utilisant la formule d'Euler.

== Démonstrations ==
=== Par les séries de Taylor ===
{{article détaillé|Série de Taylor}}
{{Section à sourcer|date=septembre 2017}}
Le développement en série de la fonction {{math|exp}} de la [[Variable (mathématiques)|variable]] réelle {{math|''t''}} peut s'écrire :

: <math>{\mathrm{e}}^t= \frac{t^0}{0\,!} + \frac{t^1}{1\,!} + \frac{t^2}{2\,!} + \frac{t^3}{3\,!} + \frac{t^4}{4\,!} + \cdots 
           = \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n\,!} </math>

et s'étend à tout nombre complexe {{math|''t''}} : le développement en série de Taylor reste [[convergence absolue|absolument convergent]] et définit l'exponentielle complexe.

En particulier pour {{math|''t ''{{=}} i''x''}} avec {{math|''x''}} réel :

: <math>
{\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}\,}x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{{({\mathrm{i}\,}x)}^n}{n\,!}
       = \sum_{n=0}^\infty \frac{{\mathrm{i}\,}^n x^n}{n\,!}\cdot
</math>

Cette série, séparée en deux, devient, en utilisant le fait que <math>\mathrm{i}\,^{2k}=(\mathrm{i}\,^{2})^{k}=(-1)^{k}</math> :

: <math>
\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,x}=\sum_{k=0}^\infty\frac{\mathrm{i}\,^{2k}x^{2k}}{(2k)\,!}+\sum_{k=0}^\infty\frac{\mathrm{i}\,^{2k+1}x^{2k+1}}{(2k+1)\,!}
=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)\,!}+\mathrm{i}\,\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)\,!}\cdot
</math>

{{refnec|date=septembre 2017|On voit ''ainsi'' apparaître les développements en série de Taylor des fonctions cosinus et sinus}} :

: <math> \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2\,!} + \frac{x^4}{4\,!} - \frac{x^6}{6\,!} + \cdots 
              = \sum_{k=0}^\infty
           \frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)\,!}</math>

: <math> \sin(x) = x - \frac{x^3}{3\,!} + \frac{x^5}{5\,!} - \frac{x^7}{7\,!} + \cdots 
              =\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)\,!}
</math>

ce qui, en remplaçant dans l'expression précédente de {{math|e{{exp|i''x''}}}}, donne bien :

: <math>\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,x} = \cos(x) + \mathrm{i}\,\sin(x).</math>

=== Par le [[calcul différentiel]] ===
{{article détaillé|Exponentielle de base a#Par une équation différentielle{{!}}§ « Par une équation différentielle » de l'article sur l'exponentielle de base ''a''}}

Pour tout nombre complexe {{math|''k''}}, la seule [[application (mathématiques)|application]] {{math|''f''}} : ℝ → ℂ vérifiant ''{{math|1=f ' = kf}}'' et {{math|1=''f''(0) = 1}} est l'application {{math|''x'' ↦ exp(''kx'')}} (la démonstration est identique à celle pour {{math|''k''}} réel, donnée dans l'article détaillé).

L'application {{math|''f''}} définie par
{{retrait|<math>f(x)=\cos x+{\rm i}\sin x</math>}}
vérifie
{{retrait|<math>f'={\rm i}f\text{ et }f(0)=1.</math>}}

Elle coïncide donc avec l'application {{math|''x'' ↦ exp(i''x'')}}.

== Historique ==
{{Loupe|Histoire des nombres complexes}}
La formule d'Euler fut mise en évidence pour la première fois par [[Roger Cotes]] en 1714 sous la forme {{math|1=ln(cos ''x'' + i sin ''x'') = i''x''}} (où {{math|ln}} désigne le [[logarithme népérien]], c'est-à-dire le logarithme de base {{math|e}})<ref>{{Flament}}, p. 80.</ref>{{,}}<ref>{{Stillwell}}, p. 294.</ref>. Ce fut Euler qui publia la formule sous sa forme actuelle en 1748, en basant sa démonstration sur la [[formule de Moivre]] et à l'aide d'équivalents et de passages à la limite<ref> L. Euler, ''Introduction à l'analyse infinitésimale'', [https://books.google.fr/books?id=XMo7AAAAcAAJ&hl=fr&pg=PA102 article 138].</ref>{{,}}<ref>{{Harvsp|Flament|2003|p=83-84}}.</ref>. Aucun des deux mathématiciens ne donna une interprétation géométrique de la formule : l'interprétation des nombres complexes comme des affixes de points d'un [[plan complexe|plan]] ne fut vraiment évoquée que cinquante années plus tard (voir [[Caspar Wessel]]).

== Applications ==
*La formule d'Euler permet d'affirmer que la [[Logarithme complexe#Détermination principale|détermination principale du logarithme complexe]] de <math>\cos x+\mathrm i\,\sin x</math> est <math>\mathrm ix</math>, pour tout <math>x\in\left]-\pi,\pi\right[</math>.
* Un exemple d'application en [[électromagnétisme]] est le [[courant alternatif]] : puisque la [[différence de potentiel]] d'un tel circuit [[onde|oscille]], elle peut être représentée par un [[nombre complexe]] :{{Retrait|<math> V = V_0{\rm e}^{{\rm i}\omega t} = V_0 \left (\cos \omega t +{\rm i}\sin\omega t \right ).</math>}}Afin d'obtenir une quantité mesurable, on prend la partie réelle<ref>Voir des exemples dans : ''Electromagnetism'' ({{2e|édition}}), I.S. Grant, W.R. Phillips, Manchester Physics Series, 2008 {{ISBN|0-471-92712-0}}.</ref> :{{Retrait|
<math> \mathrm{Re} (V) = \mathrm{Re}\left [ V_0{\rm e}^{{\rm i}\omega t} \right ] = V_0 \cos \omega t.</math>}}
* La [[Identité trigonométrique#Linéarisation|linéarisation]], qui repose sur la formule d'Euler et la [[formule du binôme de Newton]], transforme tout [[Polynôme en plusieurs indéterminées|polynôme]] en {{math|cos(''x'')}} et {{math|sin(''x'')}} en une [[combinaison linéaire]] de divers {{math|cos(''nx'')}} et {{math|sin(''nx'')}}, ce qui rend alors immédiat le calcul de ses [[primitive]]s.

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Théorème de Descartes-Euler]]
* [[Triangle#Droite et cercle d'Euler|Relation d'Euler]] dans le triangle
* [[Méthode d'Euler]], calcul approché d'équations différentielles et de primitives
* [[Identité d'Euler]], la fameuse identité : {{math|e{{exp|iπ}}}} + 1 = 0

== Références ==
<references/>

{{Palette|Nombre e}}
{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Analyse complexe]]
[[Catégorie:Théorème d'analyse|Euler (formule)]]
[[Catégorie:Leonhard Euler]]
[[Catégorie:Exponentielle]]
[[Catégorie:Trigonométrie]]