Formule d'Euler

Formule d'Euler $\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }=\cos(\varphi )+\mathrm {i} \sin(\varphi )$

La formule d'Euler est une égalité mathématique, attribuée au mathématicien suisse Leonhard Euler. Elle s'écrit, pour tout nombre réel Modèle:Math,

$\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,x}=\cos x+\mathrm {i} \,\sin x$

et se généralise aux Modèle:Mvar complexes.

Ici, le [[e (nombre)|nombre Modèle:Math]] est la base des logarithmes naturels, Modèle:Math est l'unité imaginaire, Modèle:Math et Modèle:Math sont des fonctions trigonométriques.

Description

Cette formule peut être interprétée en disant que la fonction Modèle:Math, appelée fonction cis, décrit le cercle unité dans le plan complexe lorsque Modèle:Math varie dans l'ensemble des nombres réels.
Modèle:Math représente la mesure de l'angle orienté que fait la demi-droite d'extrémité l'origine et passant par un point du cercle unité avec la demi-droite des réels positifs. La formule n'est valable que si Modèle:Math et Modèle:Math ont des arguments exprimés en radians plutôt qu'en degrés.

La démonstration est fondée sur les développements de la fonction exponentielle Modèle:Math de la variable complexe Modèle:Math et des fonctions Modèle:Math et Modèle:Math considérées à variables réelles.
En fait, la même démonstration montre que la formule d'Euler est encore valable pour tous les nombres complexes Modèle:Math.

La formule établit un puissant lien entre l'analyse et la trigonométrie. Selon Richard Feynman, c'est Modèle:Citation Elle est utilisée pour représenter les nombres complexes sous forme trigonométrique et permet la définition du logarithme pour les arguments complexes. En utilisant les propriétés de l'exponentielle

${\rm {e}}^{a+b}={\rm {e}}^{a}{\rm {e}}^{b}$

et

$({\rm {e}}^{a})^{k}={\rm {e}}^{ak}$

(qui sont aussi valables pour tous les nombres complexes Modèle:Math et pour tout entier Modèle:Math), il devient facile de dériver plusieurs identités trigonométriques ou d'en déduire la formule de Moivre. La formule d'Euler permet une interprétation des fonctions cosinus et sinus comme combinaisons linéaires de fonctions exponentielles :

$\cos(x)=\displaystyle {\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,x}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,x}}{2}}$

$\sin(x)=\displaystyle {\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,x}}{2\mathrm {i} \,}}$

Ces formules (aussi appelées formules d'Euler) constituent la définition moderne des fonctions $\cos$ et $\sin$ (y compris [[Trigonométrie complexe|lorsque Modèle:Math est une variable complexe]]) et sont équivalentes à la formule d'Euler (appliquée à Modèle:Math et à Modèle:Math), qui devient alors une tautologie.

Dans les équations différentielles, la fonction Modèle:Math, est souvent utilisée pour simplifier les dérivations, même si le problème est de déterminer les solutions réelles exprimées à l'aide de sinus et cosinus. L'identité d'Euler est une conséquence immédiate de la formule d'Euler.

En électrotechnique et dans d'autres domaines, les signaux qui varient périodiquement en fonction du temps sont souvent décrits par des combinaisons linéaires des fonctions sinus et cosinus (voir analyse de Fourier), et ces dernières sont plus commodément exprimées comme parties réelles de fonctions exponentielles avec des exposants imaginaires, en utilisant la formule d'Euler.

Démonstrations

Par les séries de Taylor

Modèle:Article détaillé Modèle:Section à sourcer Le développement en série de la fonction Modèle:Math de la variable réelle Modèle:Math peut s'écrire :

${\mathrm {e} }^{t}={\frac {t^{0}}{0\,!}}+{\frac {t^{1}}{1\,!}}+{\frac {t^{2}}{2\,!}}+{\frac {t^{3}}{3\,!}}+{\frac {t^{4}}{4\,!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n\,!}}$

et s'étend à tout nombre complexe Modèle:Math : le développement en série de Taylor reste absolument convergent et définit l'exponentielle complexe.

En particulier pour Modèle:Math avec Modèle:Math réel :

${\mathrm {e} }^{{\mathrm {i} \,}x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{({\mathrm {i} \,}x)}^{n}}{n\,!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{\mathrm {i} \,}^{n}x^{n}}{n\,!}}\cdot$

Cette série, séparée en deux, devient, en utilisant le fait que $\mathrm {i} \,^{2k}=(\mathrm {i} \,^{2})^{k}=(-1)^{k}$ :

$\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,x}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\mathrm {i} \,^{2k}x^{2k}}{(2k)\,!}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\mathrm {i} \,^{2k+1}x^{2k+1}}{(2k+1)\,!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k}}{(2k)\,!}}+\mathrm {i} \,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{(2k+1)\,!}}\cdot$

Modèle:Refnec :

$\cos(x)=1-{\frac {x^{2}}{2\,!}}+{\frac {x^{4}}{4\,!}}-{\frac {x^{6}}{6\,!}}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k}}{(2k)\,!}}$

$\sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{3\,!}}+{\frac {x^{5}}{5\,!}}-{\frac {x^{7}}{7\,!}}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{(2k+1)\,!}}$

ce qui, en remplaçant dans l'expression précédente de Modèle:Math, donne bien :

$\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,x}=\cos(x)+\mathrm {i} \,\sin(x).$

Par le calcul différentiel

Pour tout nombre complexe Modèle:Math, la seule application Modèle:Math : ℝ → ℂ vérifiant Modèle:Math et Modèle:Math est l'application Modèle:Math (la démonstration est identique à celle pour Modèle:Math réel, donnée dans l'article détaillé).

L'application Modèle:Math définie par Modèle:Retrait vérifie Modèle:Retrait

Elle coïncide donc avec l'application Modèle:Math.

Historique

Modèle:Loupe La formule d'Euler fut mise en évidence pour la première fois par Roger Cotes en 1714 sous la forme Modèle:Math (où Modèle:Math désigne le logarithme népérien, c'est-à-dire le logarithme de base Modèle:Math)Modèle:,. Ce fut Euler qui publia la formule sous sa forme actuelle en 1748, en basant sa démonstration sur la formule de Moivre et à l'aide d'équivalents et de passages à la limiteModèle:,. Aucun des deux mathématiciens ne donna une interprétation géométrique de la formule : l'interprétation des nombres complexes comme des affixes de points d'un plan ne fut vraiment évoquée que cinquante années plus tard (voir Caspar Wessel).

Applications

• La formule d'Euler permet d'affirmer que la détermination principale du logarithme complexe de $\cos x+\mathrm {i} \,\sin x$ est $\mathrm {i} x$, pour tout $x\in \left]-\pi ,\pi \right[$.
• Un exemple d'application en électromagnétisme est le courant alternatif : puisque la différence de potentiel d'un tel circuit oscille, elle peut être représentée par un nombre complexe :Modèle:RetraitAfin d'obtenir une quantité mesurable, on prend la partie réelle :Modèle:Retrait
• La linéarisation, qui repose sur la formule d'Euler et la formule du binôme de Newton, transforme tout polynôme en Modèle:Math et Modèle:Math en une combinaison linéaire de divers Modèle:Math et Modèle:Math, ce qui rend alors immédiat le calcul de ses primitives.

Voir aussi

Articles connexes

• Théorème de Descartes-Euler
• Relation d'Euler dans le triangle
• Méthode d'Euler, calcul approché d'équations différentielles et de primitives
• Identité d'Euler, la fameuse identité : Modèle:Math + 1 = 0