3-variété

En mathématiques, une 3-variété est une variété de dimension 3, au sens des variétés topologiques, Modèle:Lien ou différentielles (en dimension 3, ces catégories sont équivalentes).

Certains phénomènes sont liés spécifiquement à la dimension 3, si bien qu'en cette dimension, des techniques particulières prévalent, qui ne se généralisent pas aux dimensions supérieures. Cette spécificité des 3-variétés a conduit à la découverte de leurs relations étroites avec de multiples domaines comme la théorie des nœuds, la théorie géométrique des groupes, la géométrie hyperbolique, la théorie des nombres, la Modèle:Lien, la théorie quantique des champs Modèle:Lien, les théories de jauge, l'homologie de Floer et les équations aux dérivées partielles.

La théorie des 3-variétés fait partie de la topologie en basses dimensions, donc de la topologie géométrique.

Une idée clé de cette théorie est d'étudier une 3-variété M en considérant des surfaces particulières plongées dans M. Choisir la surface « bien placée » dans la 3-variété mène à l'idée de Modèle:Lien et à la théorie des Modèle:Lien ; la choisir telle que les morceaux du complémentaire soient le plus « agréables » possible conduit aux Modèle:Lien, utiles même dans le cas non-Haken.

Les 3-variétés possèdent souvent une structure additionnelle : l'une des huit géométries de Thurston (dont la plus courante est l'hyperbolique). L'utilisation combinée de cette géométrie et des surfaces plongées s'est révélée fructueuse.

Le groupe fondamental d'une 3-variété donne beaucoup d'informations sur sa géométrie et sa topologie, d'où l'interaction entre théorie des groupes et méthodes topologiques.

Exemples importants de 3-variétés

• Espace euclidien de dimension 3
• 3-sphère SModèle:3
• Groupe spécial orthogonal SO(3) (ou espace projectif réel RPModèle:3)
• Tore TModèle:3
• Modèle:Lien HModèle:3
• Sphère d'homologie de Poincaré
• Modèle:Lien
• Modèle:Lien

Quelques classes importantes de 3-variétés

(Ces classes ne sont pas disjointes.)

• Modèle:Lien
• Compléments de nœuds ou d'entrelacs hyperboliques (Modèle:Lien, Modèle:Lien, anneaux borroméens…)
• Modèle:Lien
• 3-Sphères d'homologie
• Modèle:Lien
• Fibrés en surfaces sur le cercle, en particulier tores d'homéomorphismes du tore TModèle:2
• Fibrés en intervalles ou en cercles sur une surface
• Variétés de Seifert
• 3-variétés munies d'une structure de contact

Résultats fondamentaux

Certains de ces théorèmes ont conservé leurs noms historiques de conjectures.

Commençons par les résultats purement topologiques :

• Théorème de Modèle:Lien – Toute 3-variété possède une triangulation, unique à subdivison commune près.
  • Corollaire – Toute 3-variété compacte possède une décomposition de Heegard.
• Théorème de décomposition de Milnor
• Lemme de finitude de Kneser-Haken
• Théorèmes de la boucle et de la sphère de Papakyriakopoulos
• Théorèmes de la couronne et du tore
• Modèle:Lien de Modèle:Lien-Modèle:Lien et Modèle:Lien
• Modèle:Lien
• Modèle:Lien
• Théorèmes de rigidité topologique de Modèle:Lien

Des théorèmes où la géométrie joue un rôle important dans la preuve :

• Conjecture de Modèle:Lien, selon laquelle pour tout difféomorphisme de SModèle:3 d'ordre fini, le cercle des points fixes est non noué.
• Modèle:Lien

Des résultats qui relient explicitement géométrie et topologie :

• Théorème de Thurston de Modèle:Lien
• Théorème de Modèle:Lien-Thurston, selon lequel l'ordre, sur l'ensemble des volumes finis de 3-variétés hyperboliques, est de type $\omega ^{\omega }$
• Conjecture de géométrisation de Thurston
• Conjecture de Poincaré
• Modèle:Lien, ou théorème des bouts géométriquement sages
• Modèle:Lien

Références

• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage