Action (physique)

En physique théorique, l’action est une grandeur physique, caractérisant globalement l'état d'un système et son évolution. C'est une grandeur fonctionnelle, qui prend en argument la trajectoire du système et la décrit globalement par un scalaire. L'évolution du système obéit au principe de moindre action, ce qui permet de déterminer en chaque point de la trajectoire l'équation du mouvement gouvernant le futur de ce système.

C'est une grandeur physique ayant pour dimension le produit d'une énergie par un temps, ou de manière équivalente, d'une quantité de mouvement par un vecteur déplacement. Le moment cinétique a la même dimension qu'une action, mais il s'agit d'une grandeur vectorielle.

Définition

Il y a plusieurs manières usuelles de définir l'action en physiqueModèle:,. L'action est généralement une intégrale par rapport au temps ; mais elle peut également comprendre des intégrations par rapport à des grandeurs spatiales. Dans certains cas, l'intégration se fait sur la trajectoire suivie par le système.

Typiquement, l'action se présente comme l'intégrale par rapport au temps entre un temps initial et le temps d'observation du système d'une quantité L appelée le lagrangien de ce système, qui est typiquement la différence entre l'énergie cinétique et l'énergie potentielle :

${\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L\,dt$

L'action a donc la dimension d'une énergie multipliée par un temps.

L'action est une grandeur physique qui ne se mesure pas ; elle n'intervient que comme auxiliaire de modélisation en physique théorique, pour déterminer la forme mathématique de l'équation du mouvement.

Principe de moindre action

Énoncé

L'importance de l'action en physique est due à l'existence d'un principe très général, appelé principe de moindre action : le trajet effectivement suivi par un objet entre deux points donnés est celui qui conduit à une valeur stationnaire de l’action. Lorsque la trajectoire reliant les deux points est suffisamment petite, cet extremum de l'action est un minimum, d'où le nom donné au principe.

Commentaires

Par exemple, en mécanique, au lieu de penser accélération sous l’effet de forces, on raisonne en matière de chemin d’action stationnaire.

Ce principe de moindre action s’est avéré simple, puissant et général à la fois en mécanique classique où il est strictement équivalent aux lois de Newton et en mécanique quantique ou relativiste et en électromagnétisme où sa généralisation a été très fructueuse.

Beaucoup de problèmes de physique peuvent être résolus en partant de ce principe :

• que ce soit pour trouver le trajet du maître nageur pour atteindre le plus rapidement une personne en train de se noyer ou pour trouver le parcours de la lumière ou le trajet dans un champ gravitationnel d’un point à un autre ;
• que ce soit pour établir les équations de Maxwell ou les bases de la mécanique quantique dans la formulation de Feynman en intégrale de chemin.

Les symétries d’une situation physique peuvent être mieux traitées, par exemple en utilisant le théorème de Noether qui établit qu’à toute symétrie continue correspond une loi de conservation.

D’abord formulé par Pierre Louis Moreau de Maupertuis, puis développé par Euler et surtout Lagrange (Pierre de Fermat avait déjà établi un principe de moindre temps pour le trajet de la lumière), le principe de moindre action avait conduit à la formulation lagrangienne et hamiltonienne de la mécanique classique.

Ce principe est un des plus importants principes de base de la physique.

Formalisation

Un lagrangien ${\mathcal {L}}[\varphi _{i}]$, appelé ainsi en l’honneur de Joseph Louis Lagrange, est une fonction des variables dynamiques $\ \varphi _{i}(s)$ qui décrit de façon concise les équations de mouvement du système

Les équations du mouvement s’obtiennent selon le principe d’action stationnaire en écrivant que :

${\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi _{i}}}=0$

où l’action est :

${\mathcal {S}}[\varphi _{i}]=\int {{\mathcal {L}}[\varphi _{i}(s)]{}\,d^{n}s},$

${}{}{}{}\ s_{\alpha }$ désigne une base de variables.

Les équations du mouvement obtenues ainsi sont identiques aux équations d’Euler-Lagrange et forment un système dynamique lagrangien

Les exemples de systèmes dynamiques lagrangiens vont du modèle standard aux équations de Newton à des problèmes de mathématiques pures tels que les équations géodésiques.

Un exemple de mécanique classique

La mécanique lagrangienne est une reformulation de la mécanique classique. Le lagrangien est défini comme l'énergie cinétique moins l'énergie potentielle :

${\mathcal {L}}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}m{\dot {\vec {x}}}^{2}-V({\vec {x}}).$

L’équation d'Euler-Lagrange associée s'écrit alors :

$m{\ddot {\vec {x}}}+\nabla V({\vec {x}})=0.$

Si l'on considère que ${\vec {F}}=-\nabla V(x)$, on retrouve la deuxième loi de Newton c'est-à-dire :

$m{\ddot {\vec {x}}}={\vec {F}}.$

En coordonnées sphériques (r, θ, φ), le lagrangien s’écrit :

${\frac {m}{2}}({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}^{2})-V(r).$

Les équations d’Euler-Lagrange donnent alors :

$m{\ddot {r}}-mr({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}^{2})+V'=0,$

${\frac {d}{dt}}(mr^{2}{\dot {\theta }})-mr^{2}\sin \theta \cos \theta {\dot {\varphi }}^{2}=0,$

${\frac {d}{dt}}(mr^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }})=0.$

Dans ce cas le paramètre $\ s_{i}$ est simplement le temps, et les variables dynamiques $\ \phi _{i}(s)$ donnent la trajectoire ${\vec {x}}(t)$ de la particule.

Voir aussi

• Principe de moindre action
• Mécanique lagrangienne
• Théorème de Noether
• Mécanique hamiltonienne
• Action d'Einstein-Hilbert