Action par conjugaison

Modèle:Voir homonymes En mathématiques, et plus précisément en théorie des groupes, une action par conjugaison est un cas particulier d'action de groupe. L'ensemble sur lequel agit le groupe G est ici G lui-même.

Définitions

En effet, [[Automorphisme intérieur#Automorphisme intérieur|autModèle:Ind∘autModèle:Ind = autModèle:Ind]].

Les classes de conjugaison sont utilisées pour la démonstration du théorème de Wedderburn stipulant que tout corps fini est commutatif.
Dans le cadre de la théorie des représentations d'un groupe fini, les classes de conjugaison sont à la base de la définition des fonctions centrales d'un groupe fini, elles servent à définir l'espace vectoriel, les caractères des représentations. Dans le même contexte, on les retrouve pour l'analyse du centre d'une algèbre d'un groupe.
Les automorphismes intérieurs sont utilisés pour la démonstration des théorèmes de Sylow, du théorème de Frattini et dans de nombreuses démonstrations concernant les groupes.
La diagonalisation de matrices consiste à trouver une bonne action par conjugaison égale à une matrice donnée.
La conjugaison d'un quaternion purement imaginaire par un quaternion unitaire équivaut à la rotation d'un vecteur de l'espace à trois dimensions. La conjugaison d'un quaternion purement imaginaire par un quaternion quelconque équivaut à une similitude.

Les classes de conjugaison d'un groupe symétrique sont composées de produits de cycles à supports disjoints de même structure. Ceci signifie que le nombre de cycles de même longueur est le même pour chaque élément d'une classe de conjugaison.
Les classes de conjugaison d'un groupe alterné et du groupe simple d'ordre 168 sont étudiées dans l'article associé.

Quand G est commutatif, l'action par conjugaison est l'identité.
Les classes de conjugaison constituent une partition de G associée à la relation d'équivalence :Modèle:Retrait
Un élément g de G fixe un élément particulier x si et seulement si g est élément du centralisateur ZModèle:Ind de x :Modèle:RetraitLa formule des classes montre alors que, si CModèle:Ind désigne la classe de conjugaison de x :Modèle:Retraiten particulier le cardinal de toute classe de conjugaison divise le cardinal de G.
Un élément g de G fixe donc tout élément de G si et seulement si g appartient au centre Z(G) de G. Plus généralement, $aut_{g}=aut_{g'}$ ssi g = g' mod Z(G). Par conséquent, l'action de G (sur G) induit une action (sur G) du groupe quotient G/Z(G).
L'orbite CModèle:Ind est réduite à {x} si et seulement si x appartient au centre de G. En choisissant un représentant x_i par classe de conjugaison disjointe du centre, la formule précédente donne donc l'équation aux classes :Modèle:Retrait