Annulateur d'une partie d'un module

Soit M un module sur un anneau A et S une partie de M. On appelle annulateur de S et on note Ann(S) l'ensemble :

$Ann(S)=\{\alpha \in A:\forall x\in S,\alpha \cdot x=0\}$

Si M est un module à gauche, alors Ann(S) est un idéal à gauche de A, et si M est un module à droite, alors Ann(S) est un idéal à droite de A. On peut cependant remarquer que quel que soit le type de module considéré, Ann(M) est un idéal bilatère.

En effet, si M est un module à gauche, alors Ann(M) est un idéal à gauche. Et si $\alpha \in Ann(M)$, et $\beta \in A$, alors $\forall x\in M,(\alpha \beta )\cdot x=\alpha \cdot (\beta \cdot x)=0$ (car $\alpha \in Ann(M)$ et que $\beta \cdot x\in M$) donc $\alpha \beta \in Ann(M)$, ce qui prouve que $Ann(M)$ est également un idéal à droite de A.

(On pouvait également remarquer que Ann(M) n'est autre que le noyau du morphisme d'anneaux $\psi :A\to End(M)$)

Un élément x de M est dit simple, si $\forall \alpha \in A,\alpha \cdot x=0\Rightarrow \alpha =0$, autrement dit si Ann({x}) = {0}.