Anticoïndicateur
En mathématiques, un Modèle:Refnec est un entier strictement positif n qui ne peut pas être exprimé comme la différence entre un entier m > 0 et le nombre des entiers compris entre 1 et m et premiers avec m. Exprimé algébriquement, m – φ(m) = n, où m est l'inconnue, et φ désigne la fonction indicatrice d'Euler, ne possède pas de solution.
Il a été conjecturé que tous les anticoïndicateurs sont pairs. Ceci découle d'une forme modifiée de la conjecture de Goldbach : si le nombre pair n peut être représenté comme une somme de deux nombres premiers distincts p et q, alors
On s'attend à ce que chaque nombre pair plus grand que 6 soit une somme de nombres premiers distincts, donc à ce qu'aucun nombre impair plus grand que 5 ne soit un anticoïndicateur. Les nombres pairs restants sont couverts par les observations suivantes : 1 = 2 – φ(2), 3 = 9 – φ(9) et 5 = 25 – φ(25).
La suite des anticoïndicateurs (Modèle:OEIS) commence par : 10, 26, 34, 50, 52.
Paul Erdős et Wacław Sierpiński se sont demandé s'il existe une infinité d'anticoïndicateurs. Ceci fut finalement résolu par l'affirmative par Modèle:Lien et Andrzej Schinzel (1995), qui ont montré que tout entier de la forme 2k.509 203 est un anticoïndicateur. Depuis, Flammenkamp et Luca[1] ont trouvé d'autres suites infinies, analogues, d'anticoïndicateurs.
Notes et références
Modèle:Traduction/Référence Modèle:Références