Application non expansive

En mathématiques, une application non expansive entre espaces normés est une application 1-lipschitzienne. Il s'agit donc du cas limite des applications contractantes, qui sont les applications k-lipschitziennes pour un k < 1.

Contrairement aux applications contractantes, les applications non expansives n'ont pas nécessairement de point fixe (par exemple, une translation de vecteur non nul est non expansive et n'a pas de point fixe). Par ailleurs, même si une application non expansive Modèle:Math a un point fixe, une suite d'[[Composition de fonctions#Puissances fonctionnelles|itérés Modèle:Math]] ne converge pas nécessairement vers un tel point (c'est le cas pour une symétrie centrale) ; on peut toutefois obtenir des résultats de convergence vers un point fixe d'au moins deux manières : soit en imposant des conditions plus restrictives sur l'application (sans toutefois aller jusqu'à la contraction), soit en modifiant la suite des itérés.

Définitions

Modèle:Ancre Soient $(E,\|\cdot \|)$ un espace normé, $P$ un fermé de $E$ et $T:P\to E$ une application (non nécessairement linéaire).

• On dit que $T$ est non expansive si

$\forall \,(x,y)\in P\times P\qquad \|Tx-Ty\|\leqslant \|x-y\|.$

• Si l'espace $E$ est un espace de Hilbert, on dit que $T$ est Modèle:Refnec si

$\forall \,(x,y)\in P\times P\qquad \langle Tx-Ty,x-y\rangle \geqslant \|Tx-Ty\|^{2}.$

Par l'inégalité de Cauchy-Schwarz, une application fermement non expansive est non expansive ; elle est aussi monotone.

Point fixe

On rappelle qu'un espace strictement convexe est un espace normé dans lequel : $\forall z\in \left]x,y\right[\quad \|z\|<\max(\|x\|,\|y\|)$.

Approximations successives

On s'intéresse ici, pour une application non expansive Modèle:Math, à la convergence des « approximations successives » Modèle:Math vers un point fixe éventuel.

Ce résultat ne peut pas être généralisé à tous les espaces uniformément convexes.