Arg max

En mathématiques, l'argument du maximum, noté arg max ou argmax, est l'ensemble des points en lesquels une expression atteint sa valeur maximale.

Définition

Pour une fonction Modèle:Math, avec Modèle:Mvar un ensemble totalement ordonné, l'arg max se note :

${\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x\ |\ \forall y:f(y)\leq f(x)\}$

Ou encore,

${\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x)$

est la valeur de x pour laquelle f(x) atteint la plus grande valeur M. Par exemple, si f(x) est −|x|, alors elle atteint sa valeur maximum pour x = 0.

De la même manière, si M est le maximum de f, alors le arg max est l'ensemble de niveau du maximum :

${\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x)=f^{-1}(\{M\})$.

Si le maximum est atteint pour une seule valeur, alors on désigne ce point comme l' arg max, voulant exprimer ainsi que l'arg max est défini comme un point, et non comme un ensemble de points. Par exemple,

${\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}(x(10-x))=5$

plutôt que l'ensemble singleton $\{5\}$, puisque le seul maximum atteint par x(10 − x) est 25, pour x = 5.

Cependant, dans le cas où le maximum est atteint par plusieurs valeurs, arg max est un ensemble de points. Nous avons par exemple

${\underset {x\in [0,4\pi ]}{\operatorname {arg\,max} }}\,\cos(x)=\{0,2\pi ,4\pi \}$

car le maximum de cos(x) est 1, et cette valeur est atteinte sur cet intervalle quand x = 0, 2π ou 4π.

Arg min

arg min (ou argmin) est définie de manière analogue : pour une fonction Modèle:Math, avec Modèle:Mvar un ensemble totalement ordonné, l'arg min est défini par

${\underset {x}{\operatorname {arg\,min} }}\,f(x):=\{x\ |\ \forall y:f(y)\geq f(x)\}$

Voir aussi

• Ensemble image
• Mode (statistiques)