Base duale

Modèle:Ébauche Modèle:Homon En algèbre linéaire, la base duale est une base de l'espace dual E* d'un espace vectoriel E de dimension finie, construite à partir d'une base de E. Il est rappelé que E* est l'espace des formes linéaires sur E. La réduction des formes quadratiques est un exemple dans lequel les bases duales peuvent intervenir. Elles interviennent aussi pour transporter des structures géométriques d'un espace vectoriel réel ou complexe sur son espace dual, ce qui intervient notamment en géométrie différentielle.

Définition

Soit E un espace vectoriel de dimension finie n sur un corps K. Soit B = Modèle:Math une base de E, c'est-à-dire que tout vecteur v de E s'écrit de manière unique comme une combinaison linéaire des vecteurs Modèle:Math :

$v=\sum _{i=1}^{n}e_{i}^{*}(v)e_{i}\,,$

où $e_{i}^{*}(v)$ est un scalaire (un élément du corps K). L'application $v\mapsto e_{i}^{*}(v)$ est une forme linéaire sur E. L'application $e_{i}^{*}$ peut aussi être définie comme l'unique forme linéaire sur E vérifiant, pour tout entier j entre 1 et n, $e_{i}^{*}(e_{j})=\delta _{ij}$ où $\delta _{ij}$ est le symbole de Kronecker (qui vaut 1 ou 0 suivant que i et j sont égaux ou non).

De plus, toute forme linéaire u sur E s'écrit :

$u=\sum _{i=1}^{n}u(e_{i})e_{i}^{*}.$       (1)

Cette construction suffit à montrer qu'un espace vectoriel de dimension finie et son dual ont la même dimension.

Base duale de la base duale

Il existe une injection canonique Modèle:Math de E dans son bidual E** (le dual du dual de E), donnée par l'évaluation des formes linéaires en les vecteurs : Modèle:Retrait Comme E, E* et E** ont même dimension finie, cette application linéaire injective est un isomorphisme. Une autre manière de prouver sa surjectivité est la suivante. Soit Modèle:Math la base duale de Modèle:Math. L'équation (1) se traduit par :

$\iota (e_{i})=e_{i}^{**}$.

On parle aussi d'injection naturelle, à la suite de l'article fondateur de la théorie des catégories de Samuel Eilenberg et Saunders MacLane : les auteurs partent en effet du constat qu'il existe certes un isomorphisme entre un espace vectoriel et son espace dual, mais que cet isomorphisme ne peut être formulé indépendamment de la base particulière que l'on choisit ; tandis qu'il existe, d'un espace vectoriel dans son bidual, une injection linéaire « naturelle », dans le sens où elle est indépendante de la base adoptée.

Changement de bases

Modèle:Loupe Soient B et C deux bases de E et B* et C* leurs bases duales. Si P est la matrice de passage de B à C, alors celle de B* à C* est Modèle:ExpPModèle:-1.

En effet, en notant C = Modèle:Math et C* = Modèle:Math, l'équation (1) donne

$e_{j}^{*}=\sum _{i=1}^{n}e_{j}^{*}(f_{i})f_{i}^{*}=\sum _{i=1}^{n}P_{j,i}f_{i}^{*},$

ce qui signifie que la matrice de passage de C* à B* est la transposée de P. Celle de B* à C* est l'inverse. r

Applications

Réduction de Gauss

Modèle:Article détaillé Soit Q une forme quadratique sur un espace vectoriel réel E. Alors il existe une base Modèle:Math de E, telle que Modèle:Retrait où Modèle:Math est la base duale de Modèle:Math.

L'espace vectoriel défini par les Modèle:Math équations Modèle:Math = 0 pour Modèle:Math est le noyau de Q. Les entiers p et q ne dépendent pas du choix de la base e, et le couple (p, q) s'appelle la signature de Q.

Envoyeurs de Ménard

Soit Modèle:Math une base d'un espace vectoriel E de dimension n et soit Modèle:Math sa base duale. On définit la famille d'endomorphismes $(e_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ Modèle:Refnec par :

$e_{ij}:{\begin{array}{lcl}E&\rightarrow &E\\x&\mapsto &x_{j}^{*}(x)x_{i}\end{array}}$

Cette famille forme une base de l'espace L(E) des applications linéaires de E dans E, et la [[Matrice d'une application linéaire|matrice de Modèle:Math dans la base B]] est l'Modèle:Lien Modèle:Math qui présente un 1 à l'intersection de la i-ième ligne avec la j-ième colonne et des 0 partout ailleurs.

Plus généralement (Modèle:Cf. Produit tensoriel de deux applications linéaires), à partir d'une base du dual d'un espace vectoriel E de dimension finie et d'une base d'un espace F de dimension quelconque, on construit de même une base de l'espace des applications linéaires de E dans F.