Birapport

Le birapport, ou rapport anharmonique selon la dénomination de Michel Chasles est un outil puissant de la géométrie, en particulier la géométrie projective. La notion remonte à Pappus d'Alexandrie.

Birapport de quatre points

Les divisions sont supposées régulières. Le birapport de C, D par rapport à A, B est : ${\frac {\frac {-2}{-1}}{\frac {-3}{-2}}}={\frac {-4}{-3}}$.

Les divisions sont supposées régulières. Le birapport de C, D par rapport à A, B est : ${\frac {-1}{3}}=1-{\frac {4}{3}}$.

Si A, B, C et D sont quatre points distincts d'une droite (d), on appelle birapport, ou rapport anharmonique de (A, B) et (C, D), le rapport des mesures algébriques suivant :

$r={\frac {\frac {\overline {\mathrm {CA} }}{\overline {\mathrm {CB} }}}{\frac {\overline {\mathrm {DA} }}{\overline {\mathrm {DB} }}}}$

Il est essentiel de remarquer que le lecteur ne connaît pas nécessairement l'ordre des points sur la droite et que, selon les permutations, le birapport ne prend pas 4! = 24 valeurs mais seulement six : $~r;1-r;{\frac {1}{r}};{\frac {1}{1-r}};1-{\frac {1}{r}};{\frac {1}{1-{\frac {1}{r}}}}$

Ces transformations forment un groupe isomorphe au groupe symétrique ${\mathfrak {S}}_{3}$. Cela s'explique de la façon suivante. Les permutations (autre que l'identité) qui laissent le birapport invariant sont

$(AB)(CD)\quad (AC)(BD)\quad (AD)(BC)$

(On les a notées par leur décomposition en produit de cycles à support disjoints). Elles forment un sous-groupe normal de ${\mathfrak {S}}_{4}$, isomorphe au groupe de Klein, et l'on a affaire ici au groupe quotient.

Propriétés

Ce rapport est indépendant du repère choisi sur la droite (d) et de l'unité de longueur choisie.

Il est facile de voir que si l'on permute, en même temps A/B et C/D, on ne modifie pas le birapport.

Ce rapport reste invariant pour de nombreuses transformations géométriques : isométries, similitudes, transformations affines. La dualité par pôles et polaires réciproques conserve aussi le rapport anharmonique de quatre éléments d'une structure unidimensionnelle.

Il reste aussi invariant pour des homographies, comme la projection centrale, appelée aussi projection conique, ou perspective linéaire classique, centrale.

Si C est le barycentre de (A, a) et (B, b) et si D est celui de (A, a') et (B, b') alors le birapport de (A, B; C, D)

${\frac {ab'}{a'b}}$

Ce qui explique d'ailleurs qu'une transformation conservant les barycentres conserve aussi les birapports.

Birapport de quatre droites concourantes

Un résultat important en géométrie projective stipule qu'une projection centrale conserve le birapport. Il permet de dire dans la figure ci-jointe que les birapports de (A, B ; C, D) et (A', B' ; C', D') sont égaux quelles que soient les droites qui portent la série des quatre points. (Une démonstration est réalisable en utilisant plusieurs fois le théorème de Thalès).

Puisque ce rapport est indépendant de la sécante aux quatre droites, ce rapport ne dépend que de la position relative des quatre droites. Il est alors appelé birapport de ces quatre droites

$(d_{\mathrm {A} },d_{\mathrm {B} };d_{\mathrm {C} },d_{\mathrm {D} })$

On montre, en fait, que ce rapport est égal à ${\frac {\frac {\sin {\mathrm {COA} }}{\sin {\mathrm {COB} }}}{\frac {\sin {\mathrm {DOA} }}{\sin {\mathrm {DOB} }}}}$, ce qui explique que le birapport soit indépendant de la transversale choisie.

Division harmonique

Modèle:Article détaillé Lorsque le birapport est égal à -1, on dit que les quatre points sont en division harmonique. Le point D est alors appelé le conjugué de C par rapport à A et B. On peut prouver que C est aussi le conjugué de D par rapport à ces mêmes points.

Exemple 1: la suite harmonique

Le point d'abscisse ${\frac {1}{3}}$ est le conjugué du point d'abscisse 1 par rapport aux points d'abscisse 0 et ${\frac {1}{2}}$.

le point d'abscisse ${\frac {1}{4}}$ est le conjugué de celui d'abscisse ${\frac {1}{2}}$ par rapport aux points d'abscisse 0 et ${\frac {1}{3}}$.

De manière générale, le point d'abscisse ${\frac {1}{n+2}}$ est le conjugué du point d'abscisse ${\frac {1}{n}}$ par rapport aux points d'abscisse ${\frac {1}{n+1}}$ et 0

On définit ainsi la suite de nombres $1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}}$… appelée suite harmonique que l'on retrouve en musique pour définir la gamme harmonique

Exemple 2 : moyenne harmonique

Le conjugué de 0 par rapport à x et y est la moyenne harmonique de x et de y :

${\frac {2}{{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}}}$

Exemple 3 : barycentre

Si C est le barycentre de (A, a) et (B, b) alors son conjugué par rapport à A et B est le barycentre de (A, -a) et (B, b)

Pour d'autres exemples : Modèle:Article détaillé

Birapport de longueurs, d'aires et angles

Birapport de triangles

En géométrie affine, Le birapport ne s'exprime pas qu'en termes de mesure algébrique, mais aussi en termes d'aire algébrique, et en géométrie euclidienne, en termes d'angle orienté. Par exemple sur le schéma ci-contre l'aire des divers triangles peuvent s'exprimer de deux manières.

Par exemple pour OAB on a

${\frac {1}{2}}\times \mathrm {OH} \times \mathrm {AB} ={\frac {1}{2}}\times \mathrm {OA} \times \mathrm {OB} \times \sin({\widehat {\mathrm {AOB} }})$.

D'où, après simplifications de OH² ou de OA×OB×OC×OD, l'égalité des 3 birapports : de longueurs, d'aires et de sinus.

Birapport sur un cercle

La propriété du birapport des sinus a une conséquence pour 6 points cocycliques ABCDMP. Les angles ${\widehat {\mathrm {AMB} }}$ et ${\widehat {\mathrm {APB} }}$ étant égaux ou supplémentaires, leurs sinus sont égaux. Le birapport des droites M(ABCD) est égal à celui des droites P(ABCD). En conséquence on peut parler du birapport de 4 points sur un cercle. On démontre, sans les sinus, en géométrie projective que cette propriété est vraie pour une conique quelconque (étant donnée une conique, si ABCDM sont fixes et si P parcourt la conique, alors le birapport des droites P(ABCD) est constant).

On peut en déduire que l'inversion de quatre points alignés, EFGH, de centre M, conserve leur birapport sur leurs images cocycliques ABCD.

Division harmonique, théorèmes de Ceva et de Ménélaüs

Le théorème de Ceva et le théorème de Ménélaüs sont reliés par un rapport harmonique.

Les deux théorèmes impliquent deux relations :

${\frac {\overline {\mathrm {BD} }}{\overline {\mathrm {DC} }}}\cdot {\frac {\overline {\mathrm {CE} }}{\overline {\mathrm {EA} }}}\cdot {\frac {\overline {\mathrm {AF} }}{\overline {\mathrm {FB} }}}=1$ et ${\frac {\overline {\mathrm {D'B} }}{\overline {\mathrm {D'C} }}}\cdot {\frac {\overline {\mathrm {EC} }}{\overline {\mathrm {EA} }}}\cdot {\frac {\overline {\mathrm {FA} }}{\overline {\mathrm {FB} }}}=1$.

qui, après simplification, mènent à :

${\frac {\frac {\overline {\mathrm {DB} }}{\overline {\mathrm {DC} }}}{\frac {\overline {\mathrm {D'B} }}{\overline {\mathrm {D'C} }}}}=-1$,

ce qui exprime que les points D et D' divisent le segment [BC] selon une division harmonique.

En passant cette propriété donne une construction du conjugué de D par rapport à BC, en prenant un point arbitraire A hors de (BC) et un point arbitraire M sur (AD).

Complexes

Déf : Soient α, β, γ et δ des complexes deux à deux distincts. On définit leur birapport $[\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ]={\frac {(\alpha -\gamma )(\beta -\delta )}{(\alpha -\delta )(\beta -\gamma )}}\cdot$
Prop : Quatre points (d'affixes) α, β, γ et δ sont cocycliques ou alignés ssi [α, β, γ, δ] ∈ ℝ.

Prop : Il existe une relation de Chasles multiplicative dans l'ensemble des birapports mettant en jeu cinq nombres a, b, c, d et e. $[a,b,c,d]\times [a,b,d,e]=[a,b,c,e]$. Les nombres a et b ne changent pas, le nombre d sert d'intermédiaire entre c et e. Un simple développement de l'expression permet de la vérifier.

Prop : on trouvera dans Géométrie analytique classique, cité en bibliographie, la spectaculaire « formule des six birapports » énoncée par Daniel Perrin.

Bibliographie

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Notes et références

Modèle:Palette Géométrie projective