Caractéristique d'Euler

Modèle:Confusion En mathématiques, et plus précisément en géométrie et en topologie algébrique, la caractéristique d'Euler — ou d'Euler-Poincaré — est un invariant numérique, un nombre qui décrit un aspect d'une forme d'un espace topologique ou de la structure de cet espace. Elle est communément notée Modèle:Math.

La caractéristique d'Euler fut définie à l'origine pour les polyèdres et fut utilisée pour démontrer divers théorèmes les concernant, incluant la classification des solides de Platon. Leonhard Euler, par qui le concept eut son nom, fut responsable pour beaucoup dans ce travail de pionnier. En mathématiques plus modernes, la caractéristique d'Euler apparait dans l'homologie et les méthodes cohomologiques. Elle est donnée en général par la somme alternée des dimensions des groupes de cohomologie considérés :

$\chi =\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\mathrm {dim} (H^{i}).$

Polyèdres

Modèle:Article détaillé La caractéristique d'Euler tient son nom du théorème de Descartes-Euler concernant l'étude des polyèdres convexes. Descartes puis Euler ont remarqué que, pour des polyèdres, la quantité S – A + F, où S correspond au nombre de sommets, A au nombre d'arêtes et F au nombre de faces, restait constamment égale à 2. La caractéristique d'Euler pour des polyèdres a donc été définie par

$\chi =S-A+F$

Elle est égale à 2 pour tous les polyèdres ayant la topologie d'une sphère, convexes ou pas. Elle est peut-être différente de 2 dans le cas des polyèdres non homéomorphe à une sphère tel un Modèle:Lien à un trou.

Topologie algébrique

Définition formelle

Modèle:Voir Les polyèdres discutés ci-dessus sont, en langage moderne, des CW-complexes finis à deux dimensions (lorsque toutes les faces sont triangulaires, ils sont appelés complexes simpliciaux finis à deux dimensions). En général, pour un CW-complexe fini quelconque, la caractéristique d'Euler peut être définie comme la somme alternée, en dimension Modèle:Math :

$\chi =k_{0}-k_{1}+k_{2}-k_{3}+\cdots +(-1)^{d}k_{d},$

où Modèle:Math désigne le nombre de cellules de dimension Modèle:Math dans le complexe ; cette somme vaut Modèle:Math pour les polytopes convexes de dimension Modèle:Math, résultat démontré par Henri Poincaré en 1893.

Plus généralement encore, pour un espace topologique quelconque, on définit le Modèle:Math-ième nombre de Betti Modèle:Math comme le Modèle:Lien du Modèle:Math-ième groupe d'homologie singulière. La caractéristique d'Euler peut alors être définie comme la somme alternée

$\chi =b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+\cdots$

Cette quantité est bien définie si les nombres de Betti sont tous finis et s'ils sont nuls au-delà d'un certain indice ; c'est alors la valeur en –1 du polynôme de Poincaré. Cette définition englobe les précédentes.

Propriétés

• La caractéristique d'Euler d'un espace contractile est 1 – 0 + 0 – 0 + … = 1. Ce cas inclut n'importe quelle partie étoilée d'un espace vectoriel normé.
• La caractéristique d'Euler peut être calculée facilement pour des surfaces générales par un maillage sur la surface (c'est-à-dire une description sous la forme d'un CW-complexe). Pour un objet, elle représente le nombre de singularités nécessaires pour mailler cet objet avec ses géodésiques.
• La caractéristique d'Euler du produit (resp. de la réunion disjointe) de deux espaces est le produit (resp. la somme) de leurs caractéristiques respectives. La formule pour le produit (le fibré trivial) s'étend aux fibrés dont la base et la fibre sont des CW-complexes finis.Modèle:Retrait
• La caractéristique d'une somme connexe est donnée par : χ(A#B) = χ(A) + χ(B) – 2 en dimension paire (en particulier pour deux surfaces) et χ(A) + χ(B) en dimension impaire.Modèle:Retrait

Exemples

Nom	Image	Caractéristique d'Euler
Sphère SModèle:2 ou plus généralement : hypersphère de dimension paire		2
Plan projectif réel ou plus généralement : espace projectif réel de dimension paire		1
Cercle SModèle:1 ou plus généralement : variété compacte sans bord de dimension impaire		0
Ruban de Möbius (fibré sur SModèle:1 de fibre [–1, 1])		χ(SModèle:1) × χ([–1, 1]) = 0 × 1 = 0
Bouteille de Klein (somme connexe de deux plans projectifs réels)		1 + 1 – 2 = 0

Théorie des groupes

Dans le cas de la cohomologie des Modèle:Lien, la caractéristique d'Euler permet par exemple de caractériser la dimension cohomologique : soit G un pro-p-groupe, alors, G est de dimension cohomologique inférieure à n si et seulement si la caractéristique d'Euler tronquée à l'ordre n est multiplicative à travers les sous-groupes ouverts de G, c'est-à-dire si et seulement si :

$\forall U<_{o}G,\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\mathrm {dim} _{\mathbf {F} _{p}}H^{i}(U,\mathbf {F} _{p})=(G:U)\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\mathrm {dim} _{\mathbf {F} _{p}}H^{i}(G,\mathbf {F} _{p}).$