Carquois (théorie des catégories)

Un carquois est une collection d'arcs joignant des couples de points. En ce sens, il s'agit d'un graphe orienté, mais la notion intervient en physique théorique ainsi qu'en théorie des représentations, des groupes et des catégories de manière naturelle. En effet, une catégorie est un carquois doté d'une structure supplémentaire : nommément la présence d'identités et de compositions. On parle donc de carquois lorsque l'on souhaite évoquer ce contexte catégorique (ou de représentation), plutôt que de (multi-di-)graphe orienté.

Le nom « carquois » provient du fait qu'il s'agit essentiellement d'une collection de flèches.

Définition

On appelle carquois libre (ou catégorie de Kronecker) la catégorie X formée :

• de deux objets E et V (correspondant aux arcs et aux points, respectivement) ;
• de deux morphismes $s,t:E\to V$ (source et destination, respectivement) ;
• des deux morphismes identité.

Soit C une catégorie, un carquois sur C est un foncteur $X\to C$.

La catégorie des carquois sur C, notée ${\mathsf {Quiv}}(C)$, est la catégorie de foncteurs $C^{X}$ dont :

• les objets sont les carquois, $X\to C$ ;
• les morphismes sont les transformations naturelles entre ces foncteurs ;

Si C est la catégorie des ensembles, alors la catégorie des carquois correspond à la catégorie des préfaisceaux sur la catégorie duale $X^{\mathrm {op} }$.

Catégories libres

On obtient un carquois à partir d'une catégorie en retirant les morphismes identité et en « oubliant » la composition. En d'autres termes, on a un foncteur d'oubli :

$U:{\mathsf {Cat}}\to {\mathsf {Quiv}}$

de la catégorie des (petites) catégories dans la catégorie des carquois. Ce foncteur est adjoint à droite au foncteur qui associe, à un carquois, la catégorie libre correspondante :

$F:{\mathsf {Quiv}}\to {\mathsf {Cat}}$

De fait, il est souvent intéressant de travailler sur le carquois d'une catégorie libre, plutôt que sur la catégorie elle-même : les isomorphismes de carquois s'identifient aux équivalences entre les catégories libres correspondantes.

Représentations de carquois

Si K est un carquois, une représentation de K est un foncteur $F(K)\to {\mathsf {Vect}}$ de la catégorie libre engendrée par K dans la catégorie des espaces vectoriels. Autrement dit, chaque point se voit associé à un espace vectoriel (généralement complexe), et chaque arc correspond à une transformation linéaire d'un espace à l'autre.

Étant donné un corps k, on peut définir une algèbre de chemins $kK$ comme l'algèbre dont la k-base est donnée par les suites finies d'arcs consécutifs de K (et le chemin nul), la composition étant naturelle si les chemins considérés peuvent être mis bout à bout, et donnant l'objet nul sinon.

Un $kK$-module n'est rien d'autre qu'une représentation de K (il y a un isomorphisme de catégories).

Classification

Le théorème de Gabriel donne une classification des carquois ayant un nombre fini de représentations indécomposables en termes de diagrammes de Dynkin.

Articles connexes

• Classification ADE
• Représentation d'algèbre de Lie
• Modèle:Lien

Références

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• Modèle:Lien web
• Modèle:EncycloMath