Cohomologie d'Alexander-Spanier
En mathématiques et plus particulièrement en topologie algébrique, la cohomologie d'Alexander-Spanier est une théorie cohomologique pour les espaces topologiques.
Histoire
Elle a d'abord été introduite par James Waddell Alexander II en 1935 pour le cas particulier des espaces métriques compacts, puis étendue par Edwin Spanier en 1948 à tous les espaces topologiques, sur une suggestion de A. D. Wallace.
Définition
Si X est un espace topologique et G un groupe abélien, alors on définit un complexe différentiel C dont le p-ième terme CModèle:Exp est l'ensemble de toutes les fonctions de XModèle:Exp dans G et de différentielle d donnée par :
On note CModèle:Ind le sous-complexe formé des fonctions qui s'annulent sur un voisinage de la diagonale.
On définit les groupes de cohomologie d'Alexander-Spanier HModèle:Exp(X, G) comme étant les groupes de cohomologie du complexe C/CModèle:Ind.
Variantes
Il est aussi possible de définir l'homologie d'Alexander-Spanier (William Massey, 1978) et la cohomologie à support compact d'Alexander-Spanier (Modèle:Lien, 1997).
Lien avec les autres théories cohomologiques
La cohomologie d'Alexander-Spanier coïncide avec la cohomologie de Čech pour les espaces compacts et avec la cohomologie singulière pour les complexes localement finis.