Combinaison (mathématiques)

Modèle:Voir homonymes En mathématiques, lorsqu'on choisit k objets parmi n objets discernables (numérotés de 1 à n) et que l’ordre dans lequel les objets sont placés (ou énumérés) n’a pas d’importance, on peut les représenter par un ensemble à k éléments. Les combinaisons servent donc, entre autres, en combinatoire. Un exemple est la main qu'on obtient en tirant simultanément k cartes dans un jeu de n cartes ; ou au jeu du loto, le tirage final (qui ne dépend pas de l’ordre d’apparition des boules obtenues).

Définition

Soit E un ensemble fini de cardinal n et k un entier naturel. Les combinaisons de cet ensemble sont ses sous-ensembles (ou ses parties). Modèle:Énoncé On noteModèle:, ${\mathcal {P}}_{k}(E)$ l’ensemble des k-combinaisons de E.

Nombre de combinaisons

Modèle:Voir L’ensemble ${\mathcal {P}}_{k}(E)$ est fini et son cardinal est le coefficient binomial ${n \choose k}$, aussi noté $C_{n}^{k}$. On a :

$C_{n}^{k}={n \choose k}={\frac {A_{n}^{k}}{k!}}$,

où $A_{n}^{k}$ est le nombre de k-arrangements de E et k! est la factorielle de k.

Avec la formule pour $A_{n}^{k}={\frac {n!}{(n-k)!}}$, on obtient ${n \choose k}={\frac {n(n-1)\ldots (n-k+1)}{k!}}$, qui pour Modèle:Math peut aussi s'écrire :

${n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$.

Calcul du nombre de combinaisons

Un algorithme efficace pour calculer le nombre ${\binom {n}{k}}$ de combinaisons de k éléments parmi n, utilise les identités suivantes (0 ≤ k ≤ n) :

${\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}}$,         ${\binom {n+1}{k+1}}={\frac {n+1}{k+1}}{\binom {n}{k}}$     et     ${\binom {n}{0}}=1$.

La première permet de réduire le nombre d'opérations à effectuer en se ramenant à k ≤ n/2. Les deux suivantes permettent de montrer que :

${\binom {n}{k}}={\frac {(n-k+1)}{1}}\cdot {\frac {(n-k+2)}{2}}\cdot \cdots \cdot {\frac {n}{k}}$

À chaque étape de calcul on effectue d'abord la multiplication puis la division pour obtenir un nombre entier (c'est un coefficient binomial), c'est-à-dire que l'on peut employer la division entière. Les calculs intermédiaires restent d'un ordre de grandeur voisin du résultat final (ce ne serait pas le cas si par exemple on utilisait la première formule et la fonction factorielle).

Le calcul peut s'effectuer par une simple boucle itérative (boucle for).

Exemple

${\binom {10}{7}}=?\quad 10-7=3<7,\quad {\binom {7}{0}}=1\Rightarrow {\binom {8}{1}}={\frac {8}{1}}\times 1=8\Rightarrow {\binom {9}{2}}={\frac {9}{2}}\times 8=36\Rightarrow {\binom {10}{3}}={\frac {10}{3}}\times 36=120\Rightarrow {\binom {10}{7}}=120.$

Énumération des combinaisons

Soient A un ensemble à n éléments, Modèle:Math un objet qui n'est pas dans A, et k un entier naturel. Alors pour former les parties de $A\cup \{a\}$ ayant k + 1 éléments, on forme les parties de k + 1 éléments de A, ainsi que les parties de k éléments de A auxquelles on adjoint {a}. Autrement dit :

${\mathcal {P}}_{k+1}(A\cup \{a\})={\mathcal {P}}_{k+1}(A)\cup \left\{X\cup \{a\}\mid X\in {\mathcal {P}}_{k}(A)\right\}$         (Échec de l’analyse (⧼mw_math_mathml⧽ : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \mathcal P_{k}(A)=\varnothing} si k > n)

(cette identité a pour conséquence directe la formule de récurrence permettant de construire le triangle de Pascal : ${\tbinom {n+1}{k+1}}={\tbinom {n}{k+1}}+{\tbinom {n}{k}}$). Cette identité peut être exploitée pour un algorithme énumérant les combinaisons, par exemple des n premiers entiers.

Exemples

Soit A l'ensemble de 5 éléments A = {a, b, c , d, e}.

• Les combinaisons de 2 éléments parmi les 5 sont :
  • celles qui contiennent deux éléments distincts de a : {b, c}, {b, d}, {b, e}, {c, d}, {c, e}, {d, e},
  • celles qui contiennent a et un autre élément : {a, b}, {a, c}, {a, d}, {a, e},
    soitModèle:Retrait
• Les combinaisons de 3 éléments choisis parmi les 5 éléments de A sont :
  • celles qui contiennent a et deux autres éléments : {a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, e}, {a, c, d}, {a, c, e}, {a, d, e},
  • celles qui contiennent trois éléments distincts de a : {b, c, d}, {b, c, e}, {b, d, e}, {c, d, e},
    soitModèle:Retrait.
    Ce sont en fait les complémentaires des combinaisons précédentes.

Voir aussi

Modèle:Autres projets Combinaison avec répétition