Complément de Schur

Modèle:Homon Modèle:Confusion En algèbre linéaire et plus précisément en théorie des matrices, le complément de Schur est défini comme suit. Soit

$M={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}$

une matrice de dimension (p+q)×(p+q), où les blocs A, B, C, D sont des matrices de dimensions respectives p×p, p×q, q×p et q×q, avec D inversible. Alors, le complément de Schur du bloc D de la matrice M est constitué par la matrice de dimension p×p suivante :

$A-BD^{-1}C.$

Propriétés

• Lorsque B est la transposée de C, la matrice M est symétrique définie positive si et seulement si D et son complément de Schur dans M le sont.
• Le complément de Schur apparaît en particulier comme le résultat d'une élimination de Gauss « partielle » en multipliant la matrice M à droite avec la matrice « triangulaire inférieure par blocs » suivante

$LT={\begin{bmatrix}I_{p}&0\\-D^{-1}C&D^{-1}\end{bmatrix}}.$

Ici, I_p désigne la matrice identité de dimension p×p. Après multiplication par la matrice LT, le complément de Schur apparaît dans le bloc p×p supérieur. La matrice produit est

$M\cdot LT={\begin{bmatrix}A-BD^{-1}C&BD^{-1}\\0&I_{q}\end{bmatrix}}.$

L'inverse de M peut ainsi être exprimée en termes de DModèle:-1 et de l'inverse du complément de Schur

${\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&-\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\\-D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&D^{-1}+D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\end{bmatrix}},$

ou encore plus simplement,

${\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}I&0\\-D^{-1}C&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}(A-BD^{-1}C)^{-1}&0\\0&D^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I&-BD^{-1}\\0&I\end{bmatrix}}.$

• De même, si A est inversible, son complément de Schur est par définition D – CAModèle:-1B, et si ce dernier est également inversible on a :

${\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}A^{-1}+A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}\\-(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}&(D-CA^{-1}B)^{-1}\end{bmatrix}}.$

Application à la résolution d'équations linéaires

Le complément de Schur apparaît naturellement lors de la résolution d'un système d'équations linéaires de la forme

$Ax+By=a$

$Cx+Dy=b$

où

• x et a sont des vecteurs colonne de dimension p,
• y et b sont des vecteurs colonne de dimension q,
• A, B, C, D sont comme précédemment.

En multipliant la seconde équation par BDModèle:-1 puis en la soustrayant de la première, il vient

$(A-BD^{-1}C)x=a-BD^{-1}b.$

Ainsi, la résolution de cette équation en x est possible dès que D et son complément de Schur sont inversibles. Il est ensuite possible d'obtenir y en résolvant l'équation Cx + Dy = b. Cette méthode réduit le problème de l'inversion d'une matrice de dimension (p + q) × (p + q) à celui de l'inversion de deux matrices de dimensions respectives p×p et q×q. En pratique, la matrice D doit être bien conditionnée pour rendre la méthode précise.

Applications aux probabilités et à la statistique

Soit Modèle:Formule un vecteur gaussien de ℝModèle:Exp de matrice de covariance

Ici, Modèle:Formule (respectivement Modèle:Formule) est un vecteur gaussien de ℝModèle:Exp (respectivement ℝModèle:Exp) de matrice de covariance Modèle:Formule (respectivement Modèle:Formule), et Modèle:Formule désigne la transposée de Modèle:Formule.

La loi conditionnelle de Modèle:Formule sachant Modèle:Formule est encore une loi gaussienne multivariée de dimension Modèle:Formule. Supposons que la matrice Modèle:Formule est inversible (elle est donc symétrique et définie positive). Alors, la matrice de covariance de la loi conditionnelle de Modèle:Formule sachant Modèle:Formule ne dépend pas de Modèle:Formule et est donnée par le complément de Schur de Modèle:Formule dans Modèle:Formule.

Cela montre en particulier que le complément de Schur d'un bloc diagonal d'une matrice de covariance empirique d'un échantillon gaussien suit une loi de Wishart (tout comme la matrice de covariance empirique elle-même).

Bibliographie

• Modèle:En Roger A. Horn et Charles R. Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, chap. 7
• Modèle:En Kaare Brandt Petersen et Syskind Pedersen, The Matrix Cookbook, version du 16/02/2008, § 9.1

Articles connexes

• Modèle:Lien
• Modèle:Lien
• Loi normale multidimensionnelle
• Loi de Wishart inverse
• Méthode de Quasi-Newton
• Pseudo-inverse