Conjecture d'Euler

La conjecture d'Euler est une conjecture mathématique de théorie des nombres, réfutée, mais qui a été originellement proposée par le mathématicien suisse Leonhard Euler en 1772Modèle:,, et qui s'énonce de la façon suivante :

Pour tout entier n strictement supérieur à 2, la somme de n – 1 puissances n-ièmes n'est pas une puissance n-ième.

En d'autres termes, et de manière plus formelle :

$\forall n>2,\forall (a_{1},\dots ,a_{n-1},b)\in (\mathbb {N} ^{*})^{n},\sum _{k=1}^{n-1}{a_{k}}^{n}\neq b^{n}.$

Euler percevait cet énoncé comme une généralisation de la conjecture de Fermat, à savoir que pour tout entier n strictement supérieur à 2, la somme de deux puissances n-ièmes n'est pas une puissance n-ième. Les deux énoncés coïncident pour n = 3. Euler ajouta que Modèle:Citation

La conjecture d'Euler fut infirmée par L. J. Lander et T. R. Parkin en 1966 grâce au contre-exemple suivant :

$27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}=144^{5}.$

En 1988, Noam Elkies trouva même une méthode pour construire des contre-exemples lorsque n = 4. Son plus simple contre-exemple fut le suivant :

$2682440^{4}+15365639^{4}+18796760^{4}=20615673^{4}$.

Par la suite, Roger Frye trouva le plus petit contre-exemple possible pour n = 4 en utilisant, avec un ordinateur, des techniques suggérées par Elkies :

$95800^{4}+217519^{4}+414560^{4}=422481^{4}$.

Aucun contre-exemple pour n > 5 n'est actuellement connu.

Conjecture voisine

Modèle:Voir En 1967, Lander, Parkin et Selfridge ont conjecturéModèle:, que si Modèle:Math et Modèle:Math, il n'existe pas d'entiers strictement positifs Modèle:Math tels que

$\sum _{i=1}^{u}a_{i}^{n}=\sum _{j=1}^{v}b_{j}^{n}.$

Cela impliquerait en particulier que

$\forall n\geq 4,\forall u\in \{2,\ldots ,n-2\},\forall (a_{1},\dots ,a_{u},b)\in (\mathbb {N} ^{*})^{u+1},\sum _{k=1}^{u}{a_{k}}^{n}\neq b^{n}.$

Voir aussi

Articles connexes

• Suite de Sidon
• Modèle:Lien
• Théorème d'Erdős-Suranyi

Liens externes

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