Conjugué

Modèle:Voir homonymes En mathématiques, le conjugué d'un nombre complexe Modèle:Math est le nombre complexe formé de la même partie réelle que Modèle:Math mais de partie imaginaire opposée.

Définition

Le conjugué $a-b{\rm {i}}$ d'un nombre complexe $z=a+b{\rm {i}}$, où Modèle:Math et Modèle:Math sont nombres réels, est notéModèle:, ${\bar {z}}$ ou $z^{*}$.

Dans le plan, le point d'affixe ${\bar {z}}$ est le symétrique du point d'affixe $z\,$ par rapport à l'axe des abscisses.

Le module du conjugué reste inchangé.

On peut définir une application, appelée conjugaison, par

${\begin{array}{ccc}\mathbb {C} &\longrightarrow &\mathbb {C} \\z&\longmapsto &{\overline {z}}\end{array}}$

Cette application est ℝ-linéaire et continue. C'est de plus un isomorphisme de corps de ℂ dans lui-même.

Propriétés

On prend $(z,w)\in \mathbb {C} ^{2}$.

• ${\overline {z+w}}={\bar {z}}+{\bar {w}}$
• ${\textstyle {\overline {zw}}={\bar {z}}\times {\bar {w}}}$
• ${\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}={\frac {\bar {z}}{\bar {w}}}$ si Modèle:Math est non nul
• $\operatorname {Im} \left(z\right)=0$ si et seulement si ${\bar {z}}=z$
• $\left|{\bar {z}}\right|=\left|z\right|$
• $z{\overline {z}}=\left|z\right|^{2}$
• $z^{-1}={{\overline {z}} \over {\left|z\right|^{2}}}$ pour Modèle:Math non nul.

Quaternions

Le conjugué du quaternion $q=a+bi+cj+dk$ est $q^{*}=a-bi-cj-dk$.

Propriété

• $q\cdot q^{*}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\,$
• ${\frac {1}{q}}={\frac {1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}\cdot q^{*}\,$
• On peut calculer aisément l'inverse d'un quaternion en utilisant les propriétés du quaternion conjugué.

Algèbre linéaire

L'opération de conjugaison peut s'étendre aux espaces vectoriels complexes et à leurs éléments. Elle permet de former des espaces vectoriels conjugués.