Constante d'Embree-Trefethen

En mathématiques, et notamment en théorie des nombres, la constante d'Embree-Trefethen est une valeur limite, notée traditionnellement $\beta ^{*}$ et valant approximativement $0{,}70258$. Cette constante est nommée d'après les mathématiciens Modèle:Lien et Lloyd N. Trefethen.

Soit $\beta$ un nombre positif fixé. On considère la suite définie par récurrence

$x_{n+1}=x_{n}\pm \beta x_{n-1}$

où le signe ± dans la somme est choisi aléatoirement pour chaque Modèle:Mvar, indépendamment et avec la même probabilité pour + et −. On peut démontrer que pour chaque $\beta$, la limite

$\sigma (\beta )=\lim _{n\to \infty }{|x_{n}|^{1/n}}$

existe presque sûrement. En d'autres termes, la suite varie exponentiellement avec probabilité 1, et $\sigma (\beta )$ peut être vu comme le taux presque sûr de croissance exponentielle.

On a

$\sigma (\beta )<1$ pour $0<\beta <\beta ^{*}$

où $\beta ^{*}\approx 0{,}70258$ (Modèle:OEIS2C), de sorte que la suite récurrente décroît exponentiellement avec probabilité 1 quand Modèle:Mvar tend vers l'infini, et

$\sigma (\beta )>1$ pour $\beta >\beta ^{*}$

de sorte que la suite croît exponentiellement. En ce qui concerne les valeurs de $\sigma$, on a :

• $\sigma (1)=1{,}13198\dots$ (c'est la constante de Viswanath Modèle:OEIS2C) et
• $\sigma (\beta ^{*})=1$.

Liens externes

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