Constante de Catalan

Modèle:Voir homonymes En mathématiques, la constante de Catalan, nommée d'après le mathématicien Eugène Charles Catalan, est le nombre défini par : Modèle:Retrait où $\beta$ est la fonction bêta de Dirichlet.

On ne sait pas si la constante $K$ est rationnelle ou irrationnelle.

Autres expressions

La constante $K$ de Catalan est aussi égale à :

Expressions intégrales

• $I_{1}=\int _{0}^{1}{\arctan(u) \over u}\,\mathrm {d} u$
• $I_{2}={1 \over 2}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {u}{\sin(u)}}\mathrm {d} u$
• $I_{3}=-\int _{0}^{1}{\ln(u) \over 1+u^{2}}\,\mathrm {d} u=\int _{1}^{+\infty }{\ln(u) \over 1+u^{2}}\,\mathrm {d} u$
• $I_{4}=-\int _{0}^{\pi /4}{\ln(\tan(u))\,\mathrm {d} u}=\int _{0}^{\pi /4}{\ln(\cot(u))\,\mathrm {d} u}{\overset {u\leftrightarrow 2u}{=}}{\frac {1}{4}}\int _{0}^{\pi /2}{\ln({\frac {1+\cos(u)}{1-\cos(u)}})\,\mathrm {d} u}$
• $I_{5}=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x\mathrm {d} y}{1+x^{2}y^{2}}}$
• $I_{6}=\int _{0}^{1/{\sqrt {2}}}{\arcsin u \over {u(1-u^{2})}}\mathrm {d} u$
• $I_{7}=\int _{0}^{\ln(1+{\sqrt {2}})}\arccos {(\operatorname {sh} u)}\,\mathrm {d} u{\overset {\operatorname {sh} u\leftrightarrow u}{=}}\int _{0}^{1}{\frac {\arccos u}{\sqrt {1+u^{2}}}}\,\mathrm {d} u$
• $I_{8}=\int _{0}^{\pi /2}\operatorname {argsh} {(\sin u)}\,\mathrm {d} u{\overset {\sin u\leftrightarrow u}{=}}\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {argsh} u}{\sqrt {1-u^{2}}}}\,\mathrm {d} u$
• $I_{9}={1 \over 2}\int _{0}^{\pi /2}\operatorname {argth} {(\sin u)}\,\mathrm {d} u{\overset {\sin u\leftrightarrow u}{=}}{1 \over 2}\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {argth} u}{\sqrt {1-u^{2}}}}\,\mathrm {d} u$
• $I_{10}=\int _{0}^{+\infty }\arctan(e^{-u})\,\mathrm {d} u$
• $I_{11}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{+\infty }{\frac {u}{\operatorname {ch} u}}\,\mathrm {d} u$
• $I_{12}={1 \over 2}\int _{0}^{1}F(k)\,\mathrm {d} k\quad$ où $\quad F(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\,\mathrm {d} \varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}$ est l'intégrale elliptique complète de première espèce
• $I_{13}=-{1 \over 2}+\int _{0}^{1}E(k)\,\mathrm {d} k\quad$ où $\quad E(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}\,\mathrm {d} \varphi$ est l'intégrale elliptique complète de deuxième espèce
• $I_{14}={1 \over 4}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x\mathrm {d} y}{(x+y){\sqrt {(1-x)(1-y)}}}}$
• $I_{15}=\int _{1/{\sqrt {2}}}^{1}{\frac {\operatorname {argth} u}{u{\sqrt {2u^{2}-1}}}}\,\mathrm {d} u{\overset {u\leftrightarrow \cos u}{=}}\int _{0}^{\pi /4}{\frac {\tan u\operatorname {argth} (\cos u)}{\sqrt {\cos 2u}}}\,\mathrm {d} u$
• $I_{16}=\int _{0}^{1/{\sqrt {2}}}{\frac {\operatorname {argth} u}{{(1-u^{2})}{\sqrt {1-2u^{2}}}}}\,\mathrm {d} u{\overset {u\leftrightarrow \sin u}{=}}\int _{0}^{\pi /4}{\frac {\operatorname {argth} (\sin u)}{\cos u{\sqrt {\cos 2u}}}}\,\mathrm {d} u$

Développements en série

Cette constante peut être aussi définie par la fonction de Clausen : Modèle:Retrait ce qui nous donne les formules suivantes :

• $-\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ln {\biggl (}2\sin {u \over 2}{\biggr )}\,\mathrm {d} u$,
• ${\frac {\pi }{2}}\left[1-\ln \left({\frac {\pi }{2}}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)}{n(2n+1)}}\left({\frac {1}{4}}\right)^{2n}\right]$,
• ${\frac {\pi }{2}}\left[3-\ln \left({\frac {15\pi }{32}}\right)-4\ln \left({\frac {5}{3}}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n(2n+1)}}\left({\frac {1}{4}}\right)^{2n}\right]$.

Puisque $K$ est l'image de 2 par la fonction beta, nous avons donc un lien avec le polylogarithme : Modèle:Retrait ou aussi : Modèle:Retrait

Utilisation

K apparaît en combinatoire, ainsi que dans les valeurs de la fonction polygamma de deuxième ordre, aussi appelée la Modèle:Lien : Modèle:Retrait Modèle:Retrait

Simon Plouffe donne une famille infinie d'identités entre la fonction trigamma, $\pi ^{2}$ et la constante de Catalan.

K apparaît aussi dans la loi sécante hyperbolique.

Séries convergeant rapidement

Les deux formules suivantes convergent rapidement vers K et sont donc ainsi appropriées pour le calcul numérique :

$K=\,$	$3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{4n}}}\left(-{\frac {1}{2(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{3}(8n+5)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{4}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2(8n+1)^{2}}}\right)-$
	$2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{12n}}}\left({\frac {1}{2^{4}(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{6}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{9}(8n+5)^{2}}}-{\frac {1}{2^{10}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{12}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+1)^{2}}}\right)$

et Modèle:Retrait

Les calculs théoriques pour une telle série sont donnés par Broadhurst.

Décimales connues

Le nombre de chiffres connus de la constante de Catalan a augmenté radicalement pendant les dernières décennies. Ceci est dû à l'augmentation des performances des ordinateurs et aux améliorations algorithmiques.

Nombres de chiffres connus de la constante de Catalan

Date	Décimales	Calculé par
2009	31 026 000 000	R. Shan et A. J. Yee
Octobre 2006	5 000 000 000	Shigeru Kondo
2002	201 000 000	Xavier Gourdon et Pascal Sebah
2001	100 000 500	Xavier Gourdon et Pascal Sebah
4 janvier 1998	12 500 000	Xavier Gourdon
1997	3 379 957	Patrick Demichel
1996	1 500 000	Thomas Papanikolaou
29 septembre 1996	300 000	Thomas Papanikolaou
14 août 1996	100 000	Greg J. Fee et Simon Plouffe
1996	50 000	Greg J. Fee
1990	20 000	Greg J. Fee
1913	32	James W. L. Glaisher
1877	20	James W. L. Glaisher

Voir aussi

Bibliographie

• Modèle:Article
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• François Le Lionnais, Les nombres remarquables, Hermann, 1983 puis 1999 Modèle:ISBN
• Modèle:Ouvrage
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