Coordonnées bipolaires

Le système de coordonnées bipolaires

Les coordonnées bipolaires sont un système de coordonnées orthogonales.

Définition

En un point du plan de coordonnées bipolaires Modèle:Math correspond le point

$x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}$

$y=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}.$

Géométriquement la coordonnée Modèle:Mvar d'un point P est l'amplitude (signée) de l'angle entre le segment joignant les foyers Modèle:Math et Modèle:Math et le cercle passant par le foyer Modèle:Math, le point P et le foyer Modèle:Math. La coordonnée Modèle:Mvar est quant à elle le logarithme du rapport entre la distance au foyer Modèle:Math et la distance au foyer Modèle:Math.

Notation complexe

On a la correspondance pour l'affixe complexe :

$x+\mathrm {i} y=a\coth {\frac {\tau -\mathrm {i} \sigma }{2}}.$

Transformation inverse

Pour déterminer le coordonnées bipolaires Modèle:Math à partir des coordonnées cartésiennes Modèle:Math, on a

$\tau ={\frac {1}{2}}\ln {\frac {(x+a)^{2}+y^{2}}{(x-a)^{2}+y^{2}}}$

et

$\pi -\sigma =2\arctan {\frac {2ay}{a^{2}-x^{2}-y^{2}+{\sqrt {(a^{2}-x^{2}-y^{2})^{2}+4a^{2}y^{2}}}}}.$

On remarque aussi que

$\tanh \tau ={\frac {2ax}{x^{2}+y^{2}+a^{2}}}$

et que

$\tan \sigma ={\frac {2ay}{x^{2}+y^{2}-a^{2}}}.$