Cosinus hyperbolique réciproque

Courbe représentative de la fonction Modèle:Math.

Le cosinus hyperbolique réciproque est, en mathématiques, une fonction hyperbolique.

Définition

La fonction cosinus hyperbolique réciproque, ou argument cosinus hyperbolique, notée Modèle:Math (ou Modèle:Math),

$\operatorname {arcosh} :\left[1,+\infty \right[\to \mathbb {R}$

est définie à l'aide du cosinus hyperbolique par :

$y=\operatorname {arcosh} x\quad \Longleftrightarrow \quad x=\cosh y\;{\text{ et }}\;y\geq 0$.

Propriétés

Cette fonction est injective et son image est $\mathbb {R} _{+}$. Elle est continue, strictement croissante et concave.

Sa valeur en Modèle:Math est Modèle:Math et sa [[Limite (mathématiques élémentaires)#Cas où la limite de f est +∞ quand x tend vers +∞|limite en Modèle:Math est Modèle:Math]].

Elle est dérivable sur Modèle:Math et sa dérivée est donnée par :

$\forall x>1\quad \operatorname {arcosh} 'x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$.

On en déduit la primitive de Modèle:Math qui s'annulle en Modèle:Math :

$\forall x\geq 1\quad \int _{1}^{x}\operatorname {arcosh} u\,\mathrm {d} u=x\operatorname {arcosh} x-{\sqrt {x^{2}-1}}$.

La composée de Modèle:Math par la fonction sinus hyperbolique est donnée par :

$\forall x\geq 1\quad \sinh \left(\operatorname {arcosh} x\right)={\sqrt {x^{2}-1}}$.

Par conséquent :

• la fonction Modèle:Math s'exprime à l'aide du logarithme naturel par :

  $\forall x\geq 1\quad \operatorname {arcosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)$ ;

• la somme et la différence de deux arguments cosinus hyperbolique s'expriment par :

  $\forall u\geq v\geq 1\quad \operatorname {arcosh} u\pm \operatorname {arcosh} v=\operatorname {arcosh} \left(uv\pm {\sqrt {\left(u^{2}-1\right)\left(v^{2}-1\right)}}\right)$.