Courbe du dragon

Courbe du dragon

La courbe du dragon (ou « fractale du dragon » ou « courbe de Heighway » ou « dragon de Heighway ») a été pour la première fois étudiée par les physiciens de la NASA John Heighway, Bruce Banks, et William Harter. Elle a été décrite par Martin Gardner dans sa chronique de jeux mathématiques du Modèle:Lang en 1967. Nombre de ses propriétés ont été publiées par Modèle:Lien et Donald Knuth. Elle est apparue dans le roman Modèle:Lang de Michael Crichton.

Construction

L-système

Construction récursive de la courbe

La courbe peut être construite par L-System avec :

• angle 90°
• graine FX
• règles :
  • X $\mapsto$ X+YF+
  • Y $\mapsto$ -FX-Y

Ce qui se traduit simplement comme suit : partir d'un segment de base ; puis en suivant la courbe, remplacer chaque segment par deux segments à angle droit en effectuant une rotation de 45° alternativement à droite puis à gauche :

On visualise ici les 5 premières itérations et la neuvième.

Système de fonctions itérées

La courbe du dragon est également l'ensemble limite du système de fonctions itérées suivant, dans le plan complexe :

$f_{1}(z)={\frac {(1+i)z}{2}}$

$f_{2}(z)=1-{\frac {(1-i)z}{2}}$

(avec comme ensemble de points initial $S_{0}=\{0;1\}$).

ou encore, en coordonnées cartésiennes (représentation plus souvent utilisée dans des logiciels tels qu'Modèle:Lien) :

$f_{1}(x,y)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\cos 45^{\circ }&-\sin 45^{\circ }\\\sin 45^{\circ }&\cos 45^{\circ }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$

$f_{2}(x,y)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\cos 135^{\circ }&-\sin 135^{\circ }\\\sin 135^{\circ }&\cos 135^{\circ }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}.$

Pliage

Suivre une itération de la courbe du dragon fait apparaître une suite de rotations à 90° vers la droite ou vers la gauche. Pour les premières itérations, la séquence de « droite » (D) et « gauche » (G) est la suivante :

Modèle:1re itération : D

Modèle:2e itération : D D G

Modèle:3e itération : D D G D D G G

Modèle:4e itération : D D G D D G G D D D G G D G G

Empiriquement, on peut observer la règle de construction suivante : on peut construire l'itération suivante en prenant l'itération en cours, ajoutant un D, puis en ajoutant l'itération courante inversée et en intervertissant D et G.

Ce schéma suggère la méthode suivante de modélisation par pliage : prenez une bande de papier et pliez-la en son milieu par la droite. Pliez-la à nouveau par la droite et répétez l'opération autant de fois que possible. Dépliez la bande en conservant les pliures à 90°. La courbe du dragon apparaît.

Ce motif donne également une méthode pour déterminer la direction de la nième rotation dans la séquence. Écrivons « n » sous la forme k2^m où k est un nombre impair. La direction de la nième rotation est déterminée par k modulo 4 (reste de la division de k par 4). Si le reste vaut 1 alors la nième rotation est « droite », sinon « gauche ».

Propriétés de la courbe du dragon

Dimensions

• En dépit de son aspect irrégulier, la courbe du dragon s’inscrit dans des proportions simples. Ces résultats se déduisent de son mode de construction.

• Sa surface vaut ½ (considérant que le segment de base a pour longueur 1). Ce résultat se déduit de ses propriétés de pavage.
• Sa frontière a une longueur infinie.
• La courbe ne se traverse jamais
• La courbe du dragon révèle nombre d’auto-similarités. La plus visible est la répétition du même motif après rotation de 45° et réduction de Modèle:Racine.

• Sa dimension de Hausdorff peut être calculée : à chaque itération le nombre de segments double avec un facteur de réduction de Modèle:Sqrt. La dimension de Hausdorff vaut donc ${\frac {\log 2}{\log {\sqrt {2}}}}=2$. Cette courbe couvre donc le plan.
• Sa frontière est une fractale dont la dimension de Hausdorff vaut $\log _{2}\left({\frac {1+{\sqrt[{3}]{73-6{\sqrt {87}}}}+{\sqrt[{3}]{73+6{\sqrt {87}}}}}{3}}\right)\approx$ 1,5236 (calculée par Chang et Zhang).

Pavage

• La courbe du dragon peut paver le plan de multiples manières (voir encadré).

• 
  Modèle:1er de pavage par 4 courbes
• 
  Modèle:2e de pavage par 4 courbes
• 
  Modèle:3e de pavage par 4 courbes
• 
  La courbe du dragon peut se paver elle-même.
• 
  Modèle:1er de pavage par 2 courbes
• 
  Modèle:2e de pavage par 2 courbes (twin dragon)
• 
  Modèle:3e de pavage par 2 courbes
• 
  Un exemple de pavage du plan
• 
  Autre exemple de pavage du plan
• 
  Autre exemple de pavage du plan
• 
  Des courbes de taille croissante (ratio racine(2)) forment une spirale infinie. 4 de ces spirales, disposées à 90°, pavent le plan.

Variantes de la courbe du dragon

Courbe du dragon et genome humain:

Jean Claude perez demontre en 2010 comment les populations du milliard de triplets codons du genome humain entier s'organisent suivant la courbes du dragon ( [1] ).

Twindragon

Twindragon construite à partir de 2 dragons

Frontière du Twindragon

La twindragon (mot à mot « dragon jumeau », connue également sous le nom de dragon de Davis-Knuth) est une variante de la courbe du dragon qui peut être construite en plaçant deux dragons dos à dos. Cette courbe est la limite de l’IFS suivante :

$f_{1}(z)={\frac {(1+i)z}{2}}$

$f_{2}(z)={\frac {(1+i)z+1-i}{2}}$.

Terdragon

Courbe Terdragon

La terdragon peut être construite à partir du L-system suivant :

• angle 120°
• graine F
• règle : F $\mapsto$ F+F-F

C’est également la limite de l’IFS suivant :

$f_{1}(z)=\lambda z~$

$f_{2}(z)={\frac {i}{\sqrt {3}}}z+\lambda$

$f_{3}(z)=\lambda z+\lambda ^{*}~$

$\mathrm {o{\grave {u}}~} \lambda ={\frac {1}{2}}-{\frac {i}{2{\sqrt {3}}}}{\mbox{ et }}\lambda ^{*}={\frac {1}{2}}+{\frac {i}{2{\sqrt {3}}}}.$

Voir aussi

Articles connexes

• Fractale
• Liste de fractales par dimension de Hausdorff

Liens externes

• Modèle:MathWorld
• Modèle:En Paperfolding and the Dragon curve
• Courbe du dragon en Flash