Courbure scalaire

En géométrie riemannienne, la courbure scalaire (ou scalaire de Ricci) est l'outil le plus simple pour décrire la courbure d'une variété riemannienne. Il affecte à chaque point d'une variété riemannienne un simple nombre réel caractérisant la courbure intrinsèque de la variété en ce point.

Dans un espace à deux dimensions, la courbure scalaire caractérise complètement la courbure de la variété. En dimension supérieure à 3, cependant, il n'y suffit pas et d'autres outils sont nécessaires.

La courbure scalaire, habituellement dénotée Modèle:Mvar est définie comme la trace du tenseur de Ricci relativement à la métrique.

$R={\mbox{tr}}_{g}(\mathrm {Ric} )$

On peut aussi écrire

$R=g^{ij}R_{ij}$,

avec

$\mathrm {Ric} =R_{ij}\,dx^{i}\otimes dx^{j}$

Scalaire de Ricci en deux dimensions et en coordonnées de Riemann

Le scalaire de Ricci Modèle:Mvar ou Ric s'obtient à partir du tenseur de Ricci par la relation générale, appliquée à une surface :

$R=g^{mm}R_{mm}=g^{xx}R_{xx}+g^{yy}R_{yy}$

En utilisant les relations entre composantes directes et inverses de la métrique ainsi que les relations entre les tenseurs de Riemann Modèle:Mvar et de Ricci de composantes Modèle:Mvar et Modèle:Mvar qui s'écrit alors, en deux dimensions :

$R_{xx}=g^{yy}R_{xyxy}={\frac {1}{g_{yy}}}R_{xyxy}$

$R_{yy}=g^{xx}R_{xyxy}={\frac {1}{g_{xx}}}R_{xyxy}$

on obtient la relation entre le scalaire de Ricci et la courbure de Gauss :

$R=g^{xx}{\frac {1}{g_{yy}}}R_{xyxy}+g^{yy}{\frac {1}{g_{xx}}}R_{xyxy}={\frac {2}{g_{xx}g_{yy}}}R_{xyxy}=2K$

En deux dimensions, c’est-à-dire pour une surface, le scalaire de Ricci est le double de la courbure de Gauss Modèle:Mvar (au signe près selon la convention utilisée).

Bibliographie

• Hakim, R, Gravitation relativiste, EDP Sciences, 2001

Voir aussi

Articles connexes

• Courbure
• Tenseur de Ricci
• Relativité générale
• Problème de Yamabe

Lien externe

Riemannian geometry sur mathpages Cédric Villani - 1/7 La théorie synthétique de la courbure de Ricci sur YouTube