Deuxième théorème de Minkowski
Le deuxième théorème de Minkowski est un résultat de géométrie des nombres sur les minima successifs d'un réseau, relativement à un convexe.
Minima successifs
Dans [[Espace euclidien|ℝModèle:Exp]], soient Γ un réseau et K un convexe compact symétrique par rapport à l'origine et de volume non nul. Les n minima successifs λModèle:Ind ≤ λModèle:Ind ≤ … ≤ λModèle:Ind de Γ relativement à K sont définis par : λModèle:Ind est le plus petit réel λ pour lequel λK (la boule fermée de centre 0 et de rayon λ pour la norme égale à la jauge de K) contient j vecteurs de Γ linéairement indépendants.
- Exemples
- Par un changement de variables linéaire, on peut toujours se ramener au cas où le réseau Γ est ℤModèle:Exp. Alors, vol(ℝModèle:Exp/Γ) = 1 et :
- pour K = [–1, 1]Modèle:Exp (boule unité pour la [[Norme (mathématiques)#En dimension finie|norme ℓModèle:Exp]]), λModèle:Ind = … = λModèle:Ind = 1 et vol(K) = 2Modèle:Exp ;
- pour K = {x ∈ ℝModèle:Exp | ∑|xModèle:Ind| ≤ 1} (boule unité pour la [[Norme (mathématiques)#En dimension finie|norme ℓModèle:1]]), λModèle:Ind = … = λModèle:Ind = 1 et vol(K) = 2Modèle:Exp/n!.
Énoncé du théorème
La preuve de la première inégalité est Modèle:Citation. Certains auteurs[2] ne mentionnent que la seconde sous l'intitulé « Deuxième théorème de Minkowski ». Cette dernière renforce « le » (premier) théorème de Minkowski, selon lequel λModèle:IndModèle:Exp vol(K) ≤ 2Modèle:Exp vol(ℝModèle:Exp/Γ).
Démonstration
La démonstration par Hermann Minkowski de la majoration, en 1896[3], Modèle:Citation, et de nombreuses preuves alternatives ont été publiées[4]Modèle:,[5]Modèle:,[6]Modèle:,[7]Modèle:,[8]Modèle:,[9]Modèle:,[10], jusqu'à ce que Martin Henk, en 2002[11], en résumant la preuve originale de Minkowski, montre qu'elle était Modèle:Citation.
Notes et références
Bibliographie
- Modèle:Ouvrage
- Modèle:Ouvrage
- Modèle:Ouvrage
- Modèle:Ouvrage
- Modèle:Chapitre (Modèle:P. du .pdf)
- Modèle:Ouvrage
- Modèle:Ouvrage
- Modèle:Ouvrage (notes rédigées par Komaravolu Chandrasekharan)
- ↑ Modèle:Harvsp ; Modèle:Harvsp ; Modèle:Harvsp et 218 ; Modèle:Harvsp.
- ↑ Modèle:Harvsp et Modèle:Harvsp.
- ↑ Modèle:Ouvrage.
- ↑ Modèle:Article.
- ↑ Modèle:Article, repris dans Modèle:Harvsp.
- ↑ Modèle:Article.
- ↑ Modèle:Article.
- ↑ Modèle:Article.
- ↑ Modèle:Harvsp.
- ↑ Modèle:Harvsp.
- ↑ Modèle:Article (Modèle:P.), repris dans Modèle:Harvsp.